椭圆、双曲线焦点弦性质的推广及高考命题探源*

山东省实验中学东校 (250109) 张蕴禄

圆锥曲线的焦点与准线是圆锥曲线一对重要的点与线,圆锥曲线的许多精彩绝伦的性质很多是通过焦点、准线这个载体来演绎的.本文将探索椭圆、双曲线焦点弦的一个重要性质的推广,并围绕此性质进行高考命题探源.

1 椭圆、双曲线焦点弦性质的推广

椭圆、双曲线的焦点弦的性质非常丰富,下面的性质1是椭圆、双曲线焦点弦的一条重要性质.

图1

图2

定义椭圆、双曲线的准焦点、类准线

(-a

椭圆、双曲线的准焦点与类准线仍然保持了椭圆、双曲线焦点、准线的若干性质,其中性质1对于椭圆、双曲线准焦点与类准线仍然是成立的,即下面的性质2.

图3

图4

下面仅证明性质2(1),性质1、以及性质2(2)证法与此类似,限于篇幅、不再赘述.

圆锥曲线的准焦点和类准线本身就是圆锥曲线焦点、准线的推广,其实椭圆的准焦点和类准线还可以再进行推广.性质2中椭圆的准焦点在焦点轴上,再次推广后,椭圆的准焦点还可以在短轴上.

图5

2 高考命题探源

椭圆、双曲线的准焦点与类准线,是焦点、准线的推广,广受高考以及各类命题人员的青睐,许多的高考试题与椭圆、双曲线的准焦点和类准线有关.

图6

(1)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹;

(3)设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).

命题探源：其中的(3)就来自于椭圆的准焦点与类准线的性质.易知点T(9,m)是类准线x=9上一点,MN一定过x=9对应的准焦点(1,0).

(1)求E方程;(2)证明:直线CD过定点.

在2023年高考中,全国新高考Ⅱ卷再一次考到了准焦点与类准线问题,只不过这一次曲线载体由椭圆换成了双曲线.

3 经典解法

有关涉及椭圆、双曲线准焦点与类准线问题的解法有很多,下面以例3的(2)为例,给出解决此类问题的两种经典解法.

方法一：定比点差法

图7

方法二：交点系方程法

分析：交点系方程法也常称作曲线系方程法,此类问题运用交点系方程法可使思路清晰、过程简洁.

椭圆、双曲线的焦点、准线推广到了准焦点与类准线.事实上,椭圆、双曲线的准焦点、类准线还可以再进行推广,例如准焦点还可以在对称轴以外的其他位置,这就是圆锥曲线的极点、极线.也就是说圆锥曲线的性质是相互关联的,只有经历过一次次的拓展,才能厘清性质与性质之间的相互关系,才能达到对性质、结论的深度理解,才能任其题目千变万化,总能透过题目的表面现象看到题目背后的本质,正所谓“不畏浮云遮望眼,自缘身在最高层”.