杨森公式和深仓侧压力计算

张美梅，李新南

（上海市建筑材料工业设计研究院有限公司，上海 200032）

0 引言

圆筒仓（深仓）广泛应用于建材和粮食等行业的物料贮存。目前，对于深仓侧压力的计算，国内外普遍采用杨森计算公式。在GB 50077—2003 《钢筋混凝土筒仓设计规范》中也明确规定，深仓侧压力计算以杨森公式为主，并辅乘修正系数来进行调整。这种计算方法已延续多年，但我们在引用计算公式时发现，杨森公式无论在计算假设还是在计算所得结果方面均存在很多问题。因此，必须深入研究这些问题产生的根源并予以解决。笔者依据散粒体的物理特性，在研究和分析杨森公式的基础上，推导出新的深仓侧压力的计算公式。

1 杨森公式的运用及问题分析

当前计算圆形深仓中的散粒体对仓壁和仓底所产生的压力时，杨森公式的推导依据如下。

假设散粒体任意一点（包括仓壁）的水平压力qx与垂直压力qz成正比。即：

式中：Ka为主动侧压力系数。

假设散粒体沿仓壁滑动的阻力为τ:

式中：f0= tanφ0为散粒体与仓壁的摩擦因数；φ0为散粒体与仓壁的摩擦角。

在距仓顶深度为Z处取一层厚度为dz的贮料单元体，如图1 所示。单元体上的作用力有：自重γFdz（F为单元体面积，γ为散粒体重度），垂直压力qz和下面的反力qz+ dqz，仓壁上的滑动阻力τ。列出在各力作用下的平衡方程，对该方程进行积分，最后得到杨森公式中垂直压力qz的计算式：

图1 贮料单元体受力示意Fig.1 Schematic diagram of the force of the storage unit

仓壁的水平压力qx可利用式（1）求解。虽然杨森公式已成功应用于深仓的设计实践，但是早期依据杨森公式设计的钢筋混凝土深仓屡次出现问题，主要表现在仓壁出现垂直裂缝。许多学者为追查原因而进行多次试验，发现式（3）给出的计算压力与实际压力相比偏小，因而许多国家的筒仓计算规程和我国的筒仓计算规范规定：仓底长度为2/3仓高的下部仓壁的水平压力qx比式（3）计算出的水平压力增大一倍。由此可见，杨森公式是一个被试验所推翻的计算公式，可以说杨森公式的假设是不成立的。

前苏联学者克列因认为：试验结果与杨森公式的差别主要是按式（1）给出的主动侧压力系数Ka偏低。因为刚性仓壁的弹性位移太小，散粒体不可能出现完整的滑动面，不可能产生主动侧压力。所以克列因主张在计算时采用静止侧压力系数K0，它比极限状态下的Ka值大很多，例如谷物的平均Ka= 0.3，而K0= 0.7。

依据克列因的分析，分别采用Ka= 0.3 和K0=0.7代入式（1）和式（3）进行计算，所得结果是：2种情况下的仓底水平压力几乎一致，但仓底的垂直压力却有差距，与实际压力相比，式（3）所得结果还是偏小很多，由此可见，杨森公式计算所得结果比实际压力偏小的原因不是主动侧压力系数Ka偏低，而在于假设基本不成立。

对式（3）进行研究和分析后得到：式（3）给出的计算压力比实际压力偏小的原因在于杨森公式的第二条假设：考虑散粒体沿仓壁滑动的阻力τ，这个阻力τ的计算值很大，致使仓底的垂直压力减小很多。由于qz减小，仓底的水平压力qx也随之减小。现通过计算例题进行说明。

设有一组深仓，高h=20 m；内径D分别为5、8、10、12 m；γ=17 kN/m³；散粒体的内摩擦角φ= 30°，散粒体与仓壁的摩擦角φ0= 25°。

按式（3）和式（1）计算出每种仓的仓底垂直压力qz和仓底水平压力qx。每种仓散粒体总重W，每种仓仓壁总的摩擦阻力∑τ，∑τ和W的比值，计算结果见表1。

表1 各种内径筒仓qz、qx、W、∑τ和β的计算结果Tab.1 Calculation results of qz、qx、W、∑τ and β of various inner diameter silos

（1）当不考虑阻力τ时，深仓仓底的垂直压力应为：qz=γh= 17 kN/m3× 20 m = 340 kPa。考虑阻力τ后，仓底的qz减小很多。如D=5 m 的深仓，qz由340 kPa 减小至126 kPa，β=0.63。即使是D=12 m 的深仓，qz也由340 kPa 减小至211 kPa，仓中散粒体的重力很多都转至仓壁上，致使仓底的qz和qx均比实际压力小很多。

（2）计算深仓时，是否应考虑τ值？按照杨森公式的假设，散粒体沿仓壁滑动而产生阻力τ。但是当贮料静止时，散粒体不产生滑动，因而阻力τ也不存在。考虑了阻力τ以后，将使计算偏于不安全，计算所得的垂直压力qz和水平压力qx大幅度减小。结构计算的基本原则是考虑最不利的因素，而考虑阻力τ是有利因素。

2 “新的”深仓侧压力的计算

基本假设如下：1）依据散粒体的物理特性，深仓中散粒体对仓壁的作用力为E，其方向是由散粒体的内摩擦角φ指向仓壁；2）由于深仓仓壁的刚度很大，在计算时采用静止侧压力系数K0；3）仓中散粒体除了对仓壁产生水平压力qx外，还对仓壁产生垂直压力qy。

在深仓截面中，采用单位圆周长所对应的扇形截面abo作为计算单元，如图2所示。

图2 圆库贮料受力示意Fig.2 Schematic diagram of the force of the circular warehouse storage

图2 中，E为散粒体对仓壁所产生的作用力，力的作用方向是由散粒体的内摩擦角φ指向仓壁；Gz为距仓顶深度Z处扇形截面abo中的散粒体重量；qx为散粒体对仓壁所产生的水平压力，即静止侧压力；qy为散粒体合力E对仓壁所产生的垂直压力。

式中:Kw0为单位重量散粒体的静止侧压力系数。

目前引用的都是单位重量散粒体的静止侧压力系数K0，依据静止侧压力系数的定义：静止侧压力系数为水平应力σh和垂直应力σv的比值，即：

但是目前所引用的静止侧压力系数K0却不符合定义。目前计算静止侧压力的公式为：

图3 散粒体作用于挡墙示意图Fig.3 Schematic diagram of the action of the bulk particles on the retaining wall

由式（9）和式（10）得：

在距仓顶深度为Z处扇形面积上散粒体的重量为：

式中：R为深仓半径。

重量为Gz的散粒体对仓壁所产生的静止侧压力即水平压力为：

因为计算所取的单元为扇形，而扇形面积仅为矩形面积的一半，所以在求水平压力qx时，必须乘上面积折减系数S=0.5，此时式（13）改为：

依据散粒体的物理特性，散粒体对仓壁作用力E的方向是由散粒体的内摩擦角φ指向仓壁，因此散粒体除了对仓壁产生水平压力qx外，还对仓壁产生垂直压力qy：

单元体中散粒体的重量原是Gz，由于产生垂直压力qy，因而Gz减小为：

由于散粒体的重量由Gz减小为G，因而散粒体对仓壁所产生的水平压力qx为：

代入式（15），整理后得到仓底垂直压力的计算式为：

由式（19）可知，仓底垂直压力仅与仓高H和φ有关，而与仓径大小无关。

计算例题：深仓内径D=10 m，高h=20 m，γ=17 kN/m³，φ=30°，静止侧压力系数K0= 1 - sinφ=0.5，要求计算仓底水平压力和仓底垂直压力。

仓底单元扇形面积上散粒体重量GH为：

单元散粒体对仓壁所产生的垂直压力qy为：

3 算例及分析

为了研究和分析深仓中散粒体产生的水平压力和仓底垂直压力，对一组深仓进行计算。

设有一组钢筋砼深仓：仓高h均为20 m；仓直径D分别为5、8、10、12 m；贮料的散粒体内摩擦角φ为40°、35°、30°和25°；散粒体重度γ=17 kN/m³，散粒体与仓壁的摩擦因数f0=0.466；静止侧压力系数K0=1 - sinφ。计算仓底垂直压力和水平压力。

按以下3 种计算方法进行计算：1） 杨森公式。2） “筒仓计算规范”所规定的方法。3） 本文所推导的公式。结果详见表2。依据表2中计算结果可知：

表2 用3种公式计算所得各直径深仓不同贮料的水平、垂直压力Tab.2 Horizontal and vertical pressure results of different storage materials of each diameter deep silo calculated from 3 formulas

（1） 杨森公式计算所得结果的确偏小很多。

（2） 杨森公式假设散粒体对仓壁的作用力是垂直于仓壁的，这不符合散粒体的物理特性。依据散粒体的物理特性：散粒体对仓壁的作用力方向是由散粒体的内摩擦角φ指向仓壁。

（3） 杨森公式引用主动侧压力系数Ka来计算散粒体的侧压力。由于仓壁不存在位移，实际上这个系数在计算中是不存在的。

（4） “筒仓设计规范”对深仓侧压力的计算规定以杨森公式计算为依据，考虑到杨森公式计算结果比实际压力偏小太多，因而在使用杨森公式计算时，引用贮料压力的修正系数C，使杨森公式计算所得结果比较符合实际压力。“规范”规定，仓底垂直压力的修正系数Cv=1.4；在长度为2/3 仓高的下部仓壁，仓底水平压力的修正系数Ch=2.0。按照杨森公式的假定：散粒体的任意一点的垂直压力qz与水平压力qx成比例，为什么在引入修正系数C进行调整时，水平压力qx的修正系数Ch=2.0，而垂直压力qz的修正系数Cv=1.4？这是由于引用了偏小的修正系数，使得垂直压力的计算结果偏小很多。

本文所推导的计算公式主要依据是引用了散粒体的静止侧压力，因而静止侧压力系数K0的取值是否恰当，将影响到压力的计算值是否符合真实的压力值。在表2 中，计算所采用的K0值是引用Jaky 所提出的K0= 1 - sinφ的经验计算公式。该式是在大量室内试验的基础上经统计而得到的。由于是经验公式，不可能把全部试验数据都归纳进去，因而误差难以避免。由于K0值的不定性，导致本文计算公式所得结果与实际压力可能存在偏差。

按“规范”规定：杨森公式计算结果乘以修正系数后所得的压力值存在3 种情况：1） 与实际压力相符合；2） 比实际压力偏大；3） 比实际压力偏小。

4 结语

本文推导得出的公式主要依据散粒体的物理特性，以及假设圆筒仓中散粒体所产生的侧压力是静止侧压力。公式的物理概念清楚且计算简单。由实例计算结果得知，本文公式计算所得结果与“规范”所规定的计算方法所得结果比较接近，有些甚至是相同的。