整体把握教学内容，促进学生“数与运算”深度学习

冉国明　魏建祺　刘莹

［摘 要］基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中的“整体把握”理念，以北京版教材一年级下册“数学百花园”的百数表为研究对象，从研究背景、教材分析、个人思考、教学实践和反思收获五个方面对“100以内数与运算”教学基于“计数单位表达一致性”的课例实践展开探讨，得出“整体把握教材、整体设计教学有助于学生建立知识结构，促进深度学习”和“抽象内容应以直观、显性的方式呈现，特别是几何直观方式，有助于学生深度理解”的结论。

［关键词］整体把握；数与运算；百数表；深度学习

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2024）05-0028-06

一、研究背景

“数学百花园”是北京版小学数学教材一年级下册第七单元的内容，其主要内容是“百数表”。然而，在实际教学过程中，教师普遍对于这部分内容感到困惑。一方面，虽然一年级下册教材的第一单元“认识一百以内的数”已经有类似的内容，但部分教师对两者之间的关系不够清晰。另一方面，教师在如何有效利用“数学百花园”中编排的图示展开教学方面存在许多疑问。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）的课程实施教学建议指出：“为实现核心素养导向的教学目标，不仅要整体把握教学内容之间的关联，还要把握教学内容主线与相应核心素养发展之间的关联。”这一“整体把握”的理念为教育工作者指明了新的研究方向。因此，笔者基于“整体把握”的理念，探索促进学生在“数学百花园”中实现深度学习的路径。

二、教材分析

（一）北京版教材对“百数表”这一内容的编排

“百数表”这一内容第一次是出现在北京版教材一年级下册的第一单元“认识一百以内的数”的第三节“数的顺序与比较大小”部分（如图1-1所示），第二次是出现在第七单元“数学百花园”（如图1-2所示）。

对比两次编排的内容，可以发现第一次侧重于认识百数表，并发现百数表中数的排列顺序和规律，第二次则偏重应用规律解决一些问题。

（二）横向对比不同版本教材对“百数表”这一内容的编排

为了更深入地理解和把握教材内容，笔者对其他版本教材中关于百数表的部分进行了梳理。笔者查阅了人教版、北师大版、苏教版和浙教版四个版本的教材（如图2-1、2-2、2-3、2-4所示），发现这四个版本的教材对于百数表的编排都只有一次，并且内容上相似度较高，重点都是让学生认识百数表，发现数的排列顺序和规律，并在此基础上进行简单的应用。例如，人教版教材将百数表编排在“数的顺序和比较大小”的内容中。此外，这四个版本的教材在该部分内容都设计了引导学生发现规律的开放性问题，如“你发现了什么？”等，并设计了根据百数表填数的练习。

三、思考

思考1：北京版教材第七单元数学百花园的编排仅仅是为了让学生运用规律解决问题，深化学生对100以内数的认识吗？这一內容再次出现在最后一个单元，有什么意义和价值？

一年级下册教材中的数与代数部分主要包括两个内容，即认识100以内的数和100以内数的加法和减法（一）（二）。这两部分的篇幅占据了教材内容的一半以上。从这个角度来看，将百数表再次安排在第七单元“数学百花园”中，可以理解为对本册教材中“数与运算”内容的一个统整。这样的安排一方面可以加深学生对100以内数的认识，另一方面也可以深化学生对100以内加减法的理解，最终促进学生核心素养的进一步发展。

思考2：如何通过有效的教学设计达成以上两个目标？

《课程标准》指出：“对小学阶段‘数与运算主题，在理解整数、小数、分数意义的同时，理解整数、小数、分数基于计数单位表达的一致性。”何谓“计数单位表达？”笔者认为有三个方面：单位思想的建立、单位个数的运作和计数单位的转化。

要深化学生对100以内数的认识及100以内加减法的理解，就要紧紧围绕引导学生感悟“计数单位表达一致性”这个核心。因此，可以将本课分两个课时展开。

第一课时以教材“数学百花园”中给出的图为教学内容（如图3所示），引导学生在推理、建构、重构、变形中，进一步深入理解“单位”“位值”“坐标”“无限”等数学理念。

第二课时以百数表（如图4所示）为素材，基于百数表中数的特征设计教学。

如果只看百数表中的某一行，它就像一把以“1”为单位刻度的尺子，每个数与每个格子一一对应。从左往右看，数以“1”为单位不断累加；从右往左看，数以“1”为单位不断递减。而如果只看百数表中的某一列，它又像一把以“10”为单位的尺子，从上往下看，数以“10”为单位不断累加；从下往上看，数以“10”为单位不断递减。正是因为百数表融合了这两种计数单位的累加和递减，而且泾渭分明，所以学生在百数表中可以进一步体悟100以内加减法。

基于此，笔者设计了“百数表中下跳棋”这一课。通过数学游戏和综合实践的形式，丰富、发展和深化学生对整数加减法的理解，帮助他们感悟计数单位累加、递减和转化的过程，为其构建结构化的加减法知识体系奠定基础。整个教学过程中，对于“计数单位表达一致性”的感悟和理解贯穿始终。

四、教学实践

【第一课时】“数学百花园”

环节一：创设情境，唤醒经验

创设100名学生进行团体操表演的情境并引发学生思考“如何才能让这么多人记住自己的位置”，以此引出百数表，并让学生回顾百数表中数的排列规律。

环节二：在推理中感受单位、坐标等思想

先出示只有一行和一列的百数表（如图5所示），让学生思考“丽丽背后的号码是35，明明背后的号码是53，他们在方阵中应该站哪”并说说理由，让学生在推理过程中感受位值和坐标的数学思想；然后通过问题“号码中都有数字3和5，为什么站的位置却不一样？”使学生理解“35是由3个十和5个一构成的，所以在第四行第五个格，而53是由5个十3个一构成的，所以在第六行第3个格”。这里是渗透计数单位和对应思想。

环节三：在推理中感受“区间”思想

通过问题“接下来，同学们表演了彩旗阵（如图6所示）。红红的号码是47号，华华的号码是65号，你知道它们分别属于哪个颜色方阵吗？”引导学生在推理中感受“区间”思想。

环节四：经历百数表重构过程

先出示只有第一行数字的百数表，让学生想象其他行中的数字，并让说出是如何想到这些数字的；接着呈现完整的百数表，帮助学生在脑中建构百数表的图像；接着给出探究问题“把数字1～100放进方格里，还可以怎么放？请先想一想这样放有什么规律，再创作属于自己的百数表”，激发学生的独立探究思考能力。通过思考和尝试，学生不仅能够重新构建百数表，还能在这个过程中突破原有的模型限制，展现出无限的创造力（如图7所示）。

环节五：经历百数表变形过程

通过问题“要表演一字长蛇阵，100名同学排成一行是什么样？”让学生试着动手将百数表变成数尺，从而初次体会“大数”的数学思想。

在上述的教学过程中，以百数表为直观模型，引导学生经历推理、重构和变形的数学思维活动，进一步深化学生对100以内数的认识，使学生对单位思想和位值思想有更深刻的认知。

【第二课时】“百数表中下跳棋”

环节一：唤醒经验，明确规则

通过百数表引导学生回顾百数表中数的特征：在同一行中，相邻的两个数从左至右，增加1，反之，则减小1；在同一列中，相邻两个数从上往下，增加10，反之，则减小10。

出示下跳棋的规则：（1）在同一行或同一列中下跳棋，一次可以跳一格或几格；（2）每次下完棋都要用一个数学算式表示跳棋所走的过程。

环节二：感悟计数单位个数的累加和递减

首先，为了使学生快速理解规则，教师先走第一步棋（如图8所示），并引导学生用一个数学算式表示下棋的过程。学生给出算式“12+1=13”，教师及时追问“为什么用这个算式表示刚才走的棋？”使学生明确12代表跳棋初始位置的数字，向右移动一格，增加1个单位“1”，即以“1”为单位进行累加，13则表示当前跳棋所处位置的数字。通过这一过程，学生初步体会到算式与下跳棋过程的一一对应。

接著，让学生到黑板前继续下跳棋（如图9所示），其他学生依据经验，写出算式“13+5=18”，并解释道：“13代表跳棋初始位置的数字，向右移动5个格子，因而增加了5个计数单位，最终所在位置的数字为18。”此过程体现了学生运用一一对应方法感悟计数单位个数累加的过程。

然后，要求学生写一个算式表示跳棋所走的过程，如“18?4=14”，让另一个学生到讲台前根据算式下跳棋（如图10所示），并说说自己的想法。学生能够明确18代表初始时跳棋所在格子的数字，减4，即以“1”为单位递减4次，就要向左走4个格，14是现在跳棋所在格中的数。这一过程能使学生经历把抽象算式具体化为以“1”为单位递减运作的过程。

最后教师进行总结：在百数表的行中下跳棋，向右走几格可以用“原来格数加几等于现在格数”表示；向左则反之，可以用“原来格数减几等于现在格数”表示。

环节三：列中感悟计数单位个数累加和递减

给出延展性问题：再玩下去你想怎么走棋？学生下跳棋（如图11所示）后写出的算式是“14+20=34”。此时，教师及时追问“明明只走了2个格，为什么要加20？”使学生领悟到在列中走棋是以“10”为单位进行累加的。

接着就让学生在列中下跳棋，使学生感受以“10”为单位递减的过程。教师最后总结列中下跳棋的规律：在百数表列中下跳棋，向上走几格可以用“初始时跳棋所在格子的数字加几十等于现在格数”表示；反之向下走几格，可以用“初始时跳棋所在格子的数字减几十等于现在格数”表示。

环节四：游戏互动，深化理解

让学生和同桌玩这个跳棋游戏，轮流进行。一个人下跳棋，另一个人用算式来表示下棋的过程。这样，学生能再次经历不同计数单位累加和递减的过程。

环节五：深入拓展，发展思维

当教师提问“你还想在百数表中怎样下跳棋”时，一位学生给出如图12-1所示的棋子路线。对此，部分学生用“4+2+30=36”的算式表达，体现了跳棋先以“1”为单位在行中累加，再以“10”为单位在列中累加的过程，而计算结果36就是跳棋现在所在的位置。还有学生提出了新的算式“4+32=36”，将行与列中累加的过程融合在一起，以32的个位和十位上的数字分别对应行与列中计数单位个数的运作过程。至此，学生体验到了不同计数单位个数的运作过程。另一位学生给出如图12-2所示的棋子路线，写出的算式是“36+11+11+11=69”。表面上看，这似乎与之前的不同计数单位累加方式存在差异。但学生分析后发现，可将其看成是先在行中以“1”为单位累加3次，再以“10”为单位累加3次。因此，可以用“36+33=69”这个算式表示。

五、收获与反思

（一）整体把握教材，促进深度学习

《课程标准》指出：“教学内容是落实教学目标、发展学生核心素养的载体。在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。”笔者围绕一年级下册教材中“认识一百以内的数”的内容展开教学，紧紧抓住其核心——计数单位表达的一致性，将“数学百花园”的内容设计成两课时，引导学生深刻认识计数单位，初步建立单位思想。在这个过程中，学生深刻感受100以内加减法其本质是计数单位个数的累加与递减，这有利于学生形成与抽象思维有关的核心素养，为学生后续学习“数与运算”内容、感悟“一致性”打下了坚实的基础。

（二）借助几何直观，促进深度理解

“数与运算”内容的核心是“计数单位表达”，无论是计数单位还是计数单位个数的累加，都是抽象的概念。如果只是单纯地让学生从数和算式上理解，这不利于学生建立数与运算概念，实现深度理解。百数表是一个直观模型，教师可以通过引导学生借助百数表中数排列的显性规律进行推理，使学生经历百数表重构和变形的过程，从而有利于学生进一步感悟计数单位，并建立“单位”的数学思想。学生通过在百数表中下跳棋，就能直观感受下跳棋过程与不同计数单位运作的一一对应关系，进而深入理解加减法运算的本质。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 赵莉，吴正宪，史宁中.小学数学教学数的认识与运算一致性的研究与实践：以“数与运算”总复习为例[J].课程·教材·教法，2022，42（8）：122-129.

[2] 李雪梅，吴美枢，刘宏.数学核心素养培养的路径研究：以北师大版一年级下册“百数表”活动设计为例[J].教育科学论坛，2022（22）：55-58.