基于CPFS结构的圆锥曲线教学研究

黄婕

摘 要：良好的数学认知结构应该呈现出一个层次分明的网络形式，如何构建起一个完整的数学认知框架对学生的数学学习起着关键作用.本文利用CPFS结构理论来分析高中圆锥曲线的CPFS结构，并以“椭圆的简单几何性质”一课为例，进行基于CPFS结构理论的圆锥曲线教学研究.

关键词：CPFS结构；圆锥曲线；教学研究

在众多影响学生学习的因素中，学生的认知结构是最为重要的影响因素^［1］.数学学习的过程是让学习者的认知结构日益完善的过程，这一点在现代数学教育家中被广泛认可^［2］.CPFS结构是一种数学学习特有的认知结构^［3］.它可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，从而加深他们对数学的理解，提高他们的数学能力.

1 CPFS结构组成

CPFS结构由四部分组成：概念域、概念系、命题域和命题系^［3］.CPFS是一个高度抽象的数学概念，是一个命题及其中包含的数学思维的有机整体. CPFS比数学认知结构具有更高的精确度，能够对学习者的逻辑思维进行训练，并对其终身学习能力的发展起到推动作用.

1.1 概念域

概念域是指这个概念完全等效定义的图式.更确切地说，就是指某一概念（知识）的某些等价定义在个人脑海中所构成的知识网络与个人对于数学知识的表征^［3］.

1.2 概念系

通俗地说，某一概念的全部等价概念就共同组成一个概念域，而概念系是指概念间所满足的一组关系^［3］.概念系强调若干数学概念间的互相关联，亦要求学习者把脑海中原有知识与新学概念建立联系，即架起新、旧知识间的桥梁，让脑海中知识构成一个关联的整体.

1.3 命题域

等价命题网络是由典型命题的等价命题集与连接这些命题之间的互推关系所构成的，等价命题网络的图式就称为典型命题的命题域^［3］.对于给定一个特殊的数学问题或一类特殊的实际问题，可以利用这个最易被理解的典型命题来研究它所对应的具体对象之间的联系.

1.4 命题系

在一个命题集中，每个命题都至少与其他命题存在一种“演绎”上的关联，这样该命题就被划分为一个半等价命题的图式^［3］.经过仔细分析，不难发现，在大多数情况下，命题系实际上是一个自然扩展的命题域，而命题域实际上是某个命题系的一个子图式.

2 基于CPFS结构理论的圆锥曲线教学研究

2.1 教学内容分析

本节课的内容选自人教A版选择性必修第一册中的“椭圆的简单几何性质”.

在解析几何领域，一个基本问题是利用曲线方程研究曲线的几何性质，而“椭圆的简单几何性质”则是学生首次系统地学习如何在解析几何中运用代数手段来研究曲线性质，这为后续基于方程研究双曲线、抛物线甚至一般曲线的几何性质都具有示范作用.

2.2 学生学情分析

关于解析几何中的直线、圆等基础知识，以及在上一节课中所学习的椭圆的定义及其标准方程，学生已经有了一定的掌握，学生也有用函数图象研究相应函数性质的经历.在高中阶段，大多数学生的思维更加灵活，对于学习的热情也很高，参与意识强烈，有一定动手体验和探究的兴趣.但总体上学生创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，需要进一步提高逻辑推理等方面的能力.

2.3 教学目标设定

基于上述教材内容分析和学生学情分析，设定教学目标如下.

（1）掌握椭圆的简单几何性质，并能初步运用其性质解决问题.

（2）类比函数性质的研究，经历椭圆几何性质的推导和证明过程.通过图形观察和代数证明，建立椭圆的标准方程结构特点和几何性质之间的联系.

（3）掌握利用曲線方程探索曲线性质的一般方法，感知数形结合、类比、函数与方程等数学思想方法，促进学生直观想象，逻辑推理等数学核心素养的发展，扩充和完善学生的CPFS结构.

2.4 教学设计

片段一：创设问题情境，促进CPFS结构联系性发展

师生活动：教师请学生尝试绘制椭圆x²9＋y²4＝1，教师进行巡视并适当指导，在作图过程中，学生主要运用定义法、描点法和几何性质法三种方案.

问题1：椭圆可能有哪些几何性质？怎么研究这些几何性质？

设计意图：通过创设数学问题类情境，激发学生思考.让学生在作图过程中，感受到定义法和描点法存在不足，引发认知冲突，教师进而阐明利用几何性质作图的必要性，由此顺利地引入课题.该情境的创设基于学生前面所学的相关知识，不仅可以重新回顾现有的知识结构，激发学生的学习热情，更能够帮助学生建立前后知识间的连贯性，为扩展椭圆CPFS结构做好充分准备.

师生活动：教师让每个学生任意绘制一个椭圆x²a²＋y²b²＝1（a＞b＞0），相互对照，观察这些椭圆的图象，它们在“形”的角度有没有异同点？学生自行绘制并比较，在教师的引导下得出结论.

问题2：椭圆作为一种曲线，曲线的方程和函数的解析式之间有什么关系？由此你有什么启发？

问题3：以前我们研究过函数的哪些性质？ 这些性质和椭圆的几何性质有联系吗？

设计意图：引导学生通过观察图象，初步形成对椭圆几何性质的整体印象，找到椭圆之间的共同点：范围、对称性、顶点.不同点：扁平程度.为后续研究圆锥曲线的几何性质奠定了基础.引导学生将曲线的方程与函数解析式进行类比，帮助学生更好地理解数学知识之间的内在联系，促进CPFS结构联系性发展.

片段二：设计探究活动，促进CPFS结构形成性发展

任务一：限定椭圆的范围

问题4：什么是函数的定义域和值域？

追问1：类比研究函数的定义域和值域，你认为可以研究椭圆的什么性质？

追问2：观察椭圆的图象，椭圆的范围是什么？

追问3：我们能通过椭圆的标准方程x²a²＋y²b²＝1来确定它的范围吗？

设计意图：类比函数的定义域和值域，学生猜想可以研究椭圆的范围.先让学生从图象上直观感知，再用代数法进行验证，最终得到椭圆的范围.学生在观察图象和数学运算中深刻体会到函数与方程、数形结合的思想.

任务二：探究椭圆的对称性

问题5：在“形”和“数”这两个方面，函数的奇偶性分别有什么结论？

问题6：类比函数的奇偶性，你认为可以研究椭圆的什么性质？可以从哪些方面进行研究？

追问：从“形”上看，椭圆具有什么特征？能从“数”的角度进一步验证吗？

设计意图：在通过观察图象直观得到椭圆具有对称性的基础上，再进一步利用椭圆的标准方程来证明，从而更深刻地领悟数形结合的思想.教师运用问题链的方式对学生进行追问，可以引导他们逐步建立起各个知识点之间的相互关联，并不断形成和拓展CPFS结构.

任务三：寻找椭圆的顶点

问题7：在图象上，函数的最值指的是什么？

追问1：类比函数的最值可以研究椭圆的什么性质？

追问2：类比函数顶点的定义和结合图象观察，椭圆有几个顶点？具体是哪些？

设计意图：类比函数的顶点定义引导学生刻画椭圆的顶点，再利用几何直观进一步研究得出椭圆的顶点坐标，在这过程中让学生体会到类比迁移和数形结合的思想，提高了思维的深刻性.在本任务中，教师主要通过提出一系列问题来整理和总结结论，有助于学生能够有条不紊地将该部分知识整合到他们的CPFS结构中.

任务四：掌握椭圆的离心率

问题8：根据刚刚所学知识，请同学们尝试在同一直角坐标系上绘制出椭圆x²36＋y²9＝1和x²36＋y²16＝1的图象.观察图象，它们在形状上有何差异吗？

追问1：在椭圆的标准方程中，哪些量的变化会导致椭圆的扁平程度不同？请再尝试画出椭圆x²25＋y²16＝1进行分析.

追问2：画出三个椭圆的边界矩形，观察并思考，a和b怎么影响边界矩形的扁平程度？

设计意图：通过绘制三个不同的椭圆，学生可以更直接感受到椭圆扁平程度的差异.利用“数形结合”引导学生找出影响椭圆扁平程度的参数，并以边界矩形为“桥梁”进一步寻找参数a，b与椭圆扁平程度的关系.

问题9：能否从椭圆的定义出发，利用椭圆的基本量a和c来刻画椭圆的扁平程度？

师生活动：教师运用信息技术，根据椭圆的定义画出给定长轴的长度和焦点坐标的椭圆，引导学生观察并思考：保持半焦距c不变，拖动顶点的位置，或者保持长半轴长a不变，拖动焦点的位置发现了什么？将a，c同时放大或缩小，又发现了什么？ 师生共同讨论得出结论并给出离心率e的概念.

问题10：离心率e的取值范围是多少？能尝试从代数的角度说明离心率e如何影响椭圆的扁平程度吗？

设计意图：教师根据a，b，c之间的关系，引导学生从ba过渡到ca刻画椭圆的扁平程度.通过信息技术的形象展示，使学生能够更直观地感知椭圆扁平程度的变化，进而建立数学模型e＝ca来反映椭圆的扁平程度，领悟其变化规律.在代数运算过程中，学生也进一步明晰了离心率的变化对椭圆扁平程度的具体影响，从而深刻理解离心率的概念.

在本教学片段中，教师利用设计探究活动和问题链的方式引导学生亲身经历知识的形成过程，以激发学生逐步构建知识结构，促进

CPFS结构形成性发展，提高学生的核心素养.

片段三：指导知识建构，促进CPFS结构结构性发展

问题11：请你根据前面的探究，尝试总结出焦点在坐标轴上的椭圆的几何性质.

设计意图：通过类比已有知识，将新旧知识进行连接，学生能够自主总结出焦点在坐标轴上的椭圆的几何性质.这个主动发现、探索和创造的过程，有利于激发他们的逻辑思维能力，还为他们在学习双曲线和抛物线的几何性质时提供坚实的基础.同时，还能帮助学生建构知识，将所学知识有机地融合在一起，形成一个相互关联、有序的整体，促进CPFS结构结构性发展.

片段四：运用变式练习，促进CPFS结构深化性发展

例题：已知椭圆的焦点在x轴上，a＝5，e＝35，求该椭圆的标准方程.

變式：已知椭圆经过两点（-22，0）和（0，2），求该椭圆的标准方程.

设计意图：通过变式练习让学生学会分析问题，寻找问题的切入点，加深学生对椭圆几何性质的认识与应用，进而拓展思维，合理链接知识，培养学生思维的灵活性与全面性，巩固和完善他们头脑中刚刚建立起来的

CPFS结构，促进CPFS结构深化性发展.

片段五：总结强化提升，促进CPFS结构整体性发展

问题12：梳理本节课的所学知识以及探究过程，请尝试从知识、方法、数学思想等几个方面说说有哪些收获？

师生活动：师生共同构建本节课的知识和思想方法结构图，促进学生知识的系统化.

设计意图：教师帮助学生建立知识间的纵横联系，构建数学知识的整体结构，总结形成思想方法体系，从而提升数学思维品质，提升数学素养，促进CPFS结构整体性发展.

3 基于CPFS结构理论的圆锥曲线教学策略

3.1 变式教学——多元表征理解所学，构建完备知识网络

在日常的教学过程中，教师可以采用变式教学来扩充和完善学生的CPFS结构.变式教学可以帮助学生从多个角度全面理解所学内容，从而获得更加深入的学习体验.此外，为了提高教育教学的质量，教师需要对知识内涵进行深入剖析，并巧妙地将概念、习题以及命题的多种变化形式应用于实际教学中.教师还可以运用点带面的思维方式，通过对所学内容的延伸和扩展，构建一个完备的知识网络^［4］.

在教学实践中，教师应当采用多样化的教学方法，以协助学生全面掌握各种表达形式，从而使他们能够精准地理解不同形式之间的差异和相似之处^［5］.比如，当教授“椭圆的概念”时，教师应运用多种教学方法，多角度阐释椭圆的概念，进而帮助学生更好地理解抽象的概念.先以日常生活中常见的椭圆形物体或图片为切入点，帮助学生初步理解椭圆的概念，从而将其引入本次教学.接着，结合生活实例，将椭圆与现实生活联系起来，激发学生的学习兴趣和求知欲.以学生为中心，引导他们深入了解椭圆的形成过程，从而顺畅地阐述椭圆的第一定义，进一步加强学生对椭圆定义的理解.再结合相关案例来分析讨论如何利用生活实例讲解椭圆的第二定义，从而使学生更好地感受到椭圆是什么以及它存在的意义.紧随其后，教师可以运用多种类型的实例，深入地探讨椭圆的概念.在课程的末尾，引导学生归纳和总结椭圆的定义，来促进对椭圆定义的全面理解，并将其融入到自己的知识网络中，从而建立一个更加系统的知识框架，实现完整CPFS结构的构建.

3.2 分层教学——尊重差异因材施教，塑造个性知识结构

在日常的教学过程中，由于受到多种因素的影响，学生在知识水平、认知结构等方面难免会存在差异.因此，教师必须精准地洞察学生之间的差异，并根据这些差异对学生进行分组，以便为不同层次的学生量身定制适宜的授课方式，从而激发他们在学习过程中的自发性和积极性，帮助他们塑造个性化知识结构^［6］.

在教授圆锥曲线的课程时，对于那些已经建立了相当完备的认知结构的学生，教师可以教授更具综合性和动态性的问题，如弦或弦长求定值或最值等问题，这有助于提升其认知水平，提高学习效率，进一步加强和巩固他们的认知框架.在讲解综合性较强的问题时，教师可以特别关注学生对数学思维方法的运用，这样不但可以帮助他们准确理解相关知识之间的联系，还可以增强他们的认知结构，从而能有效促进学生综合素质的提升.然而，对于那些在认知结构上存在缺陷的其他学生而言，教师应当避免传授过于综合的知识或练习.教师可以以圆锥曲线的定义为出发点，引导学生将问题的本质归纳为圆锥曲线定义的变形.在此基础上再设计出几个例题来引导学生去探索其中所蕴含的几何意义，以此来协助学生逐步扩充和完善CPFS结构，以适应不断变化的教学需求.

3.3 问题链教学——积极思考自主探究，扩充完善认知体系

目前来看，由于受到传统应试教育观念的影响，大多数老师都是将课堂上传授的理论知识作为唯一的目标，忽略了课堂教学中所渗透出来的思维方法、思想情感等方面的教育，这样被动地接受知识严重阻碍了学生的认知结构的形成^［7］.因此，教师需要采用更有利于学生形成认知结构的问题链式教学模式.这种方式有利于提高课堂教学效率，培养学生自主探究能力.通过运用问题链，引导学生积极思考，不断深化对知识的理解和方法的运用，从而进一步扩充和完善他们的认知体系.

比如，在教授“椭圆的定义”这一教学内容时，教师可以提出以下问题链：问题一：回顾之前学习圆的过程，是怎样得到圆的定义的？问题二：圆与椭圆之间存在什么联系？圆怎么变化能得到椭圆？问题三：圆上的点的轨迹必须满足哪些条件？问题四：类比所描述的圆上点的轨迹，尝试说一说椭圆上点的运动轨迹？通过设计问题链，利用圆的定义来探究椭圆定义的本质，这样不仅有助于学生在不同知识之间建立更加紧密的联系，还能提高他们灵活地将知识运用到实际中解决问题的能力.

参考文献

［1］喻平.数学问题解决认知模式及教学理论研究［D］.南京：南京师范大学，2002．

［2］喻平.數学学习心理的CPFS结构理论与实践［M］.南宁：广西教育出版社，2008．

［3］喻平，单墫.数学学习心理的CPFS结构理论［J］.数学教育学报，2003，12（1）：12--16．

［4］鲍红梅，喻平.完善中学生CPFS结构的生长教学策略研究［J］.数学教育学报，2006，15（1）：45--49．

［5］李健.新课程背景下概率与统计的变式教学探析［J］.数学通报，2021，60（12）：37--40．

［6］王璐.基于CPFS结构理论的初中二次函数教学研究［D］.漳州：闽南师范大学，2023．

［7］焦竹云.初中生函数CPFS结构与函数建模水平的相关性研究［D］.新乡：河南师范大学，2019．