椭圆与双曲线共焦点的离心率问题解决策略

陈雪冰

【摘要】圆锥曲线知识是高考数学考查的重点内容，而椭圆和双曲线的共焦点的离心率问题是常见的一类题型，重点考查学生的转化、分析、数形结合及数学运算求解能力.一般是根据条件得到关于a，b，c的齐次式，然后通过a，b，c的平方关系，消元，化为a，c之间的关系式，从而求得离心率.而将两条曲线结合起来的桥梁是焦点.

【关键词】椭圆；双曲线；焦点；离心率

圆锥曲线问题在高考试题中一直是比较重要的一部分，近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之间的最值与范围问题.两种曲线结合在一起考查多见于选择题和填空题，能力要求较高.为此，将椭圆与双曲线的共焦点求离心率问题做了梳理，旨在帮助学生提高转化能力和分析与解决问题的能力等.

1  椭圆与双曲线基础知识灵活再现

1.1  椭圆的基础知识

焦点在x轴的椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），焦点坐标为（－c，0），（c，0），c2=a2－b2， 离心率e=ca（0

1.2  双曲线的基础知识

焦点在x轴的双曲线方程为x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），焦点坐标为（－c，0），（c，0） ，c2=a2+b2， 离心率e=ca（e>1），焦点三角形面积为S=b2tanθ2.

2  重点题型汇总

2.1  共焦点齐次式求离心率关系式

例1  已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左、右焦点，分别为F1，F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，且两曲线在第一象限的公共点为P，满足PF1：F1F2：PF2=4：3：2 ，则e2+e1e2－e1 的值为（  ）

分析  方法1直接利用离心率公式即可求得.计算e1=ca1=2c2a1=F1F2PF1+PF2=12，同上可求e2=32，故原式的值为2.

方法2  根据离心率公式，计算可得：e1e2=a2a1，设e1=a2k，e2=a1k，所以e2+e1e2－e1=a1+a2a1－a2=2a1+2a22a1－2a2，根据椭圆和双曲线的定义可得：PF1+PF2=2a1，PF1－PF2=2a2，代入上式计算得2.

小结  本题考查学生的抽象思维、逻辑思维和计算能力，借助焦点△PF1F2的三边关系可求.设PF1=m，PF2=n，m>n，根据椭圆和双曲线的定义可得：m+n=2a1，m－n=2a2，即为：PF1+PF2=2a1，PF1－PF2=2a2，同时还可解得：m=PF1=a1+a2，n=PF2=a1－a2.

2.2  共焦点已知顶角求离心率关系式

例2  设e1，e2分别为具有公共焦点F1和F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足PF1·PF2=0，则1e12+1e22的值为（  ）

分析  方法1 由已知得：△PF1F2为直角三角形， 根据焦点三角形的三边长度转化为（a1+a2）2+（a1－a2）2=4c2，所以a12+a22=2c2，所以 a12c2+a22c2=1e12+1e22=2.

方法2  根据椭圆焦点三角形面积公式和双曲线焦点三角形面积公式，结合题意可得：S1=S2，tanθ2=1.可推得b12=b22，可得a12－c2=c2－a22，求解为2.

小结  本题主要考查的是数形结合的数学思想，通过几何图形建立边长关系，转化为运用离心率公式进行计算.

例3  F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1 ，C2 在第二、四象限的交点，若∠AF1B=2π3 ，则C1与C2的离心率之积的最小值为（  ）

分析  连接AF1，AF2，构成△AF1F2，∠F1AF2=π3，解三角形得：a12+3a22=4c2，所以1e12+3e22=4≥23e12e22=23e1e2，所以e1e2≥32，故C1与C2的离心率之积的最小值为32.

小结  计算离心率关系式的最值问题，考查到解三角形的余弦定理和均值不等式、重要不等式等内容，增加了一定难度.

2.3  共焦点无顶角求离心率

例4  已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）与双曲线C2：x2m2－y2n2=1（m>0，n>0）有共同的左、右焦點 F1，F2，且在第一象限的交点为P，满足 2OF2·OP=OF22 （其中O为坐标原点），设C1，C2的离心率分别为e1， e2 ，当4e1+e2取得最小值时，e1的值为（  ）

解  过点P作PM⊥OF2于M，因为2OF2·OP=OF22，由数量积公式可得M为OF2的中点，故OP=PF2，设PF2=x，则PF1=2a－x，F1M=32c，OM=12c，所以PF12－F1M2=OP2－OM2，化简可得：4a2－4ax=2c2，因为x=a－m，所以ca×cm=2，故e1e2=2，因为4e1+e2=4e1+2e1≥42（当且仅当4e1=2e1，4e1+e2取得最小值），即e1=22.

小结  本题通过图形建立边之间的关系，利用方程思想，转化到离心率的关系式.

2.4  共焦点求图形面积

例5  若椭圆x2m+y22=1（m>2）与双曲线x2n－y22=1（n>0）有相同的焦点F1，F2，P是椭圆与双曲线的一个交点，求△F1PF2的面积.

解  由题意知m－2=c2，n+2=c2，即m－n=4，PF1+PF2=2m，

PF1－PF2=2n，所以PF1=m+n，PF2=m－n，所以PF1·PF2=4，在△F1PF2中，

cos∠F1PF2=PF12+PF22－F1F222PF1PF2=0，得∠F1PF2=π2，可求得△F1PF2的面积为2.

小结  本题通过椭圆、双曲线的基本关系式，在焦点三角形中，利用余弦定理求角，确定图形的特殊性从而求得图形面积.

3  结语

总之，椭圆与双曲线的密切结合点就在共焦点问题上.面对椭圆与双曲线共焦点问题时，多找共同点，多分析，多总结，多采用均值不等式、三角换元、消元等方法来解决.