泽纳基斯随机音乐中的数与乐探究

摘要：目的：文章探讨希腊裔法国作曲家泽纳基斯的随机音乐理论，特别是其作品中的数学思维与作曲技法的关联，以期为深入理解泽纳基斯的随机音乐提供具体解释和分类。方法：通过对泽纳基斯随机音乐的深入研究，将其分为三个主要组成部分——决定论、非决定论及中间者，并详细剖析每个部分蕴含的数学理论与音乐理论。决定论部分探讨泽纳基斯提出的筛选理论（the Sieve），该理论基于除法计算产生序列；非决定论部分则分析泽纳基斯如何将《概率论》中的思维与数学模型作为创作方法，特别关注马尔可夫链和布朗运动等概念在音乐中的应用。同时，结合泽纳基斯的个人背景、跨学科音乐艺术发展的目标以及国内关于泽纳基斯研究的现状，对随机音乐进行全面解析。结果：泽纳基斯的随机音乐不仅仅是基于音高的创新，更重要的是对音色的创新。他将数学计算法则与电子音乐、物理声学相结合，创造出独特的音色。泽纳基斯反对将音乐创作完全交给偶然性，而是运用概率论等数学模型来指导创作，使作品既具有随机性又不失控制。结论：泽纳基斯的随机音乐理论展现了他将数学、科技、哲学与音乐相结合的跨学科艺术追求。分析随机音乐的分类和具体技法，可以更好地理解泽纳基斯作品中数学思维与音乐理论的融合，以及他如何创造出前所未有的新音色。这能为进一步研究和欣赏泽纳基斯的随机音乐提供有益的参考。

关键词：泽纳基斯；随机音乐；决定论；非决定论；数学

中图分类号：J614 文献标识码：A 文章编号：1004-9436（2024）19-00-03

本文引用格式：付腾.泽纳基斯随机音乐中的数与乐探究［J］.艺术科技，2024，37（19）：-，31.

0 前言

希腊裔法国作曲家伊奥尼斯·泽纳基斯（Iannis Xenakis，1922—2001）活跃于20世纪60年代以后的西方音乐界［1］，他的音乐作品被冠以“随机音乐”之名，指“音乐在细节上不确定但向着一个明确的目标发展”，体现出音乐与数学之间的关系［2］。泽纳基斯不仅是一名作曲家，还是巴黎的一名建筑设计师。建筑学的内容是以数学为基础的，20世纪60年代以后的法国音乐经舍费尔和布莱兹等人发展，逐步形成与数学、科技相融合的局面。作为西方文明发源地的希腊人，泽纳基斯从古希腊哲学思想出发，将从事的建筑事业与作为基础的高等数学一并纳入音乐创作。泽纳基斯认为，音乐从古希腊至今一直与数学具有密切的联系，但作曲家们并没有将音乐中的数学提高到它本身具有的高度，他将在自己的随机音乐中用数学这个“小鬼”来吓一吓音乐领域的作曲家［3］。

从西方音乐的发展脉络来看，从毕达哥拉斯的弦长理论决定音程关系开始，到巴洛克时期用罗马数字表示通奏低音，再到20世纪的音级集合理论，泽纳基斯认为，这其中所运用的数学知识更多类似于用手指头数数的“数学”，而非基于抽象逻辑符号与计算公式的“数学”。将数学、科技、哲学与音乐相结合的跨学科发展目标正是布莱兹的IRCAM机构成立以后的宗旨，泽纳基斯作为法国跨学科音乐艺术发展中布莱兹的下一任代表，自然而然地揽过了这一面旗帜。

我国音乐研究者们鲜有全面系统的数学学习经历，虽然泽纳基斯在西方音乐界已被广泛研究，但国内音乐界即使意识到其具有重大的研究价值，仍望而却步。笔者作为土木工程本科学生，虽有四年工科和三年音乐专业学习经历，在面对作曲家本人的论文与著作时，也不一定能完全理解作曲家的叙述。泽纳基斯在自己的成果中给予后世学者们最大的研究困难在于，在用数学公式时较少告知符号的含义和指代的音乐对象，大多时候直接将符号贯穿于创作作品的实际操作中，让人难以捉摸，使研究泽纳基斯的西方学者们的成果宛如对作曲家著作和论文的注释。

基于泽纳基斯丰富的数学与音乐世界，笔者分类说明随机音乐的三个部分及其所蕴含的数学与音乐理论，将其作为笔者研究泽纳基斯的逻辑脉络，也对“随机音乐”这一宽泛的概念给予相对具体的解释，同时将其作为笔者现阶段研究的汇报成果。

1 随机音乐的三种分类

泽纳基斯在著作《形式化音乐》的序言中详细说明了自己作曲技术理论的三个部分，作曲家从古希腊哲学家们对原因与结果这一对事件的看法出发，提出音乐上的决定论、非决定论、中间者，作为划分随机音乐三个部分的名称［4-5］。这三个部分均具有各自适用的数学理论，决定论以序列化为特点，非决定论以马尔可夫链、布朗运动等为特点。

1.1 决定论

古希腊时期，毕达哥拉斯学派主张“任何事物都不能无因而生”，决定论（determinism）因此产生。这一观点统治西方几千年，直到19世纪统计学的诞生才颠覆了这一存在。泽纳基斯认为，无论是调性音乐还是序列主义音乐，均是决定论的体现。

面对调性音乐作品，首先要分析调性，然后才能写出主和弦、下属和弦与属和弦。从申克分析思维来看，调性音乐皆围绕这三个和弦形成，无论音乐如何变化，T、IV和V和弦的核心地位均不被动摇，它们既控制旋律进行的方式，又控制和弦进行。在和声写作中，作品结束时总是出现属和弦到主和弦的终止式，因为主和弦、下属和弦与属和弦的存在，所以整部作品围绕功能和弦展开，这是一种决定论的思维。在序列主义音乐中，作曲家需要将12个半音全部列举出来，某一个音的前后关系在作曲家写下序列时就被严格决定了，纵使作曲家运用移位、倒影等操作来改变原型固有的音高，但前后的音程关系并没有被改变。这些操作是表面的、外在的改变，而非内在的变化。表现主义代表人物勋伯格将原型与移位、倒影等操作采用复调思维结合起来，形成不同的线性陈述方式。同样是外在表现出旋律的多样性，由这一手法形成的作品，归根到底是围绕最初呈示的原型序列的，体现出决定论的思维。

泽纳基斯从反对序列主义音乐出发，提出了基于决定论思维的新的作曲技法：筛选理论（the Sieve）。1990年，泽纳基斯在其论文中首次提出这一理论的操作方法。这一方法基于除法计算而来，固定除法计算中的余数与除数，从0、1、2、3等自然数开始不断改变商值，得到一系列除数，将这些除数排列起来，再运用数学中的交集、并集等计算，得到序列。例如，固定除数为4，余数为3，先代入商为0时，被除数=除数×商+余数，即被除数=4×0+3=3；商为1时，被除数=4×1+3=7，以此类推，将得到一连串数字，然后设置不同的被除数和余数，再累计计算，又将得到一连串数字，将他们运用交集并集计算，就能得到所需的序列。作曲家按照需要，决定最小数字和单位数字1所代表的音高和音程关系，以得到音高，也可以据此得到节奏、力度等序列，以形成不同于整体序列主义或十二音序列的模式［6］。

但他为何要批判决定论后再创一个新的决定论的序列手法呢？从筛选理论的创作手法来看，作曲家设置的是音高形成的初试状态，只确定了多个不同的被除数和余数，经过交集和并集计算后，谁都无法提前预测结果，音高、音程、节奏、力度等关系是未知的，在经过一定小节以后，作曲家会改变除数和余数的数值，改变接下来的序列，直到作曲家用开头的音高序列呈现再现原则来结束整部作品。这样看来，与十二音原型序列和功能和声不同，筛选理论的决定论思维是根据小节数不断改变的，经过一定小节后，其主导作用的角色将不断改变，而在受到决定论约束的这部分小节中，各个音乐要素并不是在作曲家的严格控制下产生的，而是经过交集和并集计算后产生的随机结果，体现出决定论框架下的随机性。

1.2 非决定论

泽纳基斯认为，决定论思维不再适合当今世界音乐发展的脉络，取而代之的应是非决定论或偶然性（indeterminism，chance）。但泽纳基斯的偶然性思维不同于美国作曲家约翰·凯奇，他不愿意将音乐创作的权利交给骰子，认为让上帝来决定音乐创作是作曲家不负责任的表现。作为解决方案，泽纳基斯采用《概率论》学科中的思维作为形成作品的方法。非决定论思维并非完全与决定论思维相对，在调性和声的教科书上总能见到如此表达：导和弦（Vii）大多时候以第一转位出现，在四部和声的写作中，多重复三音，也可以重复五音；六级和弦（VI）在和声连接中，后多跟三级和弦（III），也可跟同功能组的IV、II级和弦；调性音乐以属到主和弦终止作为区分乐段等表述。“多”“可以”等表达本身就具有一定的概率性。在曲式结构中，属主终止来决定乐段的说法并不是100%的，如在奥地利作曲家贝多芬和舒伯特的奏鸣曲式作品中，更多时候是在属和弦、导七和弦甚至在一个延长音上结束一个乐段。

泽纳基斯如何运用非决定论思维作曲？他将《概率论》学科中的知识章节作为指导作曲的技术理论，不遗余力地在自己的著作中用150多页阐述概率论中的数学公式、原理等内容，使其占整部著作的1/3。其中运用了丰富的函数图像、公式等。在如此烦琐的数学公式和原理中，作曲家将作曲技法分为两类，一类是基于马尔可夫链的技法，另一类是基于计算机控制的随机算法。对于这两类技法，笔者用生活案例来解释，以便音乐领域的读者理解。基于计算机控制的算法中亦有分类，笔者在此仅举例作曲家在音乐中采用布朗运动的技巧。这两类中，马尔可夫链占据极为重要的地位，但作曲家运用的《概率论》知识并不止两种，他还综合运用泊松分布、正态分布等多种概率型。

第一，马尔可夫链。该统计学概念因1906年由俄罗斯数学家安德雷·马尔可夫（Andrey A Markov，1856—1922）提出而得名。马尔可夫链指对一系列事件而言，下一阶段即将发生的事情只与当下有关，而不与之前事件相关［7］。笔者以一个班同学们的成绩变化为例。

假定某年级共有学生300人，第一次考试后，得分在甲、乙、丙等级的学生人数均为100人；第二次考试后，得甲、乙、丙等级的人数为130人、130人和40人。通过询问，教师发现，第一次考试得甲级的学生中有50人在第二次考试中仍然是甲级，有40人变为乙级，有10人变为丙级；第一次得乙级的学生有40人提高为甲级，50人保持在乙级，还有10人下降为丙级；第一次得丙级的学生有40人升为甲级，40升为丙级，20人保持在丙级。由此便能够得出甲级保留自身的概率为50%，转移至乙级的概率为40%，转移至丙级的概率为10%；乙级转移至甲级的概率为40%，保留自身的概率为50%，转移至丙级的概率为10%；对丙级来说，三个比例分别为40%、40%和20%［8］。

在计算出这三个等级在第一和第二次考试的转移概率后，教师便能推测出第三次考试后三个等级的人数分布。甲级有133人，乙级有133人，丙级有34人。根据数据，教师们能为成绩会下降的学生提出建议。

泽纳基斯运用这一手法作曲时，设置了一个初始的音高、力度和节奏范围，根据自身喜好设置一个转移概率，这些不同的转移概率涉及音高、力度、节奏、音区等。例如，小字组演奏完成后转移至大字组的概率、Pianissimo力度后变为Forte力度的转移概率等。作曲家对音乐各个参数设置转移概率必将导致大量的数据和计算困难，这也是作曲家引入计算机计算的原因。

第二，布朗运动。布朗运动（Brownian Movements）既是统计学概念，也是物理学概念，指悬浮在液体或气体中分子小而混乱的运动，这些运动由它们与周围分子碰撞引起［9］。布朗运动因1827年由罗伯特·布朗（Robert Brown，1773—1858）发现而得名，这样的物理现象被泽纳基斯用在弦乐的滑音上。

布朗运动

图1

图1中，笔者展示了1971年泽纳基斯运用布朗运动创作的一部小提琴独奏作品MIKKA开头的一部分。谱例中最突出的特征是音与音之间的滑奏。值得注意的是，作曲家并不是在创作好音高后再添加滑奏标记，而是从第一个音开始，通过计算机随意取值，来决定下一个音滑到哪里。由计算机决定的数值有两个——滑奏线条的斜率和滑奏的方向，这两个数值都是通过概率手法来控制的。

如图1中的#c1音，它的滑奏方向是斜向上的，滑走符号与水平线间的夹角由斜率决定，随后在这一路径上选择一个长度，便能得到升高三四分音符的c3音，改变斜率、长度和方向中的任何一个均能够改变旋律进程。除此之外，泽纳基斯还综合运用决定论与非决定论的作曲技法，使之成为两级（bio-pole）之间的第三个部分，被称为GAMES。由于这一部分的内容是上述手法的综合，笔者不再赘述。

2 结语

1966年，泽纳基斯建立了EMAMu机构（l'Équipe de mathématique et automatique musicales），后于1972年改名为CEMAMu（Centre d'Études de mathématique et automatique musicales）。泽纳基斯致力于计算机音乐及相关研究，其中不乏运用电子音乐或信息技术理论中的傅里叶转换来产生新的声音。粗略来看，作曲家随机音乐的三个分类似乎是基于音高的创新，但从具体操作来看，他的音乐理念是扎根于音色的。在泽纳基斯的时代，正是具体音乐和电子音乐融合发展、相互促进的时代，其从建筑师身份出发，将在建筑中运用新材料、新结构的手法转移到音乐的新音色中，其目标并不是重建一个序列主义的围墙，而是将数学、电子音乐乃至物理声学相结合，创造出从未有过的新音色。泽纳基斯对音色的操作涉及声学与电子音乐的内容，这是笔者未来的研究方向。

了解随机音乐的分类，是明确研究方向的前提；剖析分类中的具体技法，是梳理数学知识的关键；对音色的创新，是泽纳基斯运用数学知识的目的。

参考文献：

［1］ 陈鸿铎.西方当代音乐创作研究：结构思维与当代走向［M］.北京：人民音乐出版社，2018：150-153.

［2］ 罗伯特·摩根.二十世纪音乐：现代欧美音乐风格史［M］.陈鸿铎，译.上海：上海音乐出版社，2014：412-414.

［3］ 迈克尔·扎普里特尼，伊奥尼斯·泽纳基斯.与泽纳基斯的谈话［J］.新音乐视角，1975，14（1）：86103.

［4］ 伊奥尼斯·泽纳基斯.随机音乐的起源［J］.节奏，1966（78）：9-12.

［5］ 伊奥尼斯·泽纳基斯.形式化音乐：作曲中的思维与数学［M］.纽约：彭德雷根出版社，1992：387.

［6］ 伊奥尼斯·泽纳基斯，约翰·拉亨.筛选理论［J］.新音乐视角，1990，28（1）：58-78.

［7］ 琳达·M.埃尔森纳特.泽纳基斯的《阿霍利普希斯》：矩阵游戏［J］.计算机音乐期刊，2002，26（1）：58-72.

［8］ 查尔斯·艾米斯.作为作曲模型的马尔可夫过程：一个调查与教程［J］.莱昂纳多，1989，22（2）：175-187.

［9］ 马克伊斯·所罗门斯.泽纳基斯器乐与电声音乐的统一：以布朗运动为例［J］.新音乐视角，2001，39（1）：244-254.

作者简介：付腾 （1995—） ，男，研究方向：西方音乐。