巧用平面几何知识 妙解离心率问题

崔丽力

(河南省南召县第一高级中学)

离心率是刻画圆锥曲线形态特征的基本量,它反映了椭圆的“扁圆”程度,以及双曲线的“张口”大小,因此对椭圆、双曲线离心率的考查就成了历年高考的一个热点.从大方向看求离心率的值是建立等量关系,求离心率的范围是建立不等关系,解决离心率问题的常用方法是代数法或几何法,从教学实践看同学们更热衷于代数运算,因为思考量小,但是解析几何中的“几何”二字也正体现了数与形的完美结合,且从近些年的高考题来看若能恰当的选用平面几何知识将可以实现“秒杀”,下面通过几个典例说明.

一、巧用圆锥曲线本身蕴藏的几何性质

椭圆、双曲线(包括渐近线)本身就具有相应的几何性质,在实践中由题目信息找到之间联系就可以迅速解决问题.

( )

( )

二、巧作辅助线

某些条件下已有几何关系,但等量关系不易找到时,可以适当作辅助线进而迅速破局.通常是取中点,作平行线,根据对称性补形等等.

( )

( )

三、巧用化归转化思想

根据题目需求,将题目中代数式或约束条件转化为几何图形间关系,通常涉及直线的斜率、角度、辅助圆等等,常是求离心率范围的巧妙手段.

( )

图1

图2

图3

图4

图5

图6

图7

图8

图9

图10

图11

( )

图12

【小结】随着新教材的使用,过去选修的平面几何版块已不在教材中体现了,但从评价体系及新高考试题的导向来看其地位和作用在学习数学的过程中并不减少,除了今天举例所涉及的解析几何中的一个方面,其他诸如立体几何、平面向量、复数、解三角形,甚至于基本不等式我们的教材还给有几何解释,可以说涉及有数形结合思想的都有平面几何的影子,特别是以今天举例的无论是高考真题还是模拟题原题都没有配图,需要同学们自己画出合适的图形来帮助理解,这显然是站在“指挥棒”的角度考查直观想象这一数学核心素养的体现,因此在学习中加强平面几何知识的思考和应用也是应有之义,更有广阔的实用价值.