实施大单元教学 彰显起始课功能——以“函数”起始课教学为例

⦿ 江苏省苏州市相城区教育发展中心 凌 健

1 背景

《义务教育数学课程标准(2022年版)》明确要求应整体把握教学内容,推进单元整体教学设计,注重教学内容的结构化.这就需要在教学中重视对教学内容的整体分析,帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系[1].在章始课的教学中,由于对大单元教学的认识不精准,目前出现了两大突出问题.一是很多教师非常注重知识体系的建构,但却容易忽视章始课内容学习的深度,导致学生对内容本身缺乏深刻的感悟.二是有的教师认为大单元教学视域下的章始课可以无限突破新授范围,更有甚者用一节课上完整章内容,面面俱到,没有控制好度.一堂好的章始课,必须要处理好这两方面的关系,让学生既能看清树木,又能俯视整片森林,同时又不额外增加学生负担.下面结合笔者的一节大市课改展示课苏科版“6.1函数”的教学加以说明.

2 教学过程

2.1 基于情境,发现变量

观看一段关于中国空间站、辽宁号航母和高铁的视频.

师:自然中,万事万物都是运动变化的,比如空间站的位置随时间的变化而变化等,通过数学思考可以知道,有些变量之间存在着变化关系.下面我们来看实例.

问题1复兴号高铁列车从苏州开往北京,在某个时段,保持350 km/h速度匀速行驶,在列车行驶的过程中,涉及到哪些量?在这些量中,哪些量是不变的?哪些量是不断变化的?

生:涉及路程、速度和时间.速度和总路程是不变的;时间、列车行驶的路程和列车距离终点的路程是不断变化的.

师:没有变化的量应该叫什么?可以取不同数值的量又叫什么呢?

生:没有变化的量叫常量;可以取不同数值的量叫变量.

师:列车行驶的路程和时间这两个变量之间有怎样的关系?

生:列车行驶的路程随着时间的变化而变化.

师:我们从实际情境中发现了变量,而且有些变量间存在关联,关联变量间有变化关系,有些问题中常常含有多个变量.今天我们来研究最简单的两个变量之间的关系.

教学说明:类比代数式和方程的学习,将从实际问题中抽象出已知量和未知量的经验迁移到学习函数的过程当中.学生从实际问题中抽象出常量和变量,进而发现问题当中常常含有多个变量,先从最简单的两个变量之间的关系开始研究.

2.2 研究变量,感悟关系

变式复兴号高铁列车从苏州开往北京,若保持350 km/h速度匀速行驶,行驶的时间为th,行驶的路程为skm.

填写表1:

表1

问题2观察表1,你能发现高铁行驶的时间和高铁行驶的路程这两个变量之间的关系吗?

追问:上一章我们学习了平面直角坐标系,你能在平面直角坐标系中描出这些点吗?

活动组织:学生通过描点,猜想两个变量构成的有序实数对对应的点可能在一直线上.

教师总结:可以通过列表、描点、连线画图,借助图象预测变化趋势.

问题3三峡水库蓄水总库容量为3.93×1010m3,某段时间内水位的高低与相应的蓄水量如表2所示,

表2

表2中有几个变量?它们之间有什么关系?

问题4如图1,搭一条小鱼需要8根火柴棒,每多搭一条小鱼就要增加6根火柴棒.请填表3.

图1

表3

在搭小鱼的过程中有哪几个变量?它们之间有什么关系?

教学说明:问题2由教师引导学生认识两个变量之间满足的三层关系,这里通过列表、描点和连线画出函数图象点到即止,不需要深入探究;问题3让学生自己感悟,尝试自主归纳和表达两个变量之间的三层关系;问题4再一次强化两个变量之间的三层关系,并能流畅地进行表达.同时,让学生感悟到可以用图表、解析式和图象等多种形式来描述两个变量之间的关系.

2.3 提取要义,抽象概念

观看视频《函数的由来》.

问题5了解了函数这个词的由来,你能给函数下个定义吗?什么叫函数?

教学说明:通过观看视频,引导学生给函数下定义.学生自主归纳函数的概念,讲得不够完整的地方,再由其他同学不断进行完善.这里的完善要做到三点.第一点,让学生说出在一个变化过程中两个变量之间满足的三层关系:①一个变量随着另一个变量的变化而变化;②当一个变量确定时,另一个变量也随之确定;③对于一个变量的每一个值,另一个变量都有唯一确定的值与它对应.第二点,让学生总结提炼,发现第③层包含第①②层的关系,在定义里只需要保留③即可.第三点,引导学生总结提炼,发现用字母x,y代替变量可以使陈述更为简洁.在这个过程中,教师不断地提问和追问,学生不断地思考和表达,最后水到渠成,函数的概念自然生成.在此过程中,加深学生对函数概念的理解,促进学生抽象能力的发展.

2.4 应用概念,解决问题

练习1把一根长20 cm的铁丝围成一个长方形.

(1)当长方形的宽为3 cm时,长为多少?

(2)当长方形的宽为4 cm时,长为多少?

(3)这个长方形的长是宽的函数吗?如果是,请写出函数关系式;如果不是,请说明理由.

练习2表4中的y是x的函数吗?为什么?

表4

练习3图2的四个图形中,表示y是x的函数的是( ).

图2

教学说明:学生先自主完成,再通过小组讨论,组内统一意见,每组推荐一名代表上讲台讲题展示.通过练习1,深化学生对概念的理解;通过练习2,再次强化学生对概念中“唯一对应”的理解;通过练习3,引导学生作x轴的垂线,发现只有选项C中所作垂线与图象只有一个交点,满足函数的定义.这个探究过程培养了学生的几何直观和创新意识.教师继续追问,你认为函数有哪些表示方法?学生通过前面的学习和三个练习的巩固,归纳出函数一般有列表法、图象法和解析法等多种表示方法.

问题6你能举出其他的函数实例吗?

追问:在C=2πR中,圆的周长C是半径R的函数,那么R是C的函数吗?在S=πR2(S>0)中,圆的面积S是半径R的函数,那么R是S的函数吗?

编题:学校准备开展种菜劳动项目,要围一个______的长方形菜地,这个长方形的长y是宽x的函数,请写出函数关系式.(横线部分不小心被黑墨水蘸了,请你添加一个条件使题目完整.)

师:接下来请大家把题目补充完整并解答.

生:受到前面练习题的启发,我添加了“周长是20 m”,此时解析式为y=-x+10.

师:很好.你还能创设一个新的条件吗?

生:面积为20 m2.

师:解析式是什么?

教学说明:通过添加适当的条件来编题,考查学生对知识的迁移能力和应用能力,培养应用意识和创新意识.

2.5 总结提炼,建构体系

问题7回忆一下,关于摆搭小鱼,你还解决过哪些问题?

在有理数中,我们解决了搭一条小鱼需几根火柴棒;在代数式中,解决了搭n条小鱼需几根火柴棒;在方程中,又解决了140根火柴棒能搭多少条小鱼;在不等式中,解决了用少于50根的火柴棒最多搭能多少条小鱼.

追问:方程、不等式和函数之间有什么关系?

分析：通过摆搭小鱼这一个情境,形成思维导图,如图3所示.

图3

将数与代数的整个知识进行串联,让学生回顾代数的学习历程:数—式—方程—不等式—函数.通过问题串的设计,在知识横向串联成线的基础上进一步纵向交织成网.学生感悟到数与式是后续学习方程、不等式和函数的基础,方程、不等式与函数之间存在着特殊与一般的关系,因此可以用研究方程和不等式的方法来研究函数.通过回顾方程和不等式的研究路径来猜想研究函数的一般路径是概念与表示—图象与性质—应用.

继续追问:观察黑板上的函数关系式,请按自变量的次数对它们进行分类和命名.

生:可分别命名为一次函数、二次函数和反比例函数.

教师:请大家谈谈本节课有哪些收获?

学生从知识、思想方法等层面加以总结,教师完善结构化板书(如图4).

图4

3 教学反思

3.1 大单元教学要注重教学和核心素养的关联

新课标指出,要注重教学与核心素养之间的关联.大单元教学视域下的教学目标可以分为单元整体教学目标和具体课时教学目标.考虑到核心素养在教学中的达成,函数主题的素养表现目标定为关注数学抽象、数学建模、直观想象和应用意识的形成和发展;本课时定为关注数学抽象能力和应用意识的发展.为了实现教学目标,进行了单元整体教学设计和教学内容的结构化.课堂教学通过课堂对话、追问和灵性思考,实现函数概念的自然生成,学习任务在生生互动、不断发现、健全认知和完善表达中完成,在问题变通过程中创新解决.函数概念的生成和表示方法的探索过程,发展了学生数学抽象能力、应用意识和创新意识.

3.2 大单元教学要以大概念为核心,使内容结构化

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出,要重视以学科大概念为核心,使课程内容结构化,以主题为引领,使课程内容情境化,促进学科核心素养的落实.显然,函数概念在函数主题中居于核心地位,因此将其确定为学科大概念.一次函数、反比例函数和二次函数等都是函数概念的下位概念.由此可以建立学习函数的一般路径,确定函数的研究方法,渗透数学思想,开展类比学习,形成知识体系、方法体系和思想体系,使得这些原先弧立的、零散的内容产生关联,变得有序,最终形成结构.结构化包括所学知识的结构化,研究方法的结构化和数学思想的结构化.在数与代数中,数和式是研究方程、不等式和函数的基础,方程和不等式又与函数存在着特殊与一般的关系,凸显了函数在数与代数学习领域的核心地位,揭示了学习内容的关联和结构.由此可见,大概念是大单元的灵魂,而大单元是大概念的骨架和血肉,结构化是二者的结晶.

3.3 大单元教学要以学习者为中心

新课标指出,学生的学习应是一个主动的过程.本节课通过独立思考、动手实践、自主探究、合作交流的方式学习,充分体现了学生的主体地位.大单元教学视域下的课堂始终以学生的发展为中心,在传授知识的同时,更提升了学生的智慧和能力.课堂沿着预设促进学生思考,在对话中开启学生智慧,在生成中推动学生发展[2],体现出以学习者为中心的理念,真正做到学科育人.

3.4 大单元教学做到深度和适度并重

新课标在课程实施的教学建议部分指出,要整体把握教学内容.在大单元教学视域下,既要做好教学内容的结构化,又要充分挖掘教学深度.本节函数起始课在初步建构知识体系的同时,对于起始课的内容也力求教得深刻,让学生经历观察、试验、猜测、推理、交流、反思、开放编题等活动,对函数概念形成深刻的感悟.学生通过探究数、式、方程、不等式与函数的特殊与一般关系,发现可以类比研究方程和不等式的思想方法和路径来研究函数[3],在形成系统思考的同时,通过类比,猜想函数的后续学习内容.本课教师引导学生对函数后续内容的猜想和探究,以点带面、点到即止,适度展开,只为完善结构体系,没有过于深入.最后形成结构化的板书是画龙点睛之笔,让知识之间的结构与关联可视化.