基于GeoGebra曲线的图案设计及其应用

朱永慧,刘冬云,张 毅

(江南大学 设计学院,江苏 无锡 214122)

随着计算机科学技术的发展,越来越多的图案以数字化的形式展现。数字化图案准确、高效的生成特点为艺术设计者带来了全新的思维方式和设计途径。数字艺术图形可分为数学曲线、分形图形、动力系统图形、弱混沌图形等。目前国内外对于数字化的图案研究大多集中于分形理论、混沌理论等领域[1]。Neves等[2]从20世纪90年代开始研究分形图案的生成方法、应用的可能性与前景。张聿等[3-4]探讨了弱混沌与准规则斑图在织物中的设计方法。罗戎蕾等[1]对数学方法生成几何图案的设计进行了研究。丁玲聪等[5]对广义牛顿迭代图形在纹样中的应用进行了探讨。

艺术和几何学在表达的过程中促进了艺术创作和几何思维的发展[6]。数学和艺术是相通相融的,利用参数化方式生成图形在提供高效性、便捷性的同时,也为设计师进行设计因子生成和图案二次设计提供了新的思路。Geogebra是由International GeoGebra Institute(IGI)开发的用于绘图、构造、创建、拖动、分享的图形生成软件。GeoGebra相关主题的文献发表呈逐年增长态势,但研究方向侧重学科教学,研究应用倾向数学模型、物理模型的构建,鲜有将数学曲线应用于设计领域的研究。本文运用参数化、动态化的方法生成曲线图形,提取并重构图形因子,运用形状文法方式完成设计因子库的构建和图形的二次设计,以期在提高图案设计效率的同时,为设计者提供更广的设计思路。

1 GeoGebra软件生成图形

运用GeoGebra软件生成的曲线称为GeoGebra曲线。数学曲线是变化无穷的,通过调节GeoGebra中数学模型的参数值,查看曲线的动态变化,从无限变换的GeoGebra曲线中筛选出符合图案设计原则、形式美法则的曲线图形,快速、清晰地提取图形并应用到后续设计因子库搭建、因子重构、图案再设计中。调节数学模型中的参数值可将GeoGebra曲线进行无限种变换,其变化无穷性可为图案设计者带来更多设计思路和设计多样性。

1.1 图形生成原理

输入曲线表达式生成GeoGebra曲线,通过改变曲线表达式中的可变参数值改变图形的形状,判断该图形是否满足“形式美法则”这一判定条件,如为“是”则建立原始图形因子库,如为“否”则继续改变参数值进行筛选,生成设计因子的程序流程图见图1。

图1 生成设计因子的程序流程图

通过表达式生成大量曲线图形,筛选出符合形式美法则的图形进行因子库构建,生成图形以几何形式表现。几何图形是由直线、曲线、圆形、三角形、方形、菱形等不同数学线形组成的规则或不规则的几何形体形成的有装饰作用的图案[7]。几何图形多以折线、曲线、圆、n边形等为构成要素,是起源最早的图案类别之一。在图形因子库中,可将几何图形具象化为自然图形,如树形、花形、叶形、漩涡形等,可拓宽图形来源,丰富图形表现形式。

1.2 图形的动态生成实验

运用GeoGebra软件进行图形实验,具体的动态生成实验过程以追逐曲线为案例进行说明。

假设正n边形的n个动点分别位于n个顶点上,每个动点从顶点出发开始追逐相邻动点,每个动点的追逐过程可连成一条45°等角螺线,这一过程产生的曲线称为追逐曲线。3点追逐曲线图形变化过程见图2,L(line)为动态变化中曲线线段长度,通过改变迭代次数N(number)和迭代比例R(ratio),影响迭代后曲线的长度L′,导致图形中线的形状和排列方式发生变化,得到不同形态特征的曲线图形。当图形编号取1#、4#、5#时,生成的图形较为硬朗,通过折线将图形内部切割为块状,后续可通过色块的渐变和对比来进行图案设计;当图形编号取2#、3#、6#时,所生成的图形较为柔软,以弯曲的漩涡状线条为其主要特点,用二维的线条表达出了三维的效果,后续可通过化平面为立体的方式来进行图案设计。

图2 3点追逐曲线图形的变化过程

1.3 生成图形特征

1.3.1 均衡性

运用GeoGebra软件生成的图形具有均衡性,以4种著名的数学曲线加以说明。费马螺线的曲线由中心向四周不断环绕、内圈与外圈的距离由疏转密,可联想到太极图、水中涟漪等,给人以平衡、动感、饱满之感(见图3(a));斐波那契螺线和费马螺线具有一定相似性,斐波那契螺线按一定比例由中心向四周旋绕,可联想到自然界蜗牛壳、水波纹,给人以自由、活泼、动态之感(见图3(b));希尔伯特曲线由折线沿相互垂直的方向连续不断地延伸,形成类似迷宫的“工”字纹,给人以力量、均衡、规律之感(见图3(c));圆周n等分曲线是圆周上等分点连线形成的多变曲线,通过改变线段密度和图形形状来生成不同的曲线图形,给人以自然、充盈、变化之感(见图3(d))。

图3 4种均衡的曲线图形

1.3.2 对称性

运用GeoGebra软件生成的图形具有对称性。对称性是数学曲线的一个显著特征,其对称性可进一步分为上下对称、左右对称和中心对称(在坐标系中分别表现为图形关于x轴、y轴和原点对称)。数学图形与艺术图案具有共通性,对称性同样存在于形式美法则中。以4种著名的数学曲线加以说明,图4(a)(b)(d)的数学曲线均为上下左右对称图形,图4(c)为左右对称图形。从象形角度来讲,图4(a)(b)形似花朵,给人以清新自然之感;图4(c)为典型的毕达哥拉斯树,是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的图形[8],树叶部分由可以无限延伸的正方形构成,延伸方式是以正方形边长为镂空等腰三角形的斜边长度,以镂空等腰三角形的直角边长度来确定下一个正方形的边长长度,其延伸方向由已生成正方形控制,如此不断重复作图,重复数次后形似一棵几何形树;图4(d)形似层层延伸的楼梯,给人以立体、深邃、动态之感。

图4 4种对称的曲线图形

1.3.3 多样性

运用GeoGebra软件生成的图形具有多样性。图形形状包括曲线状、螺纹状、漩涡状、折线状等,排列方式以图形组合、逐层渐变、无限循环为主。图5所示图例1～10分别取自斐波那契螺线、费马螺线、希尔伯特曲线、三点追逐曲线、六点追逐曲线、玫瑰曲线、万花尺曲线、毕达哥拉斯勾股树、圆的n等分曲线。通过改变GeoGebra曲线的参数值可改变曲线图形,因参数值的无限性,故调节参数值可得到无限种图形。生成的图形可形象地看作漩涡状、树叶状、花朵状、树状、海星状等自然界图形,自然界图形的丰富性与生成图形的无穷性特点相同,共同构成了图形种类的多样性。

图5 软件生成的曲线图形

2 GeoGebra图形因子的提取与重构

对具备设计美学的生成图形进行设计因子提取与重构,将抽象的数学理论运用到实际设计应用中[9],进一步探究数学曲线应用于图案设计的创新性和可能性。

2.1 图形因子的提取

GeoGebra曲线的原始图形并非因子提取的最小单元,可按图形的构成方式划分为更小的提取单元。先通过观察法将GeoGebra曲线构成原始图形的整体与局部进行划分,以原始图形的子集分类、图形的形式美法则和图形的对称性、均衡性、闭合性作为提取标准进行因子提取,提取过程见表1,根据数学集合的子集性质可知,右侧因子A1、A2、A3均来自原始图A,图形因子的提取方式具有多样性。提取因子用于后续因子重构和构建设计因子库。

表1 图形因子的提取过程

从象形角度来看,A2形似花朵,B1形似爱心,B2形似月亮,C3形似银杏叶,这种因子的象形化表现衔接了曲线和图案之间由抽象到具象的转变,可为后续因子的重构提供不同的思路。

提取的设计因子形态各异、风格多变,但又有相似性,例如许多因子是对称的,绝大多数因子给人以均衡感。提取的图形因子来源于原始图例,却与原始图例的风格不尽相同,这一包含关系和变化方式说明单一或复杂的图形经过不同的艺术处理,可以形成千变万化的图案[10],这种千变万化的特点与数学图形变化的无穷性具有相似性,设计师可通过联想法将抽象的因子具象化,为图案带来更多创新性和可能性。

2.2 图形因子的重构

从原始图形库中提取图形因子,将形状文法的推演方式引入本文实验,对图形因子进行重构。形状文法[11-12]由George Stiny和James Gips提出,起初将其应用于绘画和雕塑创作中,后拓展到品牌设计和图形创新设计等领域。形状文法的基础推演规则包括置换、增减、缩放、镜像、复制、旋转、平移、微调[13]。先运用观察法,将因子的形态特征进行对比、归纳、梳理,从这些特征出发,运用形状文法的设计方法对不同特征的因子分别进行推演,通过简化、重复、化曲为直、化直为曲的方法对设计因子进行多种方式的重构。将抽象的因子具体化,完成图案的重构过程。图形因子的重构过程见表2。

表2 图形因子的重构过程

2.2.1 旋转渐变

单独图案是图案构成的基本单元,具有独立性和完整性,通过旋转渐变的方式实现单独图案的重构。B3经过旋转渐变得到B4,E2经过旋转渐变得到E4,B3和E2在形态上具有圆润饱满的特征,得到的重构图案形似由内向外、由中心向四周层层环绕的几何形花朵,与以往花朵图案不同之处在于,该重构图案由许多看似不相关的数学曲线闭合构成,在增强图案层次感、流动感、现代感的同时,也传达了数字化曲线之美。

2.2.2 镜像对称

通过镜像对称的方式实现连续图案的二方连续纹样重构。B2经过镜像对称得到B5,C3经过镜像对称得到C4。B2形态灵动,上下对称的构成方式给人以均衡感,重构图案B5有团团圆圆、丰腴饱满之态;C3形态秀丽,一端尖锐、一端圆润的构成方式给人以动态韵律感,重构图案C4为形似树叶状边饰,有简约自然、清新淡雅之态。同时,通过控制和调节对称方向、镜像对称轴,可将同一设计因子以同一种重构方式生成不同的二方连续纹样。多种重构图案的生成方式,将设计因子连续不断地向上下或左右进行延伸,得到形态各异、变化丰富的二方连续纹样。

2.2.3 旋转组合

通过旋转组合的方式实现连续图案的四方连续纹样重构。C1经过旋转组合得到C5,C2经过旋转组合得到C6,E1经过旋转组合得到E5。C1形态飘逸,通过重构形成闭合对称的类六棱星造型,将其无限延伸生成四方连续纹样。C2形态似旋转的楼梯,通过重构形成立体感强、形似相互穿梭流动的针织纤维状图案,可为设计立体化图案和面料改造提供思路。组合重构的方式可拓宽因子重构的思路。E1形态生动,在对E1进行旋转组合的同时将设计因子库中其他因子加入重构过程中,进行多因子组合重构,以此增加E5的丰富性、层次性、生动性。

将图形因子进行重构实验,可以生成单独图案和连续图案,如单独纹样、适合纹样、二方连续纹样、四方连续纹样。重构方法基于形状文法将抽象的因子具象化、将单一的因子整体化、将因子的某一特征放大化。在保留因子原有特色的基础上进行提取和重构,创建出新式纹样[14]。重构图案可以作为新的设计因子一并加入设计因子库中,即能直接作为设计的基本元素[15],也可以应用于后续的图案设计中,以完成图案设计的应用实践。

3 图案设计实践

重构图案作为设计因子,其构图完整,可直接应用于设计实践,也可进行多因子组合再设计。通过设计图案与实践造型的高度适配性来演绎重构图案在应用场景中的现代美感。

3.1 通勤配件设计

3.1.1 通勤配件方案设计

运用设计因子库中的C5进行图案设计实践,方案设计的灵感来源于上班族日常通勤场景。从女式通勤配件的角度出发,针对消费者日常通勤、工作、午休等场景中对于通勤配件的便捷性、舒适性等需求,将设计图案应用在系列通勤配件组合中,通过配件群组内产品的高关联性来丰富图案的应用场景和表现形式,达到消费者成套购买的设计目的。该系列产品的消费人群定位为有通勤配件需求的职场女性,年龄范围为25～45岁,该目标人群的典型特点是在箱包容量上有一定需求,同时需通过配件组合提升工作场景的舒适性。

通勤配件设计方案如图6所示,箱包在廓形上选择托特包的包体结构,该包体容量较大;将图案以四方连续的方式排列在箱包主体部分,增加韵律感和层次感,包带和包盖部分用纯色表现,增加整体的流畅感和和谐感。在其余通勤配件的表现上,通过调节印花图案大小来提升系列产品的整体性和变化性,丰富同一图案的不同表现力。

图6 通勤配件设计方案

3.1.2 通勤配件配色设计

在配色方案上,选取纯色系和彩色系2种配色方案,分别适用于不同的消费人群。纯色系适用于年龄稍长、穿搭较为简约沉稳的消费者;彩色系适用于年龄稍小、穿搭较为丰富多样的消费者。纯色系图案和系列产品设计效果图见图6(a);彩色系图案和系列产品设计效果图见图6(b)。根据配色原理的不同,纯色系配色使图案的应用更具整体性,通过不同位置颜色明度和纯度的变化以增加立体感;彩色系配色使图案的应用更具变化性,通过不同位置颜色搭配和冷暖的变化以增加明快感。

3.2 系列服装设计

3.2.1 系列服装方案设计

系列服装设计灵感来源于唐代团花纹样,运用设计因子进行团花纹样模拟造型,分析和对比唐代团花纹样与因子库中图形的相似性。图7为团花纹样的骨骼结构图,从结构上来看,团花纹样按照“米”字形的骨骼进行排列,以中心点向四周进行放射状构图,整体外观为圆形[16]。图8为设计因子按照团花纹样的骨骼结构进行图案主花型模拟设计。图9的图案模拟过程具体选取E4、B3、C3、A3、D2设计因子作为基本构成要素,通过增减、缩放、旋转、镜像、复制、平移等推演,进行要素重组,丰富曲线元素艺术表现形式[17]。图10为系列服装设计方案,将图案以印花的形式表现在现代服饰中,寓意“唐意新穿,团意呈祥”。

图7 团花纹样骨骼结构

图8 设计因子模拟的团花纹样

图9 图案模拟四方连续

图10 系列服装设计方案

3.2.2 系列服装配色设计

系列服装的配色选用唐代藻井纹样中具有代表性的黄、橘、绿、青,将颜色融入图案设计和服装设计中,丰富其表现形式。如图10所示,系列服装分别通过暖色黄、橘、红与冷色绿、青、蓝形成视觉对比和冲击,并且降低颜色饱和度来提高整体和谐度,使设计图案在系列服装的配色中得以体现又十分适配。

4 结束语

利用GeoGebra软件进行数学曲线的动态生成,提取和重构曲线图形,并将其应用于图案设计领域以证明GeoGebra曲线的艺术性。从图案设计原则和形式美法则2个方面,将计算机高效、动态生成的曲线图形进行图形分类和图形因子提取;基于形状文法对图形因子进行重构,构建设计因子库;实验证明重构图案可用于构建设计因子库,也可直接应用于图案设计实践。以数学曲线图形作为设计因子,设计出的图案符合人们的现代审美,具有一定的实用价值和经济价值。未来将进一步通过改变GeoGebra参数值,运用生成的数学曲线图形进行不同类别图案的模拟设计,研究更高效和多样的图案生成方法。