经历探究过程，发展推理能力——以“圆柱的体积”教学为例

江苏张家港市南沙小学占文分校 （215600） 刘心怡

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《课程标准》）将推理意识定为数学核心素养之一。推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。其中，“图形的认识与测量”是图形与几何领域中的一个重要内容。《课程标准》中指出，“图形的测量”重点是确定图形的大小，学生在经历统一度量单位的过程中，感受统一度量单位的意义，理解图形长度、面积和体积等；在推导一些常见图形周长、面积和体积计算方法的过程中，逐步形成度量和推理意识。以苏教版教材中的“圆柱的体积”为例，笔者从图形的测量角度出发，研读教材、分析学情，精选适合学生学习的素材，确定符合学生认知特点的学习路径，以发展学生的空间观念。

一、思考与分析

（一）教材内容分析

在学习“圆柱的体积”之前，学生已经学习了圆、圆的周长和面积，以及长方体和正方体的特征、表面积和体积。教材中圆柱的体积计算教学可以分为两个层次：第一层次，引导学生比较等底等高的长方体、正方体、圆柱的体积，让学生初步建立圆柱体积公式的猜想；第二层次，引导学生迁移圆面积公式的探索方法，通过操作来验证猜想。

教材在“练一练”环节编排了两道练习题：第一题是看图计算圆柱体积，旨在帮助学生巩固圆柱体积的计算方法；第二题是利用圆柱体积的计算方法来解决实际问题，有利于学生进一步巩固应用公式解决问题的方法，拓展数学应用的广度。

（二）学生情况分析

学生对圆柱有丰富的生活经验和直观感受，他们也学习了长方体和正方体表面积和体积、圆柱表面积等知识，在探究圆柱体积时便有了基础。为了了解学生是否知道圆柱的体积公式，会用哪些方法推导圆柱的体积公式，笔者对45 名六年级学生进行了前测。

通过对前测结果的分析，笔者得到结论：（1）82.2%的学生已经知道圆柱的体积公式，能解决简单的圆柱体积问题；（2）42.2%的学生知道可以将圆柱看成由无数个相同的圆形垂直叠加而成的图形；（3）28.8%的学生能正确写出圆柱体积公式的推导过程，知道迁移长方体和正方体体积的计算方法，猜测圆柱的体积公式也是底面积乘高。

（三）确定教学目标

通过对教材内容和学情的分析，笔者有以下思考：首先，学生对圆柱体积有了一定的认识，但大部分学生还不清楚圆柱体积公式的产生过程。因此，教师应给予学生足够的时间和空间，让他们自己猜想并验证圆柱的体积公式；其次，教师要用心选择素材，可以为学生提供可活动的圆柱模型和小程序等资源，通过实际操作和可视化的方式，让学生亲自探究圆柱的演变过程，进一步加深对圆柱体积的认识；最后，教师应渗透转化思想，让学生认识到转化思想不仅存在于图形的测量中，而且存在于其他领域中。

基于上述分析和思考，“圆柱的体积”一课的教学目标可定为：（1）教学圆柱体积的含义；（2）探究圆柱体积公式；（3）渗透转化思想。

二、教学实践

（一）借助生活情境，引起矛盾冲突

为了帮助学生感受圆柱体积在生活中的应用价值，笔者创设了分饮料的情境，引导学生思考究竟哪杯饮料更多。这个素材不仅贴近学生的生活，还让他们感受到学习数学知识的作用，为后续探究圆柱的体积公式做好准备。

师：妈妈在分饮料，聪聪要最多的那杯。于是妈妈准备了两杯饮料（如图1），让聪聪自己选择，这下聪聪犯难了，他该选哪杯呢？

图1

生1：我觉得应该选矮的那杯，因为这个杯子虽然没有左边那个高，但是它杯口比左边的要宽很多，所以应该选矮的那杯。

生2：我觉得这两杯饮料是一样多的，左边的杯子虽然高但不宽，右边的杯子虽然宽但不高。

生3：我觉得不能直接用眼睛看来判断，要通过测量和计算才能区分。

师：你想知道哪些数据？

生3：我想知道这两个杯子各有多高，它们的杯口各有多宽。

在强烈的对比面前，学生从一开始的直觉思维转变成理性思维，他们感悟到可以通过测量圆柱形杯子的一些数据来判断哪个杯子中的饮料更多。

（二）借助探究活动，推理圆柱体积

为了得到圆柱的体积公式，教师先组织学生凭借已有知识和生活经验进行猜想，利用圆柱的动态形成过程猜想圆柱的体积可能是底面积乘高；再以实物操作和信息技术为辅助，组织学生验证猜想，在转化前后图形的对应关系中得到圆柱的体积公式。

1.猜想圆柱的体积公式

对数学猜想的证明常常要运用严格的逻辑推理、数学方法和技巧。这不仅增加了数学理论的内涵和深度，还促进了数学科技的进步。许多数学猜想的证明过程涉及复杂的数学问题和技术，这些技术在解决实际问题中起到了重要的作用。

师：这节课我们一起来探究圆柱的体积。你知道圆柱的体积怎么算吗？

生1：圆柱的底面积乘高。

生2：根据长方体是由底面向上移动形成的立体图形，推测圆柱就是一个圆形向上移动形成的立体图形。

师：有的同学猜想圆柱的体积是底面积乘高，接下来我们就要来验证猜想。你们想怎样验证？

生3：我们在学圆的面积时，先把圆平均分成了若干个扇形，再拼成一个近似的长方形。我猜想也可以把圆柱平均分成若干份，再拼成一个长方体，根据长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式。

2.验证圆柱的体积公式

当学生利用已有的知识经验有了初步猜想，教师组织学生先利用实物学具或电脑小程序把圆柱转化成长方体，再比较圆柱与长方体，最后利用长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式。

师：把圆柱转化近似的长方体，这是一个非常好的办法。接下来请看学习要求。（1）借助学具，把圆柱转化成长方体，请你操作3 次，记录下每次平均分的份数和转化成的图形，以及你的发现；（2）根据转化前后图形的对应关系，用简洁的语言说一说推导圆柱体积公式的过程。当用实物不能解决问题的时候，你也可以利用小程序。

生1：我是先把圆柱平均分成14 份、20 份和30份，再把它拼成一个近似长方体的图形。我发现分的份数越多，就越近似一个长方体。我们已经知道了“长方体体积=长×宽×高”，长方体的长就是圆柱底面周长的一半，长方体的宽就是就是圆柱底面的半径，长方体的高就是圆柱的高，所以“圆柱体积=底面周长的一半×半径×高”，用字母表示是“V=πr2h”。

生2：我们组也是把圆柱拼成了近似的长方体，因为“长方体体积=底面积×高”，所以“圆柱体积=底面积×高”，用字母表示是“V=Sh”。

师：怎么这两个公式不一样？

生3：我觉得这两个公式是一样的，圆柱的底面积就是圆形面积，用字母表示是“S= πr2”，所以“V=Sh= πr2h”。

在这个环节中，教师带领学生围绕圆柱的体积公式开展猜想和验证活动。学生先结合长方体体积猜想圆柱的体积公式可能是底面积乘高，然后借助实物和信息技术直观地看到圆柱与长方体之间的对应关系，从而探索得到圆柱的体积公式。

（三）借助转化过程，渗透推理能力

当学生探究圆柱体积公式后，教师可以引导学生感悟圆柱体积推导过程中的转化思想，并延伸到数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等领域中的转化思想。

师：刚才由圆的面积、平面图形的知识联想到了转化，也通过转化推导得出圆柱的体积公式。想一想，你在哪里遇到过这样的转化和推导方法？

生1：我们学习平行四边形面积的时候，把平行四边形分成两个三角形再拼起来，这样就把平行四边形就转化成了长方形。

生2：我们在求三角形面积的时候，把两个完全一样的三角形合在一起拼成一个平行四边形，再利用平行四边形的面积公式推出三角形的面积公式。

生3：我们在学乘法的时候，把很多个一样的数相加转化成用乘法来表示。

师：转化思想在数学中应用广泛。除了同学们说的，还有根据商不变性质推出分数的基本性质……

在这个环节中，教师让学生进一步感悟转化思想在数学中的应用价值，体会转化思想在解决数学问题时具有指导作用。这既是对数学知识和方法的本质的理性认识，也是解决数学问题的灵魂和策略，能够进一步完善学生的认知结构，提高学生的数学能力。

（四）借助数学知识，解决实际问题

当学生面对生活中的实际问题时，数学知识发挥着巨大的作用。借助数学知识解决数学问题，可以提高解题效率、增强逻辑思维能力、拓宽视野，还可以优化资源配置，培养学生的创新思维。

师（出示图2）：现在我们要用圆柱的体积公式来算一算哪杯饮料更多。请算一算高杯和矮杯中饮料的体积。

图2

生1：高杯中的饮料高9 cm，杯子的底面半径是2 cm，V=πr2h=3.14×22×9=113.04（cm3）。矮杯中的饮料高4 cm，杯子的底面积是28.26 cm2，V=Sh=28.26×4=113.04（cm3）。

师：这两杯饮料是一样多的，咱们用数学知识解决了饮料多少的问题，接下来看看另一个问题。有一个直径是8 m 的半圆柱形隧道，如果这条隧道长1000 m，它里面的空间有多大？

生2：半径r=8÷2=4（m），V=3.14×42×1000÷2=25120（m3）。

师：再来看另一个问题。一根圆柱形木料的底面周长是62.8 cm，高是50 cm，这根木料的体积是多少？

生3：因为圆柱形木料的底面周长是62.8 cm，所以半径r=C÷2π=62.8÷2÷3.14=10（cm），V=πr2h=3.14×102×50=15700（cm3）。

在这个环节中，教师精心选择了三道有关圆柱的体积的练习题：第一题是让学生判断哪杯饮料多；第二题是呈现了半圆形的圆柱，引导学生将圆柱的体积公式进行变式；第三题是已知圆柱的底面周长和高，这样，学生要先根据圆柱的底面周长算出圆柱的底面半径，才能根据圆柱的体积公式算出体积。

综上所述，本节课的教学主要帮助学生理解和掌握圆柱的体积公式，并能解决实际问题。圆柱体积的教学内容虽然比较简单，但是学生探究和转化圆柱体积的过程并不简单。因此，教师要让学生自己动手操作、小组讨论、汇报交流，使得学生能自己发现并解释圆柱的转化过程，以及圆柱体积公式的由来。这样不仅促进学生更好地掌握圆柱体积公式，还能发展学生的转化思想、推理能力、空间想象力，实现从获得知识到提高素养的进阶。