结构表征：思维从“内隐”走向“外显”——“连除的实际问题”教学实践与思考

江苏如皋市外国语学校 （226500） 丁 洪

“连除的实际问题”属于数与代数领域内容，主要聚焦“数量关系”和“数的运算”。苏教版教材将它编排在四年级上册第二单元，是在学生已经学习“连乘的实际问题”和“两、三位数除以两位数（不含调商）”等知识基础上教学的。从知识技能看，主要引导学生从不同角度理解、表征和解决连除的相关实际问题，提升“一题多解”的能力，丰富“殊途同归”的认知。从过程方法看，主要引导学生从条件想起，逐步推导出所需结论，唤醒“关系组合”的意识，渗透“由因导果”的策略。从情感态度看，主要激发学生直面问题的探究动能、创造潜能和结构智能，让学生树立“勇于突破”的信心，涵养“理性思维”的品质。

为了提高课堂教学实效，需要关注和思考以下问题。一是为什么这时候学？对此要处理好学生的阶段需求与连除知识的价值，突出关系理解和变式重组，避免“就事论事”和“浅尝辄止”；二是怎么去学？对此要处理好学生除法经验的新旧对接与多元表征，辩证自主探究和共性概括，避免“居于一隅”和“短视行为”；三是学到什么程度？对此要处理好学生除法意义的理解程度与可视表征，建构思维场域和全局视野，避免“碎片思考”和“单向体验”。最终，助力学生建构连除实际问题中“类型不同，结构相通”的横向认知，以及连乘连除实际问题中“方向不同，结构相联”的纵向认知，提升连除运算能力，发展结构化思维素养。

一、自主探究，呈现结构

（一）选条件，提问题

师（出示主题图情境，如图1）：通过交流，我们已经知道有三个条件（①一共放了224 本书；②2 个书架；③每个书架有4 层。）和一个问题（平均每个书架每层放多少本书？）。现在，请你选两个条件，说说解决问题时可以先算什么。

生1：根据条件①和条件②，可以先算平均每个书架的本数。

生2：根据条件②和条件③，可以先算两个书架一共的层数。

生3：根据条件①和条件③，可以先算两个书架同一层的本数。

师：看来，根据两个有联系的条件可以提出并解决一个一步计算的问题。

（二）画过程，明算理

师：顺着这些思路，怎么解决每个书架每层的本数的问题？（出示活动要求：将长方形看成总本数，选择其中一种方法，在图形中画出过程；比一比，看谁想得明白、画得清楚、算得正确；先独立思考，再在组内交流。）

生4（出示图2）：先将长方形平均分成2 份，列式224÷2＝112（本），算出每个书架的本数；再把一个书架上的本数平均分成4 份，列式112÷4＝28（本），算出平均每个书架每层的本数。因此，就涂这样的一份。

图2

生5（出示图3）：先算两个书架一共的层数，2×4＝8（层），对应地将长方形平均分成8 份，涂出其中的一份；再用224÷8＝28（本），算出平均每个书架每层的本数。

图3

生6（出示图4）：先将长方形平均分成4 份，列式224÷4＝56（本），算出2个书架同一层的本数；然后选择第一层再平均分成2 份，涂出其中的一份，列式56÷2＝28（本），算出平均每个书架每层的本数。

图4

师：能依次列出相应的综合算式吗？

生7：224÷2÷4＝28（本）。

生8：224÷（2×4）＝28（本）。

生9：224÷4÷2＝28（本）。

（三）比异同，理结构

师：比较画图和列式的过程，你有什么有趣的发现？

生10：虽然运算的顺序不同，但是条件相同，所以结果一样。

生11：我发现图2 和图4 是一步一步地平均分的，而图3是先求“总层数”，然后一起平均分的。

生12：每种方法中画图顺序和列式顺序是对应的，都画了两次，也算了两次。

师：大家想象一下，图2、图3、图4 和图1 中书架的结构能完全重合吗？

生13：能。如果把图2 从左往右补全，图4 从上往下补全，那么三幅图形的结构与书架结构就是一样的。

生14：其实，书架个数对应图形竖排个数，书架层数对应图形横排个数，书架结构与图形结构刚好一一对应。

师：真好！通过实际问题的解决和比较，我们基本弄清了连除算理和思维关键，也初步体验到连除特点和结构联系，这就是我们今天研究的内容。

（板书课题：连除的实际问题）

【思考：“连除问题”是由两种简单的、关联的“一步除法”组合而成。其中，“等分除”可以细分为“连续等分”和“整体等分”两种情况，思维结构体现“一维线性”向“二维平面”的转变。由于例题中的数据较小，计算难度仅限于“两、三位数除以一位数”，所以教学重心不在于“算法技能”的娴熟精进，而在于“算理本质”的深度理解。首先，通过条件的自由选择和组合描述，引导学生感受“先算什么”的起点不同、条件关联和结果唯一，为连除问题“一题三解”奠定方法基础，指明操作路径。其次，借助“分步计算”和“画图示意”的同构活动，引导学生通过不同方式合理表征连除算理，强化“怎样算”与“怎样画”的程序对应、思维互动，并在此基础上，借助综合算式记录连除过程，进一步凸显问题的结构特征。最后，通过对比反思三种方法，驱动学生有序梳理条件和问题、着力分析思维过程，初步实现连除的外在算法与内在算理的认识融合，尤其是图形与书架的结构联结，更为后续结构化学习做好必要铺垫。】

二、灵活检验，对比结构

师：想一想，这题的结果可以怎样检验？

（学生先独立思考，再组内交流。教师巡视，提醒学生用联系的眼光看问题。）

生1：可以用不同的方法再做一次。

生2：因为用三种方法解题，虽然先算的内容不同，但是最后的结果必须一样。

师：还有其他检验方法吗？

生3：我们组认为，可以把“商28本”代入原题，倒过来用乘法算一遍，看一看“2 个书架是不是一共有224本书”。

师：请具体说说怎么想和怎么算的。

生4：先算一个书架的本数，再算总本数，列式28×4×2＝224（本）。

生5：先算两个书架的总层数，再算总本数，列式2×4×28＝224（本）。

生6：先算两个书架同一层的本数，再算总本数，列式28×2×4＝224（本）。

师：回顾检验的过程和方法，你有什么发现？

生7：我发现“一共有224 本书”从条件变成问题，而“每个书架每层28本”从问题变成条件。

生8：我发现“总本数”“架数”“层数”和“每个书架每层的本数”这些信息之间有联系，知道其中的三个信息，就可以求出剩下的信息。

生9：连除和连乘的运算顺序变化了，同一种方法的图形结构没有变化，但是观察的方向相反。

师：看来，“被除数÷除数÷除数＝商”，既可以交换除数位置，顺向思考，用除法检验除法，也可以用“商×除数×除数＝被除数”，逆向操作，即用乘法检验除法。

【思考：验算是连除学习中的重要环节。验算不是机械地摘抄数据凑答案，而是经验的有效连接和习惯的品质培育和认。具体来说，一方面是“顺向经验”的激活，通过“怎么想到”的方法溯源，对比“数位置”与“式结构”，进一步体验连除运算“不同方法”的外形结构、思维特点和内涵实质。另一方面是“逆向经验”的激活，通过说清楚“先算什么”和“再算什么”，列综合算式感知“连乘结构”，并在对比、联系和发现中，进一步感悟“连除算”与“连乘算”之间的思维互逆、结构统一和认知平衡。】

三、多向实践，迁移结构

（一）求单量，悟等分

1.排队问题

出示情境（如图5）：四年级168 学生去参观科技馆，平均分成4队，每队平均分成3组。每组有多少人？

图5

师（出示图6）：先用结构图梳理条件和问题，再说说怎么想和怎么算。

图6

师：请具体说说怎么想和怎么算的。

生1：我先竖着看，用168÷4＝42（人），算出每个队的人数，再横着看，用42÷3＝14（人），算出每组人数。综合算式为168÷4÷3＝14（人）。

生2：我是整体看的。先用4×3＝12（组），算出小组的总数，再用168÷12＝14（人），算出每组人数。综合算式为168÷（4×3）＝14（人）。

生3：也可以先横着看，用168÷3＝56（人），算出4 个队同一组的人数；再竖着看，用56÷4＝14（人），算出每组人数。综合算式为168÷3÷4＝14（人）。

师：其实，先等分“队数”再等分“组数”，或者先等分“组数”再等分“队数”，都是连续等分除。而先算“总组数”再算“每组人数”，则是整体等分除，殊途同归。

2.吃虫问题

出示情境（如图7）：三只燕子一个星期吃924只害虫。平均每只燕子每天吃多少只害虫？

图7

师（出示图8）：先用结构图梳理条件和问题，再说说怎么想和怎么算。

图8

生4：我先竖着看，用924÷7＝132（只），算出3只燕子1天吃害虫的总只数，再横着看，用132÷3＝44（只），算出平均每只燕子每天吃害虫的只数。综合算式为924÷7÷3＝44（只）。

生5：我先横着看，用924÷3＝308（只），算出1只燕子7天吃害虫的总只数，再竖着看，用308÷7＝44（只），算出平均每只燕子每天吃害虫的只数。综合算式为924÷3÷7＝44（只）。

生6：也可以整体看，先用7×3＝21（只），算出7天里燕子出现的总只数，再用924÷21＝44（只），算出平均每只燕子每天吃害虫的只数。综合算式为924÷（7×3）＝44（只）。

师：其实，先等分“天数”再等分“只数”，或者先等分“只数”再等分“天数”，都是连续等分除。而先求“7 天里燕子出现的总只数”再算“平均每只燕子每天吃害虫的只数”，则是整体等分除。它们的道理是相通的。

（二）求数量，悟包含

1.吃药问题

出示情境（如图9）：一瓶药共150片，王大伯每日吃3次，每次2片。这瓶药可以吃多少天？

图9

师（出示图10）：先用结构图梳理条件和问题，再说说怎么想和怎么算。

图10

生7：我先竖着看，用2×3＝6（片），算出一天吃的片数，再横着看，用150÷6＝25（天），算出这瓶药片包含几个6 片，也就是吃的天数。综合算式为150÷（2×3）＝25（天）。

生8：我是从整体看的。先用150÷2＝75（次），算出吃的总次数，再用75÷3＝25（天），算出以3 次为一天吃的天数。综合算式为150÷2÷3＝25（天）。

生9：也可以先横着看，用150÷3＝50（片），算出所有早上吃的片数，再竖着看，用50÷2＝25（天），算出吃了几个早晨，对应的就是几天。综合算式为150÷3÷2＝25（天）。

师：其实，先算“一天吃的片数”再算“天数”，是整体包含除；而先算“总次数”或“同一时段吃的总片数”，再算“天数”，则是连续包含除，目标一致。

2.包装问题

出示情境（如图11）：有一种面包的包装是2个装一袋，4袋装一盒。104个面包一共可以装多少盒？

图11

师（出示图12）：先用结构图梳理条件和问题，再说说怎么想和怎么算。

图12

生10：我先竖着看，用2×4＝8（个），算出一盒面包的个数，再横着看，用104÷8＝13（盒），算出一共装的盒数。综合算式为104÷（2×4）＝13（盒）。

生11：我是从整体看的。先用104÷2＝52（袋），算出包装的总袋数，再用52÷4＝13（盒），算出一共装的盒数。综合算式为104÷2÷4＝13（盒）。

生12：也可以先横着看，用104÷4＝26（个），算出每盒中第一袋位置上的总个数，再用26÷2＝13（盒），算出包含几个第一袋，对应的就是几盒。综合算式为104÷4÷2＝13（盒）。

师：其实，先算“一盒个数”再算“盒数”，是整体包含除；而先算“总袋数”或“同一位置上的总个数”，再算“盒数”，则是连续包含除。这两种算法同样精彩。

【思考：“等分除”和“包含除”的运算基础都是“平均分”，思维结构必然关联，但学生对除法意义的体验有所区别。具体来说，一是借助“排队问题”和“吃虫问题”，顺势迁移解决“书架问题”时的表征结构、观察角度和思考流程，明确“连续等分”和“整体等分”的外在算式差异，凸显“一题三解”的内在结构统一，侧重“等分除”的原始模型，即“总量÷数量＝单量”的认知生长和有序建构。二是借助“吃药问题”和“包装问题”，顺势呈现“连续包含”和“整体包含”的连除结构，促使学生感受到连除类型虽然发生变化，但是其算理和算法依然统一，凸显“包含除”的原始模型，即“总量÷单量＝数量”的认知生长和有序建构。显然，这样的结构表征能够助推学生思维外显，增强学生结构思维的意识激发，帮助学生的整体理解和认同策略。】

四、反思概括，内化结构

师（出示所有的图形结构，如图13）：千金难买回头看。观察和对比这些图形结构，你有什么体会？

图13

生1：我觉得这类问题从条件想起比较方便。

生2：我发现连乘是求“总量”，需要把“单量”合起来，连除是求“单量”或者“数量”，需要把“总量”平均分。

生3：我来补充。连除中求“单量”是等分除，可以“连续等分”或“整体等分”；连除中求“数量”是包含除，可以“连续包含”或“整体包含”。

师：爱动脑，会思考，为你们点赞！在解决连除的实际问题中，角度“怎么看”与条件“怎么选”同步，图形“怎么画”与算式“怎么列”同构，有了结构图的呈现、连接和助力，我们的思维才能变得有抓手、有方向和看得见。

【思考：反思是基于知识又超越知识的能动行为。具体来说，一是对连除的实际问题解决过程的反思，主要建构策略介入、算式表征和检验方法的一般性，“就事论事”的意味较浓；二是对连除的实际问题的认知提炼，主要建构图形结构、程序推演和思维双向的一致性，“深入浅出”的诉求明显。显然，两种反思都有价值、融合共生，助推学生数学精神、思想和方法的有序生发与有效沉淀。】