Isn-I-Fréchet-Urysohn 空间上的相关性质研究

胡星宇

（北京工业大学 理学部，北京 100124）

拓扑空间中的序列收敛是数学里面的一个基础和重要的概念。此外序列的通常收敛、统计收敛、理想收敛甚至是G-收敛近些年吸引了大量学者的关注［1-3］。理想收敛是一种特殊的序列收敛，最早是在2000 年Kostyrko［4］首先对它进行了研究，通过使用正整数的理想子集的概念给出了统计收敛的两个很有趣的一般化结论，把它命名为I 和I*-收敛，并且在度量空间中研究了I 和I*-收敛的一些性质。随后在2004 年，Lahiri 等［5］在拓扑空间中讨论了I 和I*-收敛的一些性质。通常情况下，拓扑空间的拓扑性质一般不由空间中的序列收敛决定，这导致了人们考虑网的收敛。2019 年，周先耕［6］介绍了被I-收敛决定性质的几种不同类型的拓扑空间，并且研究了它们的性质。更多关于I 和I*-收敛的一些结论可以在文献［7-14］中找到。在一般拓扑空间中，有许多由序列收敛定义的典型空间是第一可数空间，比方说Fréchet-Urysohn空间、序列空间［15-16］。在统计收敛和I-收敛的意义下，统计Fréchet-Urysohn空间和I-Fréchet-Urysohn空间、统计序列空间和I-序列空间在文献［2，17-19］中被广泛讨论。近些年，理想收敛已经变成一般拓扑学和集合论上的一个热点问题［11，20-22］。2021 年，林寿在文献［23］的基础上继续研究理想收敛，在开集和I-开集之间给出了Isn-开集的概念，并且在此基础上给出了I-领域空间、Isn-开拓扑空间、I-连续、Isn-连续、I-商映射、Isn-商映射的定义，并且结合文献［18］给出的I-序列空间概念，在一起总的讨论了它们彼此的关系和性质。

本文在文献［23］的基础上提出了Isn-I-Fréchet-Urysohn空间的概念，并且结合文献［24］中引入的Isn-序列空间的概念，讨论它们之间的关系和一些相关性质，比如遗传性、连续性等。最后讨论了这些空间和理想收敛中其他空间之间的关系。

1 基本概念

定义1［23］令I 是N 的子集构成的集族，考虑以下条件：

（1）如果A，B∈I，那么A∪B∈I；

（2）如果B⊂A∈I，那么B∈I；

（4）I 是N 的一个覆盖。

集族I 被称作N 上的一个理想如果它满足条件（1）和（2）；I 被称作N 上非平凡理想如果它满足条件（1）～（3）；I 被称作N 上的一个admissible 理想如果它满足条件（1）～（4）。此文的理想都是admissible理想。

定义2［23］令I 是N 上的一个理想，并且X 是一个拓扑空间。对于X 中的一个序列｛xn｝，如果对于x的任意一个领域U 有｛n∈N：xnU｝∈I，那么称｛xn｝I-收敛于点x，记做。

定义3［23］N 上的所有有限子集构成的集族记做Ifin，那么Ifin是最小的非平凡理想包含在每个admissible 理想中，此时X 上的I-收敛和X 上通常的序列收敛是一样的，为了表述简洁，如果没有特殊提示，本文使用I 去表示N 上的一个admissible 理想，并且用Ifin表示N 上的一个最小理想，它是N 上所有有限子集构成的集族。

定义4［23］令X 是拓扑空间，并且P⊂X。X 中的序列｛xn｝被称作I-终于P 如果｛n∈N：xnP｝∈I；对于任意x∈X，集合P 被称作x 的一个I-序列领域如果每个I-收敛于x 的序列都I-终于P；集合P被称作是X 的Isn-开集如果对于每个x∈P，P 是x 的I-序列领域。集合P 被称作是X 的Isn-闭集如果XP 是X 的Isn-开集。集合P 被称作是X 的I-闭集如果当P 中的序列，x∈P 成立；集合P 被称作是X 的I-开集如果XP 是I-闭集。

定义5［23］考虑下面拓扑空间X 和X 的子集A 的条件：

（1）A 是X 的一个开集；

（2）A 是X 的一个Isn-开集；

（3）A 是X 的一个I-开集；

（5）A 是X 的一个序列开集。

有（1）⇒（2）⇒（3）⇔（4）⇒（5）成立。

定义6［23］拓扑空间X 被称作是一个I-FU 空间如果对于每一个A⊂X 和x∈，那么在A 中一定存在一个序列｛xn｝满足在X 中。从文献［3］可知每个第一可数空间是I-FU 空间并且每个I-FU空间是I-序列空间。

如果I=Ifin，那么一个点的I-序列领域被称作是这个点的序列领域，此时Isn-开集、Isn-闭集、I-开集、I-闭集和I-序列空间被称作是sn-开集、sn-闭集、序列开集、序列闭集和序列空间，根据文献［23］有下列结论成立。

定义7［23］下列称述成立：

（1）序列开集和sn 开集在拓扑空间中是一致的；

（2）每个序列空间都是一个I-序列空间。

沿用文献［23］中的记号，令：［A］Is=｛x∈X：在A 中存在一个序列｛xn｝满足｝，=｛x∈X：在XA 中不存在序列｛xn｝满足。=｛x∈X：如果U 是x 的一个I-序列领域，那么U∩A≠Ø｝，=｛x∈X：A 是x 的一个I-序列领域｝。

很容易知道集合A 被称作是X 中的一个I-闭集当且仅当 A=，并且集合A 被称作是X 中的一个I-开集当且仅当 A=。集合A 被称作是X 中的一个Isn-闭集当且仅当 A=，并且集合A被称作是X 中的一个Isn-开集当且仅当 A=。

定义8［23］令X，Y 是拓扑空间。给定一个映射f：X→Y，则：

（1）f 被称作是一个I-连续如果U 是Y 的一个I-开集，那么f-1（U）是X 的一个I-开集；

（2）f 被称作是一个Isn-连续如果U 是Y 的一个Isn-开集，那么f-1（U）是X 的一个Isn-开集；

（3）f 被称作是保持I-收敛映射，如果对于X 中的每个满足的序列｛xn｝，Y 中的序列｛f（xn）｝都I-收敛到f（x）。

定义9［23］令X，Y 是拓扑空间，并且映射f：X→Y 是一个满射，则：

（1）f 被称作是一个商映射（I-商映射）如果对于每个U⊂Y，集合f-1（U）是X 的开集（I-开集）当且仅当U 是Y 的一个开集（I-开集），在这里空间Y 被称作是映射f 和理想I生成的一个商空间（I-商空间）；

（2）f 被称作是一个Isn-商映射如果对于每个U⊂Y，集合f-1（U）是X 的Isn-开集当且仅当U 是Y的一个Isn-开集，在这里空间Y 被称作是映射f 和理想I生成的一个Isn-商空间。

定义10［6］X 被称作是一个I-序列空间，如果X 的每个I-开子集A 是X 的开集。

定义11［23］X 被称作是一个I-领域空间，如果X 的每个I-开子集A 是X 的Isn-开集。

定义12［24］X 被称作是一个Isn-序列空间，如果X 的每个Isn-开子集A 是X 的开集。

定义13［24］一个拓扑空间X 被称作是一个Isn-Fréchet-Urysohn空间如果X 每个点的任何一个I-序列领域都是这一点的领域。

2 主要结果

定义14 一个拓扑空间X 被称作是一个Isn-I-Fréchet-Urysohn空间如果对于每一个A⊂X 和x∈，那么在A 中一定存在一个序列｛xn｝满足在X 中。

由此定义容易知道一个拓扑空间X 被称作是一个Isn-I-Fréchet-Urysohn空间当且仅当对于每个A⊂X，都有并且。

根据Zorn’s 引理，由文献［6］可以证明在N 中的所有admissible 理想I 形成的集族中一定存在一个最大理想。如果J 是N 的一个最大理想，那么对于每个A⊆N，有A∈J 或者A∈NJ 成立。对于N 的每一个理想I，N 的所有最大理想J 满足I ⊆J 组成的集合由Θ（I）表示。由文献［25］可知I=∩J∈Θ(I)J。

引理1［6］如果J 是N 的一个最大理想，那么每个拓扑空间都是J-领域空间。

引理2［6］令J 是N 的一个最大理想，并且X 是一个拓扑空间。那么A⊆X 是J-开集当且仅当对于任意x∈A，X 中每个J-收敛于x 的序列都J-终于A。

从此引理可以看出，令J 是N 的一个最大理想或者最小理想，当I=J 时，如果A 是X 的I-开集，那么A 同时也是X 的Isn-开集，再结合引理1，很容易得到如下定理。

定理1 令J 是N 的一个最大理想或者最小理想，并且X 是一个拓扑空间，取I=J。如果X 是一个Isn-序列空间，那么X 也是一个I-序列空间。

推论1 令J 是N 的一个最大理想或者最小理想，并且X 是一个拓扑空间，取I=J。如果X 是一个Isn-Fréchet-Urysohn 空间，那么X 同时也是一个I-Fréchet-Urysohn 空间。

定理2 Isn-I-Fréchet-Urysohn 空间（Isn-Fréchet-Urysohn 空间）的每个子空间是Isn-IFréchet-Urysohn 空间（Isn-Fréchet-Urysohn空间）。

证明 令X 是一个Isn-I-Fréchet-Urysohn空间，令Y 是X 的一个非空子空间，并且对于任意A⊂X，有。令F=A∩Y，因为F⊂X，所以，并且，又因为F⊂Y，所以Y 也是Isn-I-Fréchet-Urysohn空间。同理，当X 是Isn-Fréchet-Urysohn空间时，它的每个子空间同样是Isn-Fréchet-Urysohn空间。

定理3 X 是一个I-序列空间当且仅当X 是一个I-领域空间同时也是一个Isn-序列空间。

证明 根据定义，假设X 是一个I-序列空间，那么对于X 中的任意一个I-开集，它一定是一个开集，根据定义5，它一定是一个Isn-开集。反之对于X 中的任意一个Isn-开集，根据定义5，它一定是一个I-开集，所以它是一个I-领域空间。同理，对于X 中的任意一个Isn-开集，根据定义5，它一定是I-开集，根据条件，它一定是开集，所以X 是一个Isn-序列空间。

反之，若X 是一个I-领域空间并且也是一个Isn-序列空间，对于X 中的任意一个I-开集，它肯定也是一个Isn-开集，因为X 是一个Isn-序列空间，所以它肯定是一个开集，所以X 是一个I-序列空间。

回想一下拓扑空间X 的可数tightness 定义，如果在X 中A⊆X，并且 x∈，那么存在可数子集C⊆A 满足 x∈。由此定理知一个I-序列空间是I-领域空间，同时也是一个Isn-序列空间，又根据文献［6］可知，每个I-序列空间满足可数tightness，所以Isn-序列空间和I-领域空间都满足可数tightness。

定理4 Isn-序列空间具有如下性质：

（1）每个Isn-序列空间在Isn-开集（Isn-闭集）下是遗传的；

（2）在拓扑和下仍然是Isn-序列空间。

证明（1）令X 是一个Isn-序列空间。令Y 是X 的一个Isn-开子集并且A 是子空间Y 的一个Isn-开子集。那么根据文献［23］，A 是X 的一个Isn-开子集。因为X 是一个Isn-序列空间，所以A 是X 的一个开子集，可以得到A 是子空间Y 的一个开子集，所以Y 是一个Isn-序列空间。

令Y 是X 的一个Isn-闭子集并且F 是子空间Y 的一个Isn-闭子集。那么根据文献［23］，F 是X 的一个Isn-闭子集。因为X 是一个Isn-序列空间，所以F 是X 的一个闭子集，可以得到F 是子空间Y 的一个闭子集，所以Y 是一个Isn-序列空间。

（2）令｛Xα｝α∈A是Isn-序列空间组成的一个集族。令X=⊕α∈ΛXα是｛Xα｝α∈Λ组成的拓扑和。本文将会证明拓扑和X 是一个Isn-序列空间。令F 是X 中的一个Isn-闭子集。对于每个α∈Λ，因为Xα是X 中的闭集，F∩Xα是X 中的Isn-闭子集。又因为（F∩Xα）⊆Xα，根据文献［23］，有F∩Xα是Xα中的Isn-闭子集。根据假设，有F∩Xα是Xα中的闭集。根据拓扑和的定义，可以发现F 是X 中的闭集，因此，拓扑和X是一个Isn-序列空间。

定理5 拓扑空间X 是一个Isn-序列空间当且仅当X 上的每个Isn-连续映射是一个连续映射。

证明 假设X 是一个Isn-序列空间并且映射f：X→Y 是Isn-连续映射。令U 是Y 的一个开子集，因为同时U 是Y 的一个Isn-开子集并且f：X→Y 是一个Isn-连续映射，所以f-1（U）是X 的一个Isn-开子集。又因为X 是一个Isn-序列空间，所以f-1（U）是X 的一个开子集。因此，f：X→Y 是一个连续映射。

相反的，假设X 不是一个Isn-序列空间。那么存在X 的一个Isn-开子集O 满足O 不是X 的开子集。令Y=｛0，1｝并且在集合Y 上赋予以下拓扑：集合Ø，｛0｝和Y 是Y 中的开集，并且集合｛1｝是Y 中的开集当且仅当集合O 是X 中的Isn-闭子集。定义映射f：X→Y 如下：如果x∈O，那么f（x）=0。如果x∈XO，那么f（x）=1。首先，先证明f：X→Y 是Isn-连续映射。令U 是Y 的Isn-开子集，因为O 是X 的一个Isn-开子集，可以假设U=｛1｝。如果｛1｝不是Y 的开子集，可以在Y 中定义一个序列｛yn｝并且yn=0，那么很明显yn→1，因此。因为U 是一个Y 的Isn-开子集，所以U 是一个Y 的I-开子集，根据文献［23］，Ø=｛n∈N：yn∈U｝∉I。这产生了矛盾。因此｛1｝是Y 的开子集，并且O 是X 中的Isn-闭子集。那么很显然f-1（U）是X 的Isn-开子集。这说明了f：X→Y 是Isn-连续映射。因为｛0｝是Y 的开子集并且f-1（｛0｝）=O 不是X 的开子集，所以f：X→Y 不是连续映射。

定理6 每个Isn-I-Fréchet-Urysohn 空间（Isn-Fréchet-Urysohn 空间）都是I-领域空间（Isn-序列空间）。

证明 若X 是一个Isn-I-Fréchet-Urysohn 空间，对于任意A⊂X，都有，若F 是X 中的I-闭集，那么，所以F 是X 中的Isn-闭集，容易知道它一定是一个I-领域空间。同理，若X是一个Isn-Fréchet-Urysohn 空间，自然可以推出它一定是一个Isn-序列空间。

定理7 如果空间X 的每个子空间是I-领域空间（Isn-序列空间），那么X 是一个Isn-IFréchet-Urysohn 空间（Isn-Fréchet-Urysohn 空间）。

证明 假设空间X 的每个子空间是I-领域空间，令A⊂X，并且 x∈，如果 x∈A，那么这个证明是显然的。如果x∉A，那么A 不是X 中的Isn-闭集。现在令Y=A∪｛x｝，那么A 不是Y 中的闭集。但是通过假设，Y 是I-领域空间。因此存在序列｛xn｝⊂A 满足。同理，若X 的每个子空间是Isn-序列空间，那么很容易知道X 是一个Isn-Fréchet-Urysohn 空间。

定理8 假设X 和Y 都是拓扑空间并且f：X→Y 是一个映射，那么下述结论成立：

（1）令X 是一个Isn-序列空间，如果f 是一个连续的商映射，那么f 是一个Isn-商映射并且Y 是一个Isn-序列空间；

（2）令Y 是一个Isn-序列空间，如果f 是Isn-商映射，那么f 是一个商映射。

证明（1）令X 是一个Isn-序列空间，并且f 是一个商映射，假设f-1（U）是X 中的一个Isn-开集，容易知道f-1（U）也是X 中的一个开集，所以U 是Y 中的一个开集，U 是Y 中的一个Isn-开集。假设U 是Y 中的一个Isn-开集，因为f 是一个连续映射，所以由文献［6］可知f 是保持I-收敛映射。在X 中任意取一个序列｛xn：n∈N｝⊆X 满足∈f-1（U）。因为f 是保持I-收敛映射，所以有∈U。因为U 是Y 中的一个Isn-开集，所以根据文献［23］，有｛n∈N：f（xn）∉U｝∈I 成立，很容易得到｛n∈N：xn∉f-1（U）｝∈I 也成立。因此f-1（U）也是X 中的一个Isn-开集，所以f 是一个Isn-商映射。

假设U⊆Y 并且满足U 是Y 中的一个Isn-开集，因为f 是一个Isn-商映射，所以f-1（U）是X 的一个Isn-开集。因为X 是一个Isn-序列空间，所以f-1（U）是X 中的一个开集。又因为f 是一个连续的商映射，所以U 是Y 中的一个开集，那么可以知道Y 也是一个Isn-序列空间。

（2）令Y 是一个Isn-序列空间并且f 是Isn-商映射。如果f-1（U）是X 中的一个开集，那么f-1（U）是X 中的一个Isn-开集。因为f 是Isn-商映射，所以U 是Y 中的一个Isn-开集。在这里注意到Y 是一个Isn-序列空间，所以U 是Y 中的一个开集。反之，如果U 是Y 中的一个开集，那么U 是Y 中的一个Isn-开集。因为f 是Isn-商映射，所以f-1（U）是X 中的一个Isn-开集，因为X 是一个Isn-序列空间，所以f-1（U）是X 中的一个开集，因此f 是一个商映射。