由一道解析几何题引发的一题多解与多题归一

⦿ 江苏省常州市田家炳高级中学 王丽萍

近几年高考中经常考查的解析几何的定点、定值问题,大部分学生会觉得入手比较困难,究其原因:(1)解题方向不明确;(2)解题方法不清晰.《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中指出:“教师要加强学习方法的指导,帮助学生养成良好的数学学习习惯,敢于质疑、善于思考,理解概念、把握本质,数形结合、明晰算理,厘清知识的来龙去脉,建立知识之间的关联.教师还可以根据自身教学经验和学生学习的个性特点,引导学生总结出一些具有针对性的学习方式,因材施教.”[1]因此,笔者以一道解析几何题为例,将“解析几何中的定点、定值问题”作为微专题的复习内容,重点研究其解题方法,并进行变式思考,指导学生如何解决这类问题.

1 题目呈现

图1

2 一题多解

解析几何有关定点、定值问题的常用方法如图2所示.

图2

方法一：直接求解.

整理,化简,得(m2+2)y2+4my+2=0,则

①

除了y1y2能直接用韦达定理代入,剩下的单独的y1,y2没法处理.仔细观察会发现,上述①式中三个变量m,y1,y2之间存在一定的关系,仍然可以借助韦达定理解决问题.有如下三种途径.

(1)半代换配凑法

y1=(y1+y2)-y2,或y2=(y1+y2)-y1,则

评注：此方法是利用韦达定理,通过配凑,把三元变量m,y1,y2消元转化为二元m,y2(或m,y1),从而转化为比值为定值的问题.

(2)积与和的转化

②

③

评注：根据韦达定理,y1+y2,y1y2与m之间存在着一定的关系,所以利用②与③两个等式,可以把my1y2转化成y1+y2,即把分式转化成一次齐次式的问题,进而化简求值.

(3)求根公式法

设y1,y2分别是关于y的二次方程(m2+2)y2+4my+2=0的两个实数根.不妨设y1

方法二：先猜后证.

图3

只要证y1(x2-1)+y2(x1-1)=0.

设直线AB的方程为x=my+2,则即证

y1(my2+1)+y2(my1+1)=0.

即证2my1y2+y1+y2=0.

把韦达定理代入上式,验证等式成立即可.

评注：这种执果索因的方法避开了“非对称韦达定理”型,只需把韦达定理直接代入即可.这种先猜后证的方法对于学生来讲难度相对比较小,容易操作.通过特殊位置找特殊点,把两条直线斜率的比值关系先猜出来,再验证其一般性,解题更具有导向性.

3 变式反思

变式1的解析过程从略.

评注：通过条件和结论的互换,把定值问题转化为定点问题,这是一个逆向思维的过程.

图4

变式2的解析过程从略.

评注：此题看似是研究两个角的关系问题,但最终还是研究两直线AD,BD斜率之间的关系,即两直线斜率之和为0的问题,实际上还是研究解析几何的定值问题,仍然可以借助韦达定理解决.

4 考题链接

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若直线MN的斜率k=1,求点A的坐标.

本题解析过程从略.

5 多题归一

由上述例题笔者认为,有关定点、定值的问题基本上可以从两个方向入手.

(1)从已知条件出发,直接求解

在联立方程组利用韦达定理求解的时候会遇到如下两种情况:

无论是上述哪种情况,都可以借助韦达定理来解决.

(2)先猜后证

通过寻找特殊位置或者特殊点先把定点或者定值确定之后,再用常规方法解决,这种方法通常计算简洁,运算步骤较少.

一题多解,是从不同角度求解同一个问题;多题归一,是不同题目采用的做法类似.一题多解能培养学生的发散思维,而多题归一能培养学生的总结与归纳能力.在平时的解析几何复习中,除了要培养学生的运算能力,还要培养学生的思维能力.因为只有多思考才能在解题中少走“弯路”,才能让解析几何的运算“如虎添翼”.