一道圆锥曲线面积问题的解法与易错点探究*

扬州大学附属中学 (225000) 陈小璐

解析几何是历年高考重点内容,面积问题是常考题型,单选题、多选题、填空题、解答题均有考查,其设问形式多样,可以是已知面积关系探求基本运算、探求面积的定值问题、探求面积的最值问题等.在面积问题的运算过程中,学生不仅需要熟练掌握基本公式(例如弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积公式、多边形面积公式等),还需要选择合理的解题策略实现代数与几何之间的转化,同时面积问题常与其他知识交汇形成综合性较强的数学问题(例如探求面积的最值问题需要结合函数思想解题),因此面积问题是考查解析几何的一个很好的载体.本文以一道圆锥曲线中面积问题为例,阐述面积计算的常见方法以及易错点成因分析,供参考.

一、问题及其多解

分析：本题以椭圆为命题背景,围绕面积公式展开.条件中以一个基础问题即封闭图形的面积,结合菱形面积公式及点到直线距离公式探求出第一问中椭圆的标准方程,第二问探求ΔAMB的面积的取值范围,在求解策略上,通常分联立和不联立直线与圆锥曲线方程两个方向,由于联立方程的程序化,近年较多的题目设置是通过不联立方程求解[1].策略一通过设直线OA的斜率参数探求面积公式,策略二通过设椭圆的参数方程或直线的参数方程探求面积公式.在教学中教师应顺应学生的思维形成一题多解,从而培养学生的数学逻辑推理、数学运算等核心素养,内化数形结合、函数与方程等数学思想方法,提升对问题的整体把握能力.

图1

(2)策略一 设斜率参数,联立方程

图2

评析：通过设斜率参数,联立直线与椭圆方程是学生熟悉的方法,因此学生容易入手,此方法中易错点是忽略斜率不存在形式的讨论,难点一是计算出|AB|的弦长后,利用同构的方式直接表达出弦长|OM|,优化运算;难点二是构建出面积的函数关系后运用换元法求解面积的最值.

策略二 设点参数,不联立方程

图3

图4

评析：“参数法”是数学解题的一种重要方法,通过设参、消参、化简问题,促使问题得以解决,在应用参数解题时,有两点必须注意:一是新参数的取值范围是否与原变量一样;二是要注意参数的几何意义[2].解法1中就椭圆的参数方程而言,绝大多数学生只会用它来换元,忽略了椭圆参数方程中参数的几何意义,从而导致解题出错,解法2中应用直线的参数方程表达线段长度问题,从运算角度看,解法2优于解法1.

二、教学思考

1.面积求解的一般策略

求解析几何中多边形面积问题时,通常有以下解题策略:

① 特殊四边形的面积,例如平行四边形ABCD的面积,可直接转化为三角形面积;

② 面积的拆分:多边形有规则的图形和不规则的图形,计算多边形面积时,常通过拆分将问题转化到三角形、圆、特殊四边形中,通过求解各部分面积,再将各部分面积相加求出多边形面积;

③ 多个图形面积关系的转化:关键是“求同存异”,寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点,从而将面积的关系转化为线段的关系,使得运算简化.

2.面积的最值问题

面积的最值问题需灵活辅助函数思想解题,基本思路是:①首先利用公式探求出面积的表达式;②再构建函数模型,运用配方法、换元法、基本不等式、导数法等研究函数的图象与性质,得出面积的最值.

3.典型错误与成因分析

典型错误：若AB斜率存在且不为0时,设

图5

评析：纠错是提升教学有效性的重要手段之一,本文从学生的典型错误出发,回归教材,结合图形正确理解椭圆参数方程中参数φ的几何含义,对参数φ及OM的旋转角作深入辨析.

结语在高三复习课教学中,如何将种类繁多的问题化归为更为简单清晰的一类问题,形成一般性解决问题的方法一直是笔者在课堂教学中思考的重点.教学的目标不仅仅是教授学生解题的技巧,最终目标是让学生能够自己发现问题、提出问题、解决问题.通过一题多解以及易错点成因的辨析,强化概念,启迪思维,拓展学生思维的深度与广度,让高效学习真实发生.