如何求最短运动时间

■上海师范大学附属中学 张燕飞

最短运动时间问题是力学习题中较为常见的问题,遇到此类问题应该如何处理呢?下面总结了几种常用方法,供同学们参考。

一、图像法

图像法能够直观、形象、简洁地展现两个物理量之间的关系,清晰地表达物理过程,正确地反映实验规律。利用图像法需要注意:(1)图像坐标,弄清图像反映了哪两个物理量之间的关系,明确图像坐标表示的物理量的单位;(2)图像的变化,根据图像的走向确定一个物理量随着另一个物理量变化的趋势;(3)图像的斜率,根据斜率的数学定义k=和物理概念的定义确定图像斜率的物理意义,如位移—时间图像(不论直线、曲线)的斜率,根据速度的定义式可知,图像上某一点的切线斜率等于这一时刻物体的瞬时速度,图像上两点连线的斜率表示这段时间内物体的平均速度;(4)截距,明确图像与横轴或纵轴交点坐标的物理意义,如在闭合电路中路端电压随电流的变化图像中,纵轴截距表示电源的电动势,横轴截距表示短路电流;(5)面积,明确图像与横轴(纵轴)所围图形的面积的物理意义,如F-t图像与横轴所围图形的面积S=Ft表示力F在时间t内的冲量;(6)交点,当同一个坐标系中有两个相交图像时,交点坐标表示两个过程中的共同的物理状态,如两个速度—时间图像的交点坐标表示在这一时刻两物体具有相同的速度,表示U=E-Ir和U=IR的两个U-I图像的交点坐标表示电阻为R的元件与电动势为E、内阻为r的电源构成闭合回路时的工作状态。

例1质点从甲地由静止出发到乙地停下,加速过程与减速过程的加速度大小均为1 m/s2,已知甲、乙两地相距100 m。求质点从甲地到乙地所用的最短时间。

解析:质点从甲地由静止出发到乙地停下,若想质点的运动时间最短,则需利用图像法分析质点的运动状态。作出质点的v-t图像如图1所示,观察图像可以发现,通过相同的路程(v-t图像与横轴所围图形的面积相同),质点先做匀加速运动后做匀减速运动,所用的时间最短。质点在加速过程与减速过程中的加速度大小相同,根据对称性可知,质点做匀加速运动和匀减速运动所用的时间均为,质点做匀加速运动产生的位移大小和做匀减速运动产生的位移大小相同,则x=,其中x=100 m,a=1 m/s2,解得t=20 s。

图1

图2

二、物理公式法

物理公式法是适用于大部分最短运动时间问题的求解方法。利用物理公式法需要注意:(1)过程分析,若没有最大速度限制,则物体直接以最大加速度做匀加速运动;若有最大速度限制,则需先以最大加速度做匀加速运动达到某个速度(小于或等于最大速度),再以此速度做匀速运动;若要求到达目的地时的速度为零,则还需要以最大加速度做匀

例2竖井中的升降机可将地下深处的矿石快速运送到地面。某一竖井的深度为104 m,升降机运行的最大速度为8 m/s,加速度大小不超过1 m/s2。假定升降机到井口时的速度为0,求将矿石从井底提升到井口所用的最短时间。

例3要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内先走完一段直道,再驶入一段半圆形的弯道,但摩托车在弯道上行驶时车速不能太快,以免因离心作用而偏出车道。求摩托车在直道上行驶所用的最短时间。有关数据如表1所示。

表1

启动加速度a1 4m/s____2制动加速度a2 8m/s___2直道最大速度v1 40m/s__弯道最大速度v2 20m/s___直道长度x 218m___

某同学的求解过程:要使摩托车在直道上行驶所用的时间最短,应使摩托车先由静止加速到直道最大速度v1=40 m/s,再减速到弯道最大速度v2=20 m/s,则,总时间t=t1+t2。

你认为这位同学的解法是否合理? 若合理,请完成计算;若不合理,请说明理由,并用你认为正确的方法算出结果。

解析:这位同学的解法不合理。因为按这位同学的解法得t1=10 s,t2=2.5 s,摩托车做匀加速运动产生的位移200 m,做匀减速运动产生的位移x2=,总位移x=x1+x2=275 m>218 m,说明摩托车不能加速至达到最大速度,否则摩托车在驶入弯道时的速度将不能降至v2,会使摩托车在弯道行驶时因速度太大而偏出车道。

三、数学极值法

例4给房屋设计屋顶时,把屋顶设计成斜面,把雨水沿屋顶滑下的运动理想化为小球沿光滑斜面滑下的情形,为了使雨水尽快地沿屋顶滑下,则斜面的倾角应设计成多大? 这样设计,雨水从屋顶滑到屋檐所用的时间为多少?

四、模型法

模型法是为了研究物理问题的方便,采取舍弃非本质因素而突出本质因素,通过抽象思维或形象思维,运用理想化、简单化和类比等方法,建立描述某一物体或某一物理过程的理想模型的方法。运用模型法需要注意:(1)熟知常见模型,如研究对象模型有质点、轻杆、轻绳、弹簧振子、单摆、理想气体、点电荷、理想电表、理想变压器、匀强电场、匀强磁场、点光源、光线、原子等,运动模型有匀速直线运动、匀变速直线运动、匀速圆周运动、平抛运动、自由落体运动、竖直上抛运动、简谐运动、简谐波、弹性碰撞等,问题模型有连接体模型、斜面模型、碰撞模型、人船模型、弹簧振子模型、等时圆模型等;(2)明确每个模型的基本原理,明确模型中包含的基本概念和基本规律,领悟应用模型的关键,能够根据题目的特点选择合适的模型,而不能凭主观臆想随意构建模型,也不能为了追求物理问题的简化而忽视了模型背后的理论依据;(3)明确需要解决的问题和研究对象,围绕研究对象寻找已知条件和未知条件,在审清题意后,能够将复杂的问题合理转化成简单的物理模型;(4)注意示意图的合理运用,能够利用示意图描述物理对象之间的相互关系,并借助于文字说明将已知条件表示清楚。

例5如图3 所示,AEC︵ 是一段半径为2 m 的光滑圆弧,弧长为8 cm,且和水平面AB相切于A点。一个可视为质点的物体分别从C点沿光滑斜面CDA、沿圆弧CEA︵,以及从圆弧中点E滑至A点所用的时间依次为t1、t2、t3,求物体在这三种情况下的最短运动时间。

图3

图4

上述四种方法都适用于求最值问题,希望同学们能够通过日常训练,熟练掌握不同方法的具体应用技巧,总结解题规律,做到举一反三。