一次强风作用下大跨度桥梁主梁非平稳抖振可靠性分析

孙 博, 叶泽毅, 阮伟东, 张新军, 杨名冠

(1. 浙江工业大学 土木工程学院, 杭州 310023; 2. 中交公路规划设计院有限公司, 北京 100088)

桥梁作为一种跨越山川河谷等天然障碍的结构形式,一直以来是交通系统中的重要节点和关键设施。我国服役桥梁众多,且随着我国现代化进程的加快,出现了许多大跨度桥梁建设工程[1]。桥梁对抵抗风灾作用存在着天然劣势和敏感性,随着桥梁跨度的增长,其结构整体非线性问题也越发的突出,风致抖振效应对桥梁的影响也愈发的突出。运营期大跨度桥梁抖振作为一种持续性的结构动力响应,带来疲劳问题并影响行车的舒适性,在强风作用下还有可能导致结构的强度破坏,产生巨大的安全隐患[2-3]。与此同时,桥梁抖振属于动力分析范畴,结构的复杂性和风荷载的随机时程特性都决定了大跨度桥梁抖振分析和评估问题存在大量不确定性。因此,为了保障大型桥梁结构在强风作用下的安全性,在概率分析框架下考虑动力分析问题的基本特征对大跨度桥梁的抖振可靠性进行正确的分析和评估具有十分重要的意义。

桥梁抖振可靠性分析受限于抖振响应分析方法和对风特性的认知程度,早期研究主要局在频域内基于平稳风速时程评估桥梁的抖振可靠性。Pourzeymali等[4]以有限元法和频域谱分析为基础,结合一次二阶矩(FOSM)和全分布法开展了桥梁疲劳可靠性分析。刘高等[5]采用有限元法和虚拟激励法得到桥梁的抖振响应,并分别基于泊松分布和马尔可夫过程的串联失效模式,建立了系统抖振力可靠性分析过程。近年来,随着桥梁抖振精细化分析手段的发展[6],桥梁抖振可靠性分析逐渐从频域转变到时域,结合精细化有限元在时域范围分析结构的抖振可靠性。Jun[7]基于抖振时域分析,结合韦布尔疲劳寿命分布开展了疲劳可靠性评价。Ren等[8]结合通用有限元软件和MATLAB进行大跨度桥梁抖振时域疲劳可靠性分析,并采用传统的抖振频域分析来验证其结果。上述研究中,绝大多数采用风场为平稳高斯随机过程进行可靠性分析,对于非平稳风场和非高斯响应下的抖振可靠性的研究相对较少。Hu等[9]在抖振时域分析的基础上,考虑了结构和风荷载的非线性因素推导了结构的非高斯抖振响应,开展了动力可靠性的讨论,但依旧是基于平稳风场。

随着分析理论的发展和计算能力的提升,越来越多复杂工程的可靠性问题会直接采用更加精细化的计算分析方法来进行分析评估,以得到更加精确的结果。与此同时,由于大跨桥梁结构本身的非线性以及考虑强风情况下的非平稳风荷载效应,其抖振动力特性响应必然是非平稳和非高斯随机过程。因此,本文在已有研究基础上,基于非平稳风场模型得到非平稳风荷载效应,结合精细化的抖振时域分析方法,并考虑抖振响应的非平稳性和非高斯特征,构建了大跨度桥梁主梁非平稳抖振可靠性分析的方法流程。最后采用提出的方法对一次强风作用下某大跨度斜拉桥主梁的抖振可靠性进行了分析评估,证明了其有效性。

1 非平稳风场模拟

作用效应分析模拟是结构计算分析与安全分析的第一步,桥梁抖振可靠性分析首先需要进行考虑强风作用的非平稳风场模拟,包括风场模型构建和非平稳脉动风速两个部分。

1.1 非平稳风场模型

自然风场沿着笛卡尔坐标系分解成顺风向、竖向和横向三个相互独立的一维多变量非平稳随机过程[10]。每一个独立随机过程由一个时变的平均风速分量与一个满足非平稳特性的脉动风速分量组成。则三维非平稳风场模型可表示为

(1)

式中:Ux(t)、Uy(t)、Uz(t)分别为自然风U(t)沿着顺风向x、竖向y、横向z三个坐标轴方向的风速分量;U(t)为时变平均风速分量;u(t)、v(t)、w(t)为非平稳脉动风速分量。

(2)

1.2 非平稳脉动风速模拟

基于三维非平稳风场模型,Wang等[13]采用基于Deodatis双索引频率的谐波合成法(weighted amplitude wave superposition, WAWS)模拟出平稳脉动风速。谐波合成法主要利用功率谱密度函数矩阵的Cholesky分解和三角级数叠加来模拟平稳随机过程,并引入快速傅里叶变换来减少模拟时间

(3)

式中:xj表示第j条平稳脉动风速;p=0,1,2,…,M×n-1,q=0,1,2,…,M-1,M=2×N,N表示采样频率,n为总模拟风速数量;Δt为时间间隔;ω为圆曲频率,Δω=ωup/N为频率间隔,ωup为截止频率;Re(·)表示对括号的内容取实部;hjm(qΔt)为Bjm(lΔω)的快速傅里叶变换

(4)

(5)

本次样本函数的空间相关性采用Davenport相关函数来模拟

(6)

(7)

根据进化谱理论,将平稳随机过程的功率谱密度函数Sxx(ω)通过与经过参数优化的非均匀调制函数A(ω,t)相乘,可变为非平稳随机过程的功率谱密度函数Syy(ω,t)

(8)

但在实际工程中,大多采用一个慢变均匀调制函数g(t)来代替非均匀调制函数A(ω,t)。根据Priestly建议的非平稳随机过程满足如下的R-S(Riemann-Stieltjes)积分和非平稳随机过程的边缘特性可得到[14]

(9)

式中:y(t)为非平稳随机过程;x(t)为谐波合成法生成的平稳随机过程;广义变换Z(ω)为一正交增量过程。

2 非平稳风荷载计算

基于非平稳风场模拟结果,结合主梁截面的风特性参数,可进行非平稳风荷载模拟,包括静风荷载、非平稳抖振力和自激力三个部分。

2.1 静风力荷载

(10)

式中:FD、FL、FM分别表示静风阻力、升力及扭矩;ρ为空气密度;CD、CL、CM为梁截面的阻力、升力和升力矩系数;α0为有效风攻角;H为主梁特征高度;B为主梁的特征宽度。由于时变的平均风速变化相对较为缓慢,而在Davenport准定常理论中,静力三分力系数是为了考虑流场流经过桥梁横断面后的变化,因此Chen[16]建议使用在平稳流场下获得的三分力系数来计算非平稳静风荷载的大小。

2.2 非平稳抖振力

非平稳抖振力是由非平稳脉动风速分量u(t)和w(t)引起。本文采用基于准定常气动理论计的桥梁抖振力公式[17],并引入气动导纳公式来修正准定常气动力模型计算的误差,其修正后的沿主梁单位长度抖振力表达式为

(11)

(12)

(13)

2.3 气动自激力

主梁风致振动改变了梁体周围的气动边界条件,引起风场的变化,而风场的变化又会使主梁产生新的振动,这种新的振动激发力的力即为气动自激力。为了实现自激力的时域化, 本文采用与自激力等价的12阶单元气动刚度矩阵K0与气动阻尼矩阵C0[18],K0与C0通过对准定常气动力模型进行双变量泰勒展开得到

(14)

(15)

式中,ml=B/4为主梁旋转平均半径。

(16)

(17)

式中,L为主梁单元长度。

3 非平稳抖振动力可靠性分析

获得了作用大跨度桥梁主梁上的风荷载作用效应后,基于精细化的有限元分析方法进行时域分析,可以获得结构的抖振响应,考虑其非平稳性和非高斯特性对主梁进行动力可靠性分析。

3.1 抖振时域化分析

在大跨度非平稳抖振特性分析中,其动力求解控制方程可表示为

(18)

(19)

对式(18)的求解主要有频域法和时域法,早期主要在频域进行,但由于频域法在进行桥梁抖振分析时,不能全面地考虑多种非线性因素,而时域法能有效的避免这些问题,加上计算机性能的提高以及各类具有强大功能有限元软件的开发和应用,使得时域法已成为桥梁抖振分析的主要发展方向[19]。结合通用有限元软件的桥梁抖振时域分析流程主要分为4步:① 依据桥梁设计资料和风洞试验得到的主梁风特性参数,建立考虑自激力的大跨度桥梁空间有限元模型;② 结合《规范》和桥址处的各类风参数,模拟非平稳脉动风速时程;③ 采用显示的静风荷载和抖振力荷载公式,将风速时程转换为力的时程;④ 将得到力的时程,施加到有限元模型上,并采用New-Raphsan与Newmark-β法进行瞬态分析,得到桥梁的位移响应。

需要注意的是,由于大跨度桥梁结构本身属于典型的柔性体系,在通用有限元软件中开展瞬态分析需要通过计入大变形及应力刚化效应来考虑结构的非线性特性。此外,在几何非线性求解过程中,针对参数不合适而出现非线性求解困难的情况,需打开自动时间步长激活二分法,使得求解继续。

3.2 非平稳随机过程首超概率

大跨度桥梁结构在一次强风作用下的抖振响应属于一个非平稳随机过程,本文采用基于Poisson假定的首次超越概率来求解主梁的抖振动力可靠性。在大跨度斜拉桥主梁抖振可靠性分析问题中,边界类型为双侧边界,其抖振安全边界,参考现行JTG/T 3365-01—2020《公路斜拉桥设计规范》[20]中的刚度失效边界为

(20)

式中:R为桥梁抖振可靠性界限;L为桥梁主跨跨径。

大跨度斜拉桥抖振响应中,静风荷载会导致结构安全界限出现不对称的情况,而泊松过程法能够完美地适应各种对称或者不对称的双侧界限。此时抖振可靠性分析的安全边界为[-b1,b2]

b1=R+S,b2=R-S

(21)

式中:b1为下侧边界;b2为上侧边界;S为斜拉桥在静风荷载下的响应。

当结构响应为非平稳高斯随机过程时,对于在非平稳风场模型下的双侧界限来说,基于泊松假定的时变动力可靠概率Pr(-b1,b2,T)可表示为[21]

(22)

3.3 非高斯抖振响应处理

在非平稳风荷载作用下,主梁的非平稳抖振响应为非高斯响应[22],不符合式(22)中的高斯随机过程假定。针对这一问题,可以利用一个单调平移函数将非高斯响应转换为更加符合标准高斯分布函数的响应,进而较为方便的求解抖振动力可靠概率。本文采用Winterstein修正模型[23]对非高斯抖振响应进行处理,其采用的多项式为

X=μX+κσX[Z+c3(Z2-1)+c4(Z3-3Z)]

(23)

式中:μX和σX为随机过程X的均值和标准差;Z为标准高斯过程;c3、c4、κ为多项式系数,可通过X的偏态系数γ1和峰态系数γ2计算得到

(24)

(25)

(26)

则z-x转换形式为

(27)

式中

(28)

将逼近高斯概率密度函数后的变量组z,进行逆标准化处理

G=zσX+μX

(29)

式中,G为我们所需要进行可靠度计算的新变量组。

4 算例分析

4.1 工程概况

某斜拉桥为钢索塔钢箱梁双索面五跨斜拉桥,跨径布置为63+255+648+255+63=1 284 m,主跨648 m。采用半漂浮结构体系,纵向设弹性约束,限制活荷载及风载作用下的钢箱梁纵向漂移。主梁为带风嘴的闭口箱梁断面,梁高为3.2 m,主梁宽度为37.16 m。桥梁布置示意图如图1所示,主梁截面如图2所示。

图1 案例斜拉桥布置图Fig.1 Cable-stayed bridge layout

图2 案例主梁截面Fig.2 Girder section

根据桥梁建设相关资料[24],采用通用有限元软件ANSYS建立大跨度斜拉桥空间有限元模型。钢箱梁主梁和桥塔使用BEAM44梁单元,共594个梁单元,拉索使用LINK10杆单元,共168个杆单元,二期恒载采用MASS21模拟。图3为ANSYS全桥有限元模型。

图3 案例桥梁ANSYS有限元模型Fig.3 ANSYS finite element model of bridge

采用ANSYS有限元软件自带的模态分析模块,进行动力特性分析,得到了成桥状态的主要自振振型频率计算数据,并与风洞试验数据和实测自振频率[25]进行对比。表1给出了三者的自振频率及其偏差。图4给出了相应自振频率的振型图。

表1 桥梁自振频率检验Tab.1 Natural frequency verification of bridge

(a) 一阶振型(正对称竖弯)

(b) 三阶振型(正对称竖弯)

(d) 四阶振型(反对称竖弯)

(c) 五阶振型(正对称竖弯)

(f) 六阶振型(反对称竖弯)

(d) 七阶振型(反对称竖弯)

(h) 八阶振型(反对称竖弯)图4 桥梁基频振型图Fig.4 Fundamental frequency mode under service state

4.2 荷载效应模拟结果

《规范》中采取600 s为风速的标准时距来计算风荷载效应,本文同样采用时间长度为600 s作为一次强风历经时长,并分别模拟在主梁处平均风速为40 m/s、50 m/s、60 m/s的非平稳抖振效应。

针对非平稳风场中的非平稳脉动风模拟,采用《规范》推荐的使用的Kaimal顺风向谱Su(n)与Panofsky竖向谱Sw(n)

(30)

(31)

式中:n为脉动风频率;f为莫宁坐标;u*为风的摩阻速度。沿主梁纵向共设置44个模拟风速点,时间间隔0.125 s,截止频率3 πrad/s,频率采样点个数211。图5给出了平均风速为40 m/s时,主梁跨中处的顺风向与竖向平稳脉动风速的模拟及功率谱密度函数检验结果。

(b) 主跨跨中平稳竖向脉风速时程

(c) 平稳跨中顺风向脉动风速模拟谱与目标谱对比

图5 平稳脉动风速模拟示意图Fig.5 Simulation of stationary turbulence

从图5(a)、(b)可以看出来,考虑了sears函数的平稳脉动风速均值基本为零,其顺风向模拟的结果主要在[-10,15]m/s范围内波动,而横向模拟结果在[-5,5]m/s范围内波动,二者的平稳性均较好。由图5(c)、(d)可知顺风向和竖向平稳功率谱的模拟值和理论值在频域内高度吻合。由图5(e)、(f)可知主梁跨中顺风向和竖向的相关函的模拟值和理论值有较好的吻合效果。

在平稳风速模拟基础上引入慢变均匀调制函数g(t)将其转换为非平稳脉动风速,采用的g(t)形式如下

(32)

式中,α、β为非平稳特性的调制参数。经过参数优化筛选,分别取值为α=300、β=40 000,则调制函数如图6所示。调制函数的最大值为1,最小值为0.1,其一个周期刚好与本次模拟强风作用的时间相同,且与台风经过时的能量变化规律类似,呈现出一个两端小中间大的慢变均匀变化趋势。

图6 慢变均匀调制函数Fig.6 Uniform nodulating function

由图7给出了利用式(9)最终得到的非平稳脉动风速时程模拟结果。通过均匀调制函数得到的非平稳顺风向与竖向脉动风速时程整体均值为零,具有很明显的时变趋势,同时还有一定的时变方差性。与慢变均匀调制函数的变化趋势相符,说明模拟的结果符合非平稳脉动风速的特性。

图7 非平稳脉动风速时程图Fig.7 Time history of simulation of non-stationary turbulence

基于风场模拟结果和风洞试验得到的气动力系数,可以进行风载模拟效应。图8给出了部分模拟点的非平稳抖振力效应代表性时程图(40 m/s),图9为模拟采用的主梁气动力系数图。

(a) 非平稳抖振扭转代表性模拟点

(b) 非平稳抖振阻力代表性模拟点

图9 主梁气动力系数Fig.9 Drag, lift, and moment coefficient curves

4.3 关键点动力位移响应结果

将得到的风荷载结果施加到有限元模型上,其中静风荷载与非平稳抖振力采用外部文件的方式导入,而气动自激力则在ANSYS中采用MATRIX27矩阵的形式输入。利用ANSYS的瞬态动力学分析功能并考虑几何非线性与刚度硬化效应,计算得到案例桥梁主梁时变抖振响应结果。

图10给出了主梁跨中抖振位移时程,主梁的竖向位移变化幅度呈现出中间大两边小的趋势,这与非平稳脉动风速时程图及力的时程图变化趋势相近,且具有明显的方差时变特性。图11给出了抖振位移对应的标准化概率密度函数拟合与标准高斯分布概率密度函数的对比结果,可以看出两者相差较大,说明直接采用原数据进行非平稳抖振动力可靠度计算会产生较大的误差,故需要对数据进行高斯转换。

图10 非平稳抖振主梁跨中位移时程Fig.10 Time history of non-stationary buffeting displacement responses in the vertical mid-span girder

图11 跨中竖向位移概率密度函数拟合图Fig.11 The standard probability density function in the vertical mid-span girder

根据得到的抖振位移响应,图12给出了采用Winterstein修正模型的高斯转换结果。高斯转换之后的主梁跨中位移时程相比于之前的位移时程图其幅度有所降低。图13给出了高斯转换前后标准化概率密度函数对比结果,变量组在标准化高斯转换之后,其偏态以及峰度相比之前更加贴近标准高斯分布的概率密度函数。由图14(a)图可知,响应数组在高斯转换后,其变量组的均值未发生明显的变化,从图14(b)图可知,在高斯转换后的数据在跨中处更具有稳定性。

图12 高斯转换后的非平稳抖振主梁跨中位移时程Fig.12 Time history of non-stationary buffeting displacement responses in the vertical mid-span girder after Gaussian translation

图13 高斯转换前后标准化概率密度函数对比图Fig.13 The standard probability density function in the middle of mid-span girder before and after Gaussian translation

(a) 响应标准差

(b) 响应导数标准差图14 高斯转换前后响应统计特性对比图Fig.14 The Statistical characteristic of responses before and after Gaussian translation

在本次非平稳可靠性分析中,主要采用变量组的标准差与其导数的标准差计算可靠概率,因此由图14(a)、(b)可知本次高斯转换前后数据在标准差与其导数的标准差并未发生明显的变化。

4.4 非平稳抖振时变动力可靠度结果

由于得到的高斯转换后的动力特性响应具有很强的非平稳特性,故需要计算其时变方差。对主梁每个计算位置,采用10 s时间区间,每个区间80个抖振响应样本进行计算,共得到60个响应方差样本,图15给出了主梁跨中的抖振响应时变方差的计算结果。

图15 主梁跨中时变方差(40 m/s)Fig.15 Time-varying variance in the vertical of mid-span girder

此外,还需要对可靠度边界进行处理。图16为主梁在静风荷载下的竖向位移响应,利用式(15),对主梁竖向刚度的动力可靠性界限进行处理,结果如图17所示。

图16 主梁竖向空气静力位移响应沿桥跨的分布Fig.16 Distribution of aerostatic force displacement responses on the vertical of mid-span girder

图17 主梁竖向非平稳抖振可靠度界限沿桥跨分布Fig.17 Distribution of vertical non-stationary buffeting reliability limit on the girder

经过上述结果,通过首次穿越概率的原理计算其时变动力可靠度,图18给出了不同平均风速时抖振动力可靠性结果沿主梁的分布。表2给出了南塔边跨跨中(模拟点12)、主跨四分之一跨(模拟点34)、主跨跨中(模拟点45)、主跨四分之三跨(模拟点56)、北塔边跨跨中(模拟点78)的具体的动力可靠性数值。结果表明斜拉桥主梁非平稳抖振动力可靠性随一次强风平均风速的上升而下降。主梁跨中在风速为50 m/s的情况下,最先开始出现变化,并随着风速的增大,其可靠性逐渐减小。对于主跨处四分之一跨(模拟点34)与四分之三跨(模拟点56),也在60 m/s风速下,出现了可靠性的变化。主梁跨中(模拟点45)的可靠性最低,为非平稳抖振的最不利位置。

图18 不同平均风速时可靠性沿主梁分布图(40 m/s)Fig.18 Distribution of different mean wind velocity reliability on the girder

表2 主梁节点模拟的非平稳抖振力可靠性Tab.2 Simulated girder points of non-stationary buffeting reliability

5 结 论

科学有效的分析强风作用下大跨度桥梁的抖振可靠性,对保障桥梁安全和道路交通体系的顺利运营具有十分重要的意义。本文针对强风荷载作用的非平稳特性,基于精细化的抖振时域显式分析过程,并考虑抖振相应的非平稳和非高斯特性,提出了一次强风作用下大跨度桥梁主梁非平稳抖振可靠性分析的方法流程,主要工作总结如下:

(1) 非平稳强风荷载效应的时域化模拟。采用谐波合成法模拟得到主梁的两个独立平稳脉动风速,结合进化谱理论将平稳脉动风速转化为非平稳脉动风速。根据现有显示静风与非平稳抖振力荷载公式求解时变风荷载,并通过引入单元气动刚度矩阵与气动阻尼矩阵实现气动自激力。

(2) 提出了考虑非平稳非高斯抖振相应的动力可靠性分析方法。对于精细化有限元分析得到的抖振响应,考虑响应方差的时变特性,采用基于Poisson假定的首次超越概率来求解非平稳抖振动力可靠性。对于响应的非高斯特性,则采用Winterstein修正模型对其进行高斯转换。

(3) 应用所提出的方法流程对某大跨度斜拉桥在一次强风作用下的抖振可靠性进行了分析评估,结果表明:① 非平稳脉动风速模拟结果与均匀调制函数的变化趋势相符,符合强风历经时的能量变化规律;② 抖振响应具有明显的非平稳和非高斯特性,采用高斯转换处理响应结果并考虑方差的时变特性是十分必要的;③ 案例斜拉桥主梁非平稳抖振动力可靠性随一次强风平均风速的上升而下降,主梁跨中可靠性最低,为非平稳抖振的最不利位置。