基于物理信息神经网络的盾构隧道诱发地表沉降预测

张子龙，潘秋景,2，仉文岗，黄 阜

(1.中南大学土木工程学院，湖南，长沙 410075；2.中南大学隧地工程研究中心，湖南，长沙 410075；3.重庆大学土木工程学院，重庆 400045；4.长沙理工大学土木工程学院，湖南，长沙 410004)

地铁的通行释放了城市的地面空间，在很大程度上缓解了日益增加的人口和车辆给城市交通系统带来的压力。盾构法以其自动化程度高、安全快速、环境友好等特点被广泛应用于地铁隧道的施工中。在城市建筑物密集、人口稠密的复杂环境下修建地铁隧道时需严格控制对周边环境的影响。因此，科学合理地预测地层变形对保障施工安全具有重要意义。此外，城市轨道交通作为“十四五”规划中“新基建”的重要一环，如何使地铁建设朝着智能绿色、安全可靠的现代化、智慧化方向发展是需要进一步研究的课题。

当前有关盾构施工诱发地表沉降的研究方法主要有：经验公式法[1-3]、解析法[4-8]、数值模拟[9-11]、模型试验[12-13]、机器学习[14-16]等。以Peck 公式[1]及其修正形式[3]为代表的经验公式法可以反映地表沉降的一般形态，但需要基于实测资料和地域特性并结合具体的施工方法才能得到比较合理的预测结果[2]。解析法的理论推导过程复杂，且大多忽视了地层变形是一个动态的过程，导致其工程应用性较差。数值模拟可以最大程度地描述实际施工过程，被广泛应用于盾构施工诱发地层变形的分析中[10-11]，但也存在输入参数过多、参数不明确、计算成本较高等缺点。模型试验[12-13]对于揭示沉降变形的规律及演变机理有重要价值，但由于试验成本较高，试验结果与工程实际差距较大，对工程的指导相对有限。

伴随着计算机和人工智能技术的发展，以机器学习方法为代表的代理模型在岩土工程和隧道工程领域展现了广阔的应用前景[17-22]。CHEN等[14]对反向传播神经网络、径向基函数神经网络及广义回归神经网络在预测盾构隧道施工诱发地表沉降方面的性能进行了对比，以长沙地铁4 号线的工程实测数据为样本进行了训练和验证，表明了广义回归神经网络的预测结果与实测结果有较强的相关性。林荣安等[23]提出了一种粗糙集和支持向量机耦合的算法 (RS-SVR)，实现了对上软下硬地质条件下盾构施工诱发地表沉降的准确预测。陈仁朋等[24]对反向传播神经网络 (BPNN) 和随机森林算法 (RF) 在预测地表沉降上的准确性进行了对比，以粒子群算法优化BPNN 和RF 中的超参数以提高其鲁棒性，结果表明RF 算法具有更优的预测性能。FREITAG 等[15]借助循环神经网络和正交分解法预测了盾构隧道掘进产生的地表沉降场。不可否认，上述机器学习方法提升了地表沉降预测的效率，但需要借助大量的训练样本，而实际工程的复杂性难以保证充足的训练数据。究其原因是上述模型仅依靠数据驱动建立输入与输出之间的非线性映射关系，忽视了隧道施工与地层响应之间的物理机理，导致其泛化能力差，过分依赖大数量训练样本的弊端[25]。

近年来，RAISSI 等[26]提出了物理信息深度神经网络 (PINN)，颠覆了传统机器学习方法的“黑箱”工具属性，PINN 的巧妙之处在于可以集成研究对象内在的物理规律，在处理流体力学、量子力学和计算力学等问题上展现了强大的计算能力。不仅如此，PINN 在对未知物理量的反演问题上也逐渐崭露头角[27]。作为一种新兴的深度学习方法，虽然在处理力学问题上已引起了较多的关注[28-29]，但其工程应用的潜力有待进一步开发。盾构隧道施工诱发地层变形的过程显然满足一定的物理力学机理，这也是解析法和以有限元为代表的数值模拟法的理论基础。因此，将盾构施工诱发地表沉降的物理机理耦合至深度学习框架，结合已有的工程实测数据，构建数据-物理双驱动的PINN 预测模型，以期为盾构施工诱发地表沉降的预测提供一种新的、有效的解决途径。

本文基于Verruijt 和Booker 提出的隧道开挖诱发地层变形的解析模型，以深度神经网络对Verruijt-Booker 解的围岩位移因子进行修正，从而建立地表沉降与开挖面空间位置的关联。将修正后的物理控制方程耦合至另一并行的深度神经网络框架中，构建用以预测盾构施工诱发地表沉降的PINN 模型。以施工前期一定数量的实测数据为训练样本，预测后续施工过程开挖面处于不同位置时的围岩位移因子，控制方程的物理信息通过PINN 损失函数中的物理残差项进行约束，通过迭代优化，可以实现对工程后期施工过程中开挖面处在不同位置时监测断面地表变形的预测。研究表明：预测得到的地表沉降曲线与工程实测数据吻合较好，PINN 相较于传统DNN 方法显著降低了对训练样本的需求量，泛化性能显著提升；提出的方法有助于提高盾构隧道施工中地表沉降安全控制的智慧化程度，可为工程的潜在风险和施工决策提供预警和指导。

1 物理力学基础

1.1 半无限空间隧道诱发地层变形的解析解

半无限空间隧道诱发地层位移的解析解目前限于线弹性范围[5,8,30]，经典的Verruijt-Booker 解提供了一个简洁合理的解答[5]，在合理地确定围岩位移因子ur和ue后，即可得到符合工程实际情况的地表沉降预测值[31-32]。

图1 给出了Verruijt-Booker 解中两种围岩位移因子的示意图。其中：ur为隧道开挖过程中地层损失所引起的均匀径向位移；ue为由各向异性初始应力引起的隧道轮廓椭圆化变形。基于上述假设，可在 (x,z) 空间内定义在 (0,h) 和 (0,－h) 区间点的弹性理论奇异解[30]，如图2 所示，得到隧道及其映像在x和z方向的位移表达式为：

图1 隧道卸载引起的地层损失和椭圆化变形Fig.1 Ground loss and ovalization of a tunnel

图2 奇异点及其映像Fig.2 A singularity and its image

式中：k=ν/(1+ν)；z1=z-h；z2=z+h。

此时，在自由面z= 0 处会出现一个非零的法向应力。由于奇异解严格的对称性，需在自由面处施加一个大小相等方向相反的法向力，从而得到的位移解为：

式中，m=1/(1-2ν)。地层位移ux、uz的最终解即为式(1)和式(3)，式(2)和式(4)的和。

在自由表面z=0处，可得地表沉降值为：

其中：

在求解得到位移以后，相应的应力和应变分量即可根据弹性力学的基本原理求解得到。半无限空间隧道诱发沉降变形的控制方程总结为：

式中： σij和 εij(i,j=x,z)分别为应力和应变张量；下标逗号表示偏导；fi为体力； δij为克罗内克函数； λ和μ为拉梅常数，可通过下式计算得到：

1.2 围岩的纵向变形

如前所述，Verruijt-Booker 解可以预测横断面的地层变形，准确程度依赖于假定的围岩位移因子ur和ue的取值。在Verruijt-Booker 解中未建立位移因子与开挖面掘进位置的关系。实际上，盾构掘进过程中，监测断面的地层变形和围岩位移因子随开挖面掘进位置的不同而变化。因此，确定开挖面在不同位置时Verruijt-Booker 解的围岩位移因子，即可构建监测断面地层变形与开挖面掘进位置的关系。

隧道开挖过程中围岩变形的空间效应如图3所示，其中横坐标表示开挖面掘进位置，纵坐标表示拱顶位移；Verruijt-Booker 解中围岩的拱顶位移为ur和ue的和，在此用us进行表示；u∞表示开挖面距监测断面无穷远处时的拱顶位移；开挖面处于yi时的拱顶位移为us(yi)，此时有us(yi) =ur(yi) +ue(yi)。在确定ur(yi)和ue(yi)后，再根据Verruijt-Booker 解便可确定开挖面于yi处时监测断面的地层变形。

图3 围岩位移与开挖面空间位置的关系Fig.3 Relation between the displacement of surrounding rock and the position of excavation surface

基于上述思路，本文以DNN 修正Verruijt-Booker 解中的围岩位移因子ur和ue，建立地表沉降与开挖面空间位置的关联，即图3 所示关系。修正后的围岩位移因子表示为η = {ur(yi),ue(yi)}，η 将通过DNN 和并行的PINN 共同训练得到，具体的网络结构在下文的工程应用小节进行了详述。修正后可表征空间效应的地表沉降解析表达式为：

2 PINN 深度神经网络架构

物理问题往往需要满足其内在规律，如能量守恒、动量守恒。对于隧道开挖引起的地表沉降而言，也需要满足一定的应力-应变关系。基于数据-物理双驱动的深度学习方法，是将研究问题所需满足的物理机制耦合至深度神经网络框架中，物理信息通过损失函数中的物理残差项进行表达，以此来惩罚不满足相应物理条件的解，约束神经网络在满足物理关系的空间中训练，从而降低对训练样本数据量的过度需求，提高模型的泛化性能。图4 为PINN 的基本框架图。

图4 PINN 框架图Fig.4 Framework of a physics-informed neural network

深度前馈神经网络包含输入层、隐含层和输出层。隐含层中每一层神经元的输出作为下一层神经元的输入，信号由输入层向输出层单向传播，此单向传播过程可以表示为：

式中：上标l为神经网络的层数；下标i为神经元的索引；ali为第l层中全部i个神经元的输出集合；zli为第l层中全部i个神经元的输入集合；wl为第l层中所有权重的集合；bl为第l层中所有偏置的集合； σ(zli)为激活函数，本文采用双曲正切激活函数：

假定神经网络的输入变量为X，输出变量为Y，神经网络的待识别参数 θ=[w,b]，输入层和输出层之间的关系可表示为：

式中， N(·;θ) 为 参数为 θ的神经网络算子。

2.1 PINN 数值求解

在第2 节中已推导得到隧道开挖引起地表沉降的物理关系。隧道的位置参数、半径，以及地层的泊松比一般在地勘资料中会明确给出。在利用PINN 深度神经网络求解这一问题时，假设地表监测点的位置为x，开挖面位置为y，与围岩位移因子相关的模型参数为 η，内在的应力-应变关系可以表示为：

除此之外，控制方程的边界条件也需要满足。以PINN 作为代理模型进行数值求解时，损失函数包括数据驱动项(边界条件项)和物理信息项。其中，数据驱动项与传统DNN 的损失函数相同，训练过程需要提供位置坐标及对应的位移值；而物理信息项仅需要提供位置坐标进行训练，无需对应的位移值，物理关系通过自动微分后得到的控制方程进行约束。相对于传统的深度学习算法需要提供大量的输入和输出样本，PINN改善了对大数量训练样本的依赖。损失函数的具体表示形式如下：

图5 PINN 数值计算与反演的网络架构示意图Fig.5 Diagram of a PINN for numerical calculation and identification

2.2 PINN 参数反演

PINN 除了在数值求解代理模型上表现出优越的性能外，还具备了强大的参数反演能力[27]。对于隧道开挖诱发地表沉降而言，这个问题就变为：隧道开挖后，通过现场监测获得了掌子面位于不同位置处时监测断面的地表沉降值，以此对未知的地层参数进行反演。换言之，已知{x}，{y}和{u0(x,y)}，对未知的地层参数 (如弹性模量和泊松比) 进行反演求解。

PINN 反演过程的网络架构保持不变，与正向过程不同的是，反演过程是根据已知数据 (如位置坐标，位移) 对未知的物理参数 (如地层参数) 进行反演识别。此时的损失函数仍包含数据驱动项和物理信息项，表示为：

式中，u0(xi,yi)为沉降值u0的训练样本集合。由于反演过程的位移值均已明确，数据驱动项和物理信息项的训练样本不再分别进行采样，统一采用随机取样的方式获得，样本总数为N。

3 算例分析

本节将以两个算例分别探讨PINN 的正向预测和反向识别能力。假设隧道所处的位置和场地如图6 所示，相应的隧道半径、地层泊松比以及位移参数也在图中给出。

图6 隧道位置及其他相关参数 /mFig.6 Geometry and related parameters of a tunnel

3.1 算例1：PINN 求解隧道开挖引起地层变形

在2.1 节中已就半无限空间隧道诱发沉降变形的问题进行了推导，本节将采用PINN 的方法对这一过程进行求解。依据式(8)和边界条件，PINN需满足的物理关系总结为：

损失函数表示为：

图5 给出了PINN 数值计算与反演的网络架构示意图。以PINN 求解地层位移时，采用深度神经 网 络 参 数uˆ(x,z,w,b) 代 替u(x,z) (位 移 项)，δˆ(x,z,w,b) 代 替 δ(x,z) (应力项)，然后利用自动微分求解应力-应变分量后得到深度神经网络参数fˆ(x,z,w,b) ， 进而代替f(x,z) 。 无论权重w和偏差b取值如何，参数uˆ(x,z,w,b) ， δˆ(x,z,w,b) 和fˆ(x,z,w,b)总是需要满足式(18)所规定的物理关系。在训练过程中，给定训练样本和位置坐标，通过最小化损失函数，神经网络试图找到“正确的”权重w∗和偏差b∗，从而尽可能地使预测数据和残差微分方程与真实值相吻合。经过不断地训练和迭代，PINN 得到的预测值将逐渐逼近真实解。

图7 给出了PINN 地层沉降计算结果与解析解的对比，其坐标与图2 所示的(x,z)半无限空间相一致。PINN 在洞周边界上取Nu= 150 个训练样本(xi,zi,ui)，采用随机取样的方式得到；同时在研究区域内采用拉丁超立方采样生成了Nv= 1500 个笛卡尔坐标 (xj,zj)。PINN 深度神经网络设置6 个隐含层，每层包含40 个神经元，所有神经元之间采用全连接的方式进行连接，采用双曲正切激活函数，损失函数为均方差函数。由计算结果可知，PINN 的预测结果基本完全还原了解析解，而训练样本仅用了150 个。作为对比，图8 给出了传统DNN的计算结果。在训练样本和网络结构完全相同的情况下，DNN 得到的预测结果与实际值偏差非常大，这表明PINN 的预测能力相较于传统DNN 进步显著，体现了PINN 强大的泛化性能。

图7 PINN 地层沉降预测结果Fig.7 Predicted results of vertical ground movements by PINN

图8 DNN 地层沉降预测结果Fig.8 Predicted results of vertical ground movements by DNN

3.2 算例2：基于地层变形反演地层参数

PINN 可以基于数据驱动对未知的物理参数进行识别，这是PINN 相对于其他深度学习方法所独有的优势。在此，将4.1 节的问题反置，假定弹性模量E和泊松比ν是未知的参数，利用PINN 对其值进行反演。神经网络架构和参数与前节图5所示的框架保持一致，损失函数为：

研究区域内采用随机取样选取N= 500 个训练样本(xi,zi,ui)。

反演得到的地层沉降场如图9(a)所示，反演结果和准确值吻合较好；图9(b)中地表沉降的反演值与准确值基本完全一致。表1 对弹性模量E和泊松比ν的反演值及误差进行了总结。可以看出，PINN 可以准确地反演出未知参数，E和ν的反演误差分别为0.18%和0.24%，反演结果保持了较高的精度。需要说明的是，该算例初步探讨了PINN 在应对未知物理参数的反演问题上所具备的潜力。实际工程中，盾构穿越地层情况复杂，利用PINN 对复杂地层参数反演是需要深入研究的课题。

表1 反演参数Table 1 Identified parameters

图9 PINN 地层沉降反演结果Fig.9 Identified results of vertical ground movements by PINN

4 工程应用

实际工程中，盾构隧道施工诱发的地表变形随开挖面掘进位置的不同而变化。如第1 节中所述，Verruijt-Booker 解提供了半无限空间隧道开挖诱发地层变形的物理力学基础，其应力-应变关系可以作为PINN 模型的控制方程。在PINN 模型的基础上，增加一个并行的DNN 框架对Verruijt-Booker 解的围岩位移因子与开挖面掘进位置的关系进行预测[34]，并与PINN 模型相耦合，即可搭建起地表沉降与开挖面掘进位置的关联。PINN 工程应用的网络架构如图10 所示。

图10 PINN 工程应用的网络架构示意图Fig.10 Diagram of a PINN for the engineering application

4.1 工程案例分析

4.1.1 工程案例1

案例1 的工程背景基于WAN 等[35]所述的伦敦地铁盾构隧道项目，工程基本概况如图11 所示。开挖面在不同位置处时某监测断面的地表沉降实测数据如图12 所示，其中：x为监测点与隧道中线的水平间距；y为开挖面与监测断面间距。

图11 工程概况 /m Fig.11 Project profile

图12 工程案例1 实测数据Fig.12 Measured data of case 1

基于图10 所示的PINN 架构和所述的工程应用流程，以y≤21.6 m的地表沉降实测数据为训练数据 (共计100 个样本点)，置入PINN 深度神经网络 (8×30) 中进行训练，对开挖面位于31.8 m、35.6 m 和51.6 m 处的地表沉降值进行预测。作为对比，给出了相同训练样本和网络架构下DNN 的预测结果。最大地表沉降值的预测结果如图13 所示，误差如表2 所示。可以看出，PINN 的预测结果保持了较高的精度，最大误差仅为1.81%，而DNN 的最大误差为12.59%，且随着与监测断面距离的增大，DNN 的预测误差呈逐渐增大的趋势。

表2 最大地表沉降值预测结果Table 2 Predicted results of the maximum surface settlement

图13 地表沉降值预测结果对比Fig.13 Comparison of the predicted surface settlements

为了进一步比较PINN 和DNN 的预测结果，给出了开挖面距监测断面31.8 m、35.6 m 和51.6 m时地表沉降曲线的预测结果，如图14 和图15 所示。对比结果表明，PINN 基本可以完全还原地表沉降槽，在靠近和远离隧道中线的位置，PINN 的预测值与实测值均吻合很好，且开挖面处于不同位置时均保持了较高的预测精度。而DNN 的预测结果与实测地表沉降曲线存在十分明显的偏差，特别是在开挖面与监测断面间距较大的位置 (y=51.6 m)。

图14 PINN 预测值与实测值对比Fig.14 Comparison of the predicted results by a PINN and measured results

图15 DNN 预测值与实测值对比Fig.15 Comparison of the predicted results by a DNN and measured results

在原训练样本的基础上增加y= 31.8 m、35.6 m时的实测数据 (共计140 个样本点) 作为新的训练样本置入DNN 中进行训练，此时DNN 的预测结果如图16 所示。可以看出，DNN 在训练样本充足的情况下也可以得到合理的预测结果，这也进一步说明了PINN 在引入物理机制的约束后，明显降低了对训练样本数据量的需求。

图16 DNN 预测值与实测值对比 (训练样本总数140)Fig.16 Comparison of predicted results by a DNN and measured results (Training data: 140)

由上述对比结果可以看出，开挖面位于不同位置时，PINN 预测得到的地表沉降曲线均显著优于DNN 的预测结果，表明物理驱动的配置使PINN的外推泛化能力得到了显著的提高。PINN 克服了传统DNN 算法内插能力强，外推性能差的缺点，展现了较强的外推泛化能力，这为预测盾构隧道施工过程中地表沉降的变化趋势提供了有力的手段。

4.1.2 工程案例2

案例2 为北京地铁14 号线“方～十”区间盾构隧道工程，该区间隧道开挖地层总体均一性较好，属于北京地区具有代表性的地层；某监测断面隧道上覆土层厚度为10.8 m，隧道内径6.0 m，上覆土体以黏性土为主，夹杂少许粉细砂性土，E和ν的取值分别为13 MPa 和0.25，监测得到的地表沉降数据如图17 所示[36]，x、y的物理意义与图12 相同。

图17 工程案例2 实测数据Fig.17 Measured data of case 2

同样基于图10 所示的PINN 工程应用的网络架构，以y= 0 m、 8.4 m、 21 m 处的实测数据为训练样本，预测y= 30 m 处的地表沉降曲线，训练样本的总数共27 个点。PINN 和DNN 的预测结果与实测值的对比分别如图18 和图19 所示。可以看出，PINN 预测得到的地表沉降曲线基本与实测值完全吻合；同等配置的DNN 可以预测得到地表沉降曲线的变化趋势，但得到的沉降值均明显大于实测值。整体上看，DNN 可以在一定程度上捕捉地表沉降的变化规律，但预测结果的准确程度明显低于PINN，体现了PINN 模型优秀的外推泛化性能。

图18 PINN 预测值与实测值对比Fig.18 Comparison of predicted results by a PINN and measured results

图19 DNN 预测值与实测值对比Fig.19 Comparison of predicted results by a DNN and measured results

4.2 工程应用流程

基于上述预测过程，对PINN 的工程应用流程进行总结，如图20 所示。PINN 基于工程施工前期一定数量的监测数据对后续施工过程的地表沉降趋势进行预估，为使模型预测结果保持较高的精度，可以依据工程所需的误差控制要求，在一定的时间节点进行误差校准和样本更新，从而保证PINN 准确预测施工周期内地表沉降的变化趋势。

图20 PINN 模型的工程应用流程Fig.20 Diagram of the engineering application of a PINN model

依据该流程，预测得到工程案例1 的地表沉降场如图21 所示。可以看出，预测得到的地表沉降场与实测沉降值保持了高度一致，在临近隧道中线附近沉降值较大，远离隧道中线处沉降值逐渐变小；随着开挖面与监测断面间距的增大，沉降值有先增大后趋向平稳的趋势。PINN 的预测结果基本可以准确地还原实测的地表沉降场，该方法有助于提升盾构隧道施工过程中地表沉降控制的智慧化水平，为工程的潜在风险提供预警。

图21 地表沉降场Fig.21 Surface settlement field

5 结论

深度学习与传统学科的交叉为现有问题的解答提供了新的方法和途径。本文提出了一种基于数据-物理双驱动的物理信息深度神经网络 (PINN)模型以预测盾构施工过程中诱发的地表沉降。首先，将Verruijt-Booker 解的控制方程耦合至DNN框架中，得到耦合物理机制的PINN 框架；在此基础上，以并行的DNN 框架预测Verruijt-Booker 解的围岩位移因子，建立地表变形与开挖面空间位置的关联。构建的PINN 模型可以基于部分工程实测数据对后续施工过程中诱发的地表沉降进行准确预测。通过算例分析与工程实例分析验证了提出方法的合理性，所得结论如下：

(1) 在数据稀疏的情况下，PINN 得益于物理驱动的优势，预测精度显著优于传统的DNN 算法；同时物理驱动机制使PINN 具备了良好的反演性能。

(2) 数据-物理双驱动的PINN 模型可以有效预测盾构隧道施工过程中诱发的地表沉降，物理机理的引入改善了传统DNN 算法过于依赖大数量数据驱动的弊端，提高了模型的外推泛化能力，显著降低了对训练样本的需求。

(3) 提出的PINN 模型可以实现基于施工前期一定数量的实测数据以及阶段性的误差控制，准确预测盾构隧道后续施工过程中开挖面处于不同位置时监测断面的地表沉降曲线。该方法有助于提高盾构隧道施工过程中地表沉降安全控制的智慧化水平，可为工程的潜在风险和施工决策提供预警和指导。