巧用拉密定理求解平衡问题

■河南省信阳市固始县高级中学第一中学 谢长中

求解共点力作用下平衡问题的常用方法有力的合成与分解法、正交分解法、相似三角形法、辅助圆法,以及正弦定理法和余弦定理法等。应用这些方法求解平衡问题的前提条件是在完成正确的受力分析后准确作出力的平行四边形或矢量三角形示意图,这对同学们作图能力的要求较高,求解过程也比较烦琐。若应用拉密定理求解共点力平衡问题,则只需作出受力分析图,根据力与夹角的数量关系列式求解即可,简便易行。下面举例说明,供同学们参考。

一、拉密定理的内容介绍

拉密定理的定义:当一个物体在三个共点力的作用下保持平衡时,其中任意一个力与另外两个力夹角的正弦的比值都相等。

图1

图2

二、拉密定理的具体应用

1.应用拉密定理求解三力平衡问题。

例1如图3所示,用细绳将一个重力mg=240 N 的水平圆筒悬吊并靠在墙壁上,细绳与墙壁间的夹角θ=30°,求墙壁和细绳对圆筒的作用力。

图3

图4

解析:选圆筒为研究对象,它受到重力mg、细绳的拉力T,墙壁的支持力N三个力的作用处于平衡状态,如图4 所示。根据拉密 定 理 得,解得T=160 3 N,N=80 3 N。

点评:本题是应用拉密定理求解三力平衡问题的典型案例,选圆筒为研究对象,作出受力分析示意图,确定力和角的对应数量关系,直接列式求解即可。

例2如图5 所示,一个半球形的碗放在桌面上,碗口水平,O点为球心,碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨过碗口,细线的两端分别系有质量为m1和m2的小球。当它们处于平衡状态时,质量为m1的小球和O点的连线与水平方向间的夹角α=60°。则两小球的质量之比为( )。

图5

图6

答案:A

点评:本题中两小球系在细线两端跨放在碗口两侧构成连接体,需要先采用隔离法进行受力分析,再利用拉密定理列式求解。

2.应用拉密定理求解四力平衡问题。

例3如图7所示,一质量m=2 kg的小球放在倾角α=30°的斜面AC和倾角β=60°的斜面BC之间,小球上端与天花板之间有一根原长l0=0.15 m 的弹簧,弹簧被压缩到了0.1 m,弹簧的劲度系数k=1 000 N/m,取重力加速度g=10 m/s2,求两斜面对小球的弹力。

图7

图8

点评:本题中小球受到的重力和弹簧的弹力方向相同,可以把这两个的合力视为一个力,先将四力平衡问题转化为三力平衡问题,再利用拉密定理列式求解。若物体受到的四个力都不共线,则可以先利用平行四边形定则把其中的某两个力合成为一个力,将四力平衡问题转化为三力平衡问题,再利用拉密定理列式求解。

3.应用拉密定理求解动态平衡问题。

例4如图9所示,轻绳ON的一端O固定,其中间某点M拴一质量为m的重物,用手拉住轻绳的另一端N。初始时,轻绳OM段竖直且MN段被拉直,OM段与MN段之间的夹角为α(α>90°)。现将重物向右上方缓慢拉起,并保持夹角α不变。在轻绳OM段由竖直被拉到水平的过程中,分析轻绳MN段中和OM段中张力的变化情况。

图9

图10

解析:选重物为研究对象,它受到重力mg、轻绳OM段的拉力FOM、轻绳MN段的拉力FMN三个力的作用处于动态平衡状态,如图10所示。根据拉密定理得,因为重物的重力mg和角α均为定值,所以上述比例式的比值不变,设其比值为k,则FMN=ksinβ,FOM=ksinγ。在轻绳OM段由竖直被拉到水平的过程中,角β从180°减小到90°,角γ从小于90°增加到大于90°,因此FMN逐渐增大,且当角β等于90°时,FMN最大;FOM先增大后减小,且当角γ等于90°时,FOM最大。

点评:本题若用图解法进行分析,则对画动态分析图的精确性要求较高,耗时较长。而先应用拉密定理得出力与角的数量关系,再根据三角函数的性质,就可以简便准确地完成判断。

1.如图11 所示,一个质量为m的圆柱体放置在两个倾角分别为α、β的斜面OA和OB之间,求两斜面对圆柱体的支持力。

图11

2.如图12 所示,轻绳AC和BC的A、B端 分 别固定在天花板上,结点C拴接另一段轻绳CD,轻绳CD的D端系一个小球。小球在竖直面内绕结点C来回摆动,在小球摆动的过程中,轻绳AC和BC与天花板间的夹角α=60°、β=30°保持不变。当轻绳AC与BC的拉力相等时,轻绳CD与竖直方向间的夹角为多少?

图12

3.如图13 所示,质量为m的小木块放在倾角为θ的固定斜面上,小木块与斜面间的动摩擦因数,现用力F拉小木块使之沿斜面向上匀速运动,当拉力F与斜面间的夹角α为多大时,拉力F有最小值?

图13

4.如图14 所示,倾角θ1=60°的光滑斜面OA固定在水平地面上,光滑挡板OB可绕转轴O在竖直平面内转动。现将一重力为G的圆球放在斜面与挡板之间,挡板与水平面间的夹角θ2=60°。若挡板从图示位置沿顺时针方向缓慢转动60°,则圆球对挡板的压力如何变化?

图14

2.θ=15°。

3.当α=30°时,拉力F取最小值,且Fmin=mgsin(θ+β)。

4.圆球对挡板的压力先减小后增大。