基于切口梁弯曲响应的UHPC 受拉性能反演分析

郭义庆，王俊颜

(1.同济大学先进土木工程材料教育部重点实验室，上海 201804；2.同济大学建筑工程系，上海 200092)

超高性能混凝土(UHPC)是根据颗粒最紧密堆积、水胶比小于0.25 和纤维增强等原则进行设计的具有超高强度、高韧性、高耐久性能以及良好施工性能等特点的水泥基复合材料[1-2]。作为过去30 年中最具创新性的水泥基工程材料，UHPC已广泛用于重载、大跨、抗震、抗爆等结构[3-4]。为充分发挥材料的性能优势，与普通混凝土结构不同，UHPC 结构在进行设计时通常需考虑其抗拉性能。因此，UHPC 受拉性能是大多数学者研究的重点之一。UHPC 受拉性能按轴拉应力-变形曲线的形状进行分类时，可分为应变硬化和应变软化两类，其中拉伸应变软化UHPC 根据弯拉试验得到的荷载-挠度曲线的形状又可分为挠度强化和挠度软化两类弯拉特性[5]。目前，测试UHPC 受拉性能的试验方法主要有单轴拉伸试验和弯曲拉伸试验。单轴拉伸试验能够准确反映材料的抗拉强度，可直接获得UHPC 的拉伸性能，但需要特殊的试验装置和试件形状，门槛较高且耗时耗力，如笔者课题组研制的UHPC 轴拉测试系统[1]，经过近六千根试件的测试表明：采用该测试系统可较为容易获得应变硬化UHPC 的轴拉应力-应变曲线，而对于应变软化UHPC，若操作经验不足，测试时易出现偏心受拉和标距外断裂现象。因此，UHPC 轴拉测试多用于试验研究，而在实际工程中的材料性能检测时较少采用[1]。弯曲拉伸试验由于测试设备简单、可操作性强、结果稳定，是一种被广泛采用的UHPC 拉伸性能间接测试方法。但由于弯曲试验获得的弯曲拉伸响应并不能直接反映材料本身的受拉性能，因此需要对实测结果进行进一步的反演分析。

国内外学者对UHPC 的拉伸性能反演分析方法开展了研究[6-13]。反演分析方法主要分为逐步迭代分析法和简化分析法。逐步迭代法无需依赖于材料的拉伸应力-变形关系，而是利用每一个荷载步下挠度-曲率、曲率-应变关系及截面的平衡条件，进行反复增量迭代以接近实测响应，从而得到最大受拉单元的真实拉伸应力-应变关系[6-7]。张哲等[6]考虑剪切变形和曲率分布的非线性，提出了二次反演分析法，但迭代过程受实测结果的波动影响较大，而且该方法只能得到UHPC 应力软化前的应力-应变关系。由于逐步迭代法计算过程复杂，而且计算结果呈现局部振荡现象，需要二次处理才能用于材料指标分析，不适用于UHPC材料的工程现场的快速检测需求。简化分析法首先需要假定材料的拉伸应力-变形曲线的大致形状及特征点。然后，通过力学分析得到弯曲响应，如荷载-挠度曲线、荷载-切口水平张开位移(CMOD)曲线、弯矩-曲率关系等。最后，将计算得到的响应与实测结果进行误差分析，进而逐步修正特征点参数，从而获得完整的拉伸应力-变形关系[8-10]。简化分析法的准确性依赖于特征点的数量以及计算模型的合理性。法国UHPC 材料标准NF P18-470[11]采用简化分析法通过假设的受拉应力-缝宽曲线建立截面分析过程，再根据平衡条件反复迭代以修正假定曲线的误差。但迭代过程受实测结果的波动影响较大，可能会导致结果不收敛，因此需要预先对实测结果进行降噪处理。瑞士UHPC结构设计标准SIA 2052[12]采用基于荷载-挠度响应的简化反演分析法，但其截面受拉区内的拉应力呈均匀分布的假设会导致预测的抗拉强度偏高。ØSTERGAARD 等[13]考虑拉伸应变硬化和裂纹局部化影响，采用塑性铰模型建立了基于梁弯曲响应的混凝土拉伸性能简化反演分析方法，但由于裂纹开展的随机性，需观察每个试件裂纹局部化的位置。

为了更加快速、简便、准确地获取UHPC 材料的拉伸性能，本文提出了一种基于荷载-CMOD响应的UHPC 拉伸性能简化反演分析方法。首先，通过应变-裂缝宽度转换关系，提出一种可描述应变硬化或软化特征的多折线受拉应力-应变关系，在此基础上建立了一种考虑裂纹局部化的非线性铰模型，并通过截面分析推导出弯矩-CMOD 关系公式，将其与切口梁弯曲试验得到的弯矩-CMOD响应进行误差分析，逐步修正特征点参数，从而得到完整的UHPC 受拉应力-缝宽曲线。然后，利用带切口的轴拉试验结果验证了模型分析结果的准确性。最后，研究了特征长度和特征点数量对模型分析预测结果的影响规律。

1 非线性铰模型

1.1 非线性铰模型概述

为使测试结果更加稳定，法国UHPC 标准NF P18-470[11]和国际结构混凝土联合会的Model Code 2010 规范[14]中的弯拉测试都采用带切口的小梁试件。假设UHPC 小梁的切口深度为a、跨中截面高度为h、宽度为b，如图1(a)所示，在四点弯曲作用下，由于切口上方横截面的开裂弯矩明显小于无切口截面，因此在切口上方会首先出现裂缝。随着荷载的增加，裂缝沿横截面高度不断扩展，宽度也进一步增大。根据圣维南原理，裂缝周围区域的应力场会受到扰动，横截面曲率在此区域内呈二次抛物线对称分布特征[15]，而小梁在扰动区域外仍符合铁木辛柯梁理论，两部分在扰动区域的边界处满足转角的相容性。此区域称为塑性铰区域，区域宽度S为特征长度，如图1(b)所示。为简化分析，在塑性铰区域内引入以下假设：

图1 带切口的非线性铰模型示意图Fig.1 A schematic of the notched nonlinear hinge model

1) 计算时假定塑性铰区域的特征长度S保持不变；

2) 假设切口梁在开裂后仅在切口上方截面处出现一条竖向裂缝；

3) 假定塑性铰区域始终处于纯弯段内，受压区UHPC 始终处于线弹性状态，且受拉和受压弹性模量相同。

基于以上假设，虽然裂缝处UHPC 的应变沿截面高度已不符合线性分布特征，但在整个塑性铰区域内的横截面各点的平均正应变仍可以视为沿截面高度呈线性分布[16]。UHPC 基体开裂后，由于纤维的桥接作用，受拉区的拉应力仍可通过裂缝进行传递。取裂缝宽度为wi处的微元进行受力分析，如图2 所示，则微元体的平均拉应变可表示为：

图2 含裂缝微元受力分析Fig.2 The stress analysis of differential element with crack

式中：E为UHPC 基体的弹性模量；σi为微元受到的拉应力。

如图3 所示，利用式(1)可将应力-缝宽曲线上的任一特征点(σi,wi)进行横坐标变换，从而得到应力-应变曲线上的对应点(σi,wi)。当所有特征点进行横坐标变换后，即可将假定的UHPC 受拉应力-缝宽曲线转换为应力-应变曲线。通过采用多折线模型和特征点的调控，可描述UHPC 的受拉应变硬化或应变软化特征，其数学表达为：

图3 UHPC 多折线受拉应力-变形关系模型Fig.3 A segmented tensile stress-strain relationship model

1.2 基于非线性铰模型的截面分析

如图4 所示，采用假定的UHPC 受拉应力-应变关系，建立塑性铰区域内裂缝截面分析过程，则截面的轴力和弯矩平衡方程为：

图4 塑性铰区域横截面各点平均应变及应力分布Fig.4 Linear distribution of strain along the depth and the corresponding stress distribution

式中：Nc、Mc、yc分别为受压单元的合力、合力对中性轴的矩以及对应的力臂；Ni、Mi、yi分别为受拉区第i个单元的合力、合力对中性轴的矩以及对应的力臂；M为外力矩。

根据截面平均应变沿高度呈线性分布的假定，横截面各点至中性轴的相对距离为：

式中：εc、εi和εn分别为横截面受压区最外侧、受拉区第i个单元外侧和受拉区边缘的平均正应变；αn为相对受拉区高度。

同样，如图4 所示，各单元的高度hi、合力Ni以及合力到中性轴的距离yi可表示为：

式中，

根据轴力和弯矩平衡方程，可求解出截面相对受拉区高度及弯矩的表达式为：

由式(1)可得受拉区边缘拉应变与此处裂缝宽度的关系式为：

式中，wn为受拉区边缘的裂缝宽度，其最大值取最长纤维长度的一半，即wn≤Lf/2，Lf为最长纤维长度。

根据切口张开宽度与裂缝外缘宽度的几何关系，如图5 所示，可得CMOD 的表达式为：

图5 CMOD 与裂缝外缘宽度的几何关系Fig.5 Geometrical relationship between CMOD andwn

式中，CMOD 为切口外边缘的水平张开宽度。

由式(8)～式(11)可确定开裂截面的弯矩与CMOD 之间的关系。另外，需要注意的是在一些切口梁弯曲试验中量测的并不是切口外边缘的水平张开宽度CMOD，而是切口顶端的裂缝张开宽度(CTOD)，即本文中的wn，此时只需由式(8)～式(10)来确定弯矩和CTOD 之间的关系。

1.3 基于非线性铰模型的反演分析流程

由上述截面分析得到的一系列“缝宽→应变→弯矩”关系式，可通过Matlab 或Excel 建立计算流程。如图6 所示，首先，根据UHPC 所采用的纤维长度确定裂缝宽度wn的最大值；其次，按精度要求选取UHPC 的受拉应力-裂缝宽度曲线的特征点并赋予初始值(σn,wn)；然后，从初始点(σ0,w0)开始通过每次计算可得到弯矩-裂缝宽度曲线上所对应点的坐标(Mn,CMODn)，并将其与实测值进行误差分析，逐步修正σn；最后，当wn等于纤维长度的二分之一时结束计算，将所有特征点绘成曲线进行输出。

图6 基于非线性铰模型的反演分析流程Fig.6 Implementation procedure of the inverse analysis

2 UHPC 轴拉试验和切口梁弯曲试验

2.1 UHPC 材料及试件成型

本文验证性试验所采用的UHPC 材料基体配合比见表1，其中胶凝材料采用强度等级为52.5的普通硅酸盐水泥和比表面积为22 000 m2·kg-1的微硅粉。两组试验U-2.2%和U-1.2%所采用微细钢纤维体积掺量分别为2.2%和1.2%，钢纤维的性能指标见表2。每组试验成型3 个100 mm×200 mm 圆柱体轴心抗压试件、3 根标距段截面为50 mm×100 mm 的带切口哑铃形轴拉试件以及3 个尺寸为100 mm×100 mm×400 mm 切口小梁弯曲试件。同一组试件均在室温下一次成型并覆膜养护24 h 后进行拆模，然后放置在标准养护箱内，达到28d 龄期后取出，采用如如图7 所示的自动台式石材切割机对试件进行湿切加工，可使切口的尺寸误差控制在±1 mm。对于轴拉试件，为了避免加载时出现切口截面以外断裂，切口的尺寸应满足切口截面的拉应力达到极限抗拉强度时，无切口截面的拉应力小于初裂强度。考虑到目前应变强化UHPC 极限抗拉强度与初裂强度的比值多在1.1～1.8，保守取切口截面的面积为无切口截面的二分之一，以此确定轴拉试件的切口深度宜为25 mm。对于切口梁试件，参考法国标准NF P18-470[11]的建议，为减小纤维在靠近模板处趋于二维分布对强度的影响，切口深度应大于最长纤维长度的二分之一，同时为方便加工，本文取10 mm。试验测得的UHPC基本力学性能如表3 所示。

表1 UHPC 基体配合比Table 1 Mix proportions of UHPC matrix

表2 钢纤维性能参数Table 2 Properties of steel fibers

表3 UHPC 实测基本力学性能Table 3 The basic mechanical properties of UHPC

图7 试件切口加工Fig.7 The notch processing of specimen

2.2 UHPC 单轴拉伸试验

单轴拉伸试验加载设备为300 kN 微机控制电子万能试验机。试验加载速率为0.1 mm/min，当试验拉力下降至最大力值的20%结束测试。试件变形测量装置为对称布置的两支精度为0.0001 mm的光栅位移计。试验装置及试件尺寸如图8，试件两侧切口深度为25 mm，位移计所测量的标距段长度为150 mm。由于实测变形包含UHPC 基体的弹性变形和裂缝宽度，因此需按式(12)对试验结果进一步处理才能获得材料的应力-缝宽曲线。

图8 UHPC 轴拉试验装置及试件 /mmFig.8 Setup of UHPC uniaxial tensile test and specimen

式中：A0、A分别为切口截面和无切口截面的面积；P为所施加的拉力；δ 为实测总变形；l0为轴拉试件标距段长度。

单轴拉伸试验测得的UHPC 受拉应力-缝宽曲线如图9 所示。从图9 中可看出，纤维掺量为2.2%时UHPC 表现出明显的拉伸应变硬化特征，平均初裂应力和极限抗拉强度分别为7.31 MPa 和8.96 MPa，极限抗拉强度对应的裂缝宽度为0.43 mm。纤维掺量为1.2%时，UHPC 表现出明显的拉伸应变软化特征，但平均初裂应力为8.02 MPa，略高于U-2.2%，这主要是由于试验采用的UHPC 材料在标准养护条件下自由收缩较大(约900 µε)，较高的纤维掺量约束了收缩的发展，使得试件在未加载时，基体已处于相对较高的拉应力状态，从而导致试件的实测初裂强度较低，这与笔者课题组的前期研究一致[17]。

图9 实测UHPC 轴拉应力-裂缝宽度关系曲线Fig.9 Uniaxial tensile stress-crack width responses of UHPC

U-1.2%的所有试件开裂后都出现轴拉应力突降现象，主要是试验机刚度不足及纤维与基体的粘结作用不足以承担开裂前基体所受拉力所致。另外，试件U-1.2%-3 的轴拉应力在开裂后有较大突降，随后又略微上升，通过对比该试件两侧的位移数据发现，这主要是由于试件在开裂前一直处于较大程度的偏心受拉状态，导致初裂时裂缝处纤维非均匀受拉，与轴心受拉试件相比，表现出轴力降幅较大，而轴力下降后试件偏心状态逐渐得到了调整，裂缝处的纤维也趋于均匀受拉，轴力开始上升，两侧的变形也逐渐达到相同水平。U-2.2%各试件轴拉应力-缝宽曲线下降段的离散性高于U-1.2%，可能是由于较高的纤维掺量使得纤维分布不均匀，初裂前出现不同程度的偏心受力，而在开裂后，由于应变硬化特性的存在，其偏心状态并不像U-1.2%-3 那样可以得到纠正，而是进一步加剧，加载至下降段时其偏心程度逐渐被扩大，进而导致下降段波动较大。

2.3 UHPC 切口梁弯曲试验

弯曲试验加载设备与轴拉试验相同，试验加载速率为0.2 mm/min。试验装置及试件尺寸如图10所示，小梁试件底部切口深度为10 mm。切口水平位移CMOD 测量装置采用精度为0.001 mm 的夹式引伸计，通过两个刀片固定在小梁底面切口中间位置，CMOD 的起始点应为初裂时刻，当CMOD达到6.5 mm 时终止测试。弯曲试验结果采用弯矩-CMOD 关系曲线表示，如图11 所示。2.2%和1.2%两种纤维掺量的UHPC 都呈现出挠度硬化特性，平均开裂荷载分别为25.31 kN 和29.62 kN，平均极限荷载分别为63.65 kN 和45.48 kN，对应的切口水平位移为1.34 mm 和0.38 mm。试验结果表明：较高纤维掺量的UHPC 具有较高的韧性、弯曲强度和较强的裂缝控制能力。

图10 切口梁弯曲试验装置及试件 /mmFig.10 Setup of notched bending test and specimen

图11 切口梁弯曲试验获得的荷载-CMOD 关系曲线Fig.11 Load-CMOD responses of notched bending beams

3 模型验证与参数分析

3.1 模型验证一

采用本文提出的非线性铰模型，根据本文切口梁四点弯曲试验实测的荷载-CMOD 曲线进行反演分析获得不同纤维掺量下UHPC 的受拉应力-裂缝宽度曲线，如图12 所示，其中特征点参数的平均值见表4。分析时，UHPC 弹性模量按表3 选用，特征长度S依据Model Code 2010[14]取切口梁高度的一倍进行计算。反演分析结果与实测结果对比表明：计算模型能够准确预测应变软化和应变硬化UHPC的受拉初裂应力和峰值应力，但图12 中U-1.2%和U-2.2%在软化初始阶段的预测平均值比轴拉试验的实测平均值分别高约15%和11%，这主要是由于此阶段轴拉试验结果的离散性较大，见图9。同样，弯曲试验结果的离散性也决定了模型预测结果的稳定性，如U-1.2%试验组纤维掺量低、分散均匀，其弯曲和轴拉测试结果的离散性都相对较小，因而使得模型预测结果与实测结果整体吻合较好。因此，模型预测结果的稳定性随荷载-CMOD 响应的离散性增大而降低。

表4 UHPC 受拉应力-裂缝宽度曲线特征点参数Table 4 Characteristic point parameter of UHPC tensile stress-crack width curves

图12 预测结果与本文验证试验实测结果对比Fig.12 Comparison of the predicted results with experimental results in this paper

3.2 模型验证二

为进一步验证分析方法的适用性，本文借鉴SAVINO 等[18]测得的切口梁四点弯曲试验和轴拉试验数据，采用本文的分析模型对9 组共27 个试件的弯曲响应进行了高性能纤维混凝土(A)和两种UHPC(B、C)的受拉性能反演分析。但与本文验证性试验不同，其切口梁四点弯曲试验量测的是切口顶端的张开宽度(CTOD)，即本文中的wn，因此，反演分析应采用弯曲试验测得荷载-CTOD 曲线。另外，虽然SAVINO 等[18]采用的是无切口、标距段长度80 mm 及截面尺寸为40 mm×30 mm 的轴拉试件，但在轴拉试验中UHPC 只出现了单缝开裂。因此，仍可根据式(12)将测得的轴拉应力-变形曲线转换为轴拉应力-缝宽曲线。SAVINO 等[18]采用的切口梁尺寸为600 mm×150 mm×150 mm，跨中切口深度为45 mm。

图13 为分析预测结果与SAVINO 等[18]实测结果的对比情况。可以看出，三种材料的轴拉应力-缝宽预测曲线与实测曲线的变化趋势保持一致，但在相同缝宽下，轴拉应力的分析预测值都高于实测值，而且高估的幅度与弯曲响应的离散性有一定相关性。这可能是由于同一种材料的各组试件是在不同日期分批次浇筑的，再加上UHPC对原材料和养护条件要求较高，从而导致弯曲响应和轴拉应力-缝宽曲线离散性较大，最终使得预测结果偏差较大。从图13 中可看出，随着B、C、A 的荷载-CTOD 曲线的离散性依次增大，轴拉应力的预测值也逐渐偏离实测值，这与3.1 中的结论一致。因此，对于离散性较大的弯曲响应，在进行受拉性能反演分析时，应考虑对分析预测值进行折减。

图13 模型分析结果与SAVINO 等[18]试验实测结果对比Fig.13 Comparison of analytical results with experimental results by SAVINO et al[18]

3.3 参数分析

为简化分析，本文采用了塑性铰区域的特征长度S保持不变的假定，但研究表明塑性铰区域的特征长度随裂缝高度扩展而不断变化[15]。各规范和研究给出的特征长度参考值也不尽相同，如法国与瑞士规范建议取梁高的三分之二、Model Code 2010 建议取梁高的一倍，而OLESEN[16]则建议取梁高的二分之一。另外，特征点的数量直接影响分析过程的复杂性和结果的准确性，因此，有必要研究特征长度和特征点数量对本文模型分析结果的影响规律。

图14 为不同特征长度下的反演分析结果。可以看出，两种UHPC 反演分析得到的初裂应力与特征长度的相关性较小，而开裂后裂缝宽度在0.5 mm 内的轴拉应力预测值随特征长度减小而降低。这主要是由于初裂阶段裂缝开展高度较小，实际受扰动区域的特征长度较短。当特征长度由90 mm 减小至50 mm 时，纤维掺量为2.2%的应变硬化UHPC 的峰值应力预测值降低了5.5%。因此，非线性铰模型当采用较大的特征长度时会略微高估UHPC 初裂后的抗拉强度。建议在对应变硬化UHPC 受拉性能分析时，特征长度取试件高度的二分之一。

图14 不同特征长度下的模型反演分析结果对比Fig.14 Analytical results with various reference lengths

图15 为模型分析结果受特征点数量的影响规律。图15 中可得，对于U-1.2%应变软化UHPC，模型分析结果受特征点数量的影响较小，特征点数量为3 时，即三折线模型，就可满足精度要求。但对于U-2.2%应变硬化UHPC，当特征点数量由8 分别减少至6 和4 时，模型预测的峰值应力分别提高了2.2%和5.6%，而裂缝宽度4 mm 对应的轴拉应力预测值分别降低了50%和75%。因此，采用本文模型对应变硬化UHPC 受拉性能进行反演分析时，特征点的数量应不少于6 个，即应采用五折线模型。

图15 特征点的数量对模型反演分析结果的影响Fig.15 Analytical results with various characteristic points

另外，虽然已有研究表明：在加载速率小于1.25 mm/min 时，切口深度对UHPC 弯曲强度的影响可忽略[19]。但由于切口深度的变化会影响特征长度的取值，因此，后续还应研究切口深度对模型预测结果的影响规律。

4 结论

基于切口梁四点弯试验获得的荷载-切口水平张开位移(CMOD)响应，本文建立了采用非线性铰模型进行UHPC 拉伸性能反演分析的过程，并将分析预测结果与轴拉试验实测的应力-缝宽曲线进行了对比验证，结论如下：

(1) 在采用适当的模型参数情况下，分析结果与两种钢纤维掺量的UHPC 轴拉试验实测结果整体吻合较好且误差可控制在5%以内，提出的简化分析方法能够准确预测和识别UHPC 的拉伸应变硬化和应变软化特征。

(2) UHPC 轴拉试验结果的离散性随钢纤维掺量的增加而增大，模型预测结果的稳定性随弯曲试验的荷载-CMOD 响应的离散性增大而降低。

(3) 应变软化UHPC 的受拉性能预测结果受特征长度的影响较小，但应变硬化UHPC 的极限抗拉强度随特征长度的减小而降低，建议非线性铰模型的特征长度取试件高度的二分之一。

(4) 特征点数量对应变软化UHPC 的受拉性能预测结果影响较小，而对于应变硬化UHPC，较少的特征点会导致预测的极限抗拉强度偏高，建议应变软化和应变硬化UHPC 的受拉应力-缝宽关系分别采用三折线和五折线模型。