一题多解和一题多变：一道有关抛物线焦半径问题的探究

吴玉章 苗庆硕

课题信息：江苏省教育科学“十四五”规划普教重点课题“指向关键能力的高中数学主题单元式教学的实践研究”，课题编号为B/2021/02/34；江苏省教研室第十一期立项课题“差异教学在课程基地中应用的实践研究”，课题编号为2015JK11-LO42.

抛物线的焦半径问题是抛物线综合问题中的一类特殊类型，其可以联系起抛物线的定义（问题的本质）、几何性质（“数”的属性）与几何特征（“形”的特征）、焦半径公式（三角形式）等，“串联”起平面解析几何、平面几何、函数与方程、三角函数等众多相关知识，为问题的切入与解决提供较多的思维视角，给问题的解决提供更多的方案与技巧方法，是有效发散数学思维，考查学生“四基”、数学能力以及数学思想方法等方面比较有效的一个重要载体，备受各方关注.

1 问题呈现

问题  已知抛物线y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线交于A，B两点，若∠AFB=∠CFB，则|AF|=.

此题以抛物线为问题场景，通过设置过准线与x轴交点的直线l与抛物线交于两点，利用两个角相等来创设定交点问题，进而求解相应焦半径的长度.

涉及抛物线的焦半径问题，可以从解析几何的实质入手，利用解析几何思维来合理进行数学运算与分析处理；也可以从平面几何的图形入手，利用平面几何思维进行逻辑推理与分析处理；还可以从焦半径的公式入手，利用三角函数思维来合理数学运算、逻辑推理与综合应用等.不同思维视角的切入，都给问题的解决提供了切实可行的技巧与方法，实现问题的巧妙解决.

2 问题破解

2.1 解析几何思维

解法1：设线法.

依题意可得p=4，则F（2，0），C（－2，0）.

根据已知可得直线l的斜率存在且不为0，利用图形的对称性，不失一般性，设点A，B位于x轴的上方，如图1所示.

设直线l的方程为x=my－2，其中m>0.设A（x1，y1），B（x2，y2），y1>y2>0.

联立x=my－2，y2=8x，消去参数x并整理，可得

y2－8my+16=0.

利用韦达定理，可得y1+y2=8m，y1y2=16，则

|AB|=1+m2|y1－y2|=1+m2·64m2－64=8m4－1，|BC|=1+m2|y2|=1+m2·y2.

由抛物线的定义，可得

|AF|=x1+p2=my1－2+2=my1.

由于∠AFB=∠CFB，则FB是∠AFC的角平分线.

由三角形内角平分线定理，得|CF||AF|=|BC||AB|，即4my1=1+m2＼5y28m4－1.

整理并化简，可得my1y2=32m2－1，即16m=32m2－1，则m2=43，解得m=233.

所以y1+y2=8m=1633，又y1y2=16，解得y1=43，则|AF|=my1=233×43=8.

解后反思：设线法是借助解析几何思维处理问题的一种“通性通法”，成为解决直线与圆锥曲线位置关系问题时首选的一种基本方法.

2.2 平面几何思维

解法2：几何法.

依题意可得，p=4.

根据已知可得直线l的斜率存在且不为0，利用图形的对称性，不失一般性，设点A，B位于x轴的上方，如图2所示.

过点A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为D，E，延长EB交AF于点G.

由于EG∥CF，因此∠GBF=∠CFB，又∠AFB=∠CFB，所以∠AFB=∠GBF，可得|BG|=|FG|.

由∠AFB=∠CFB，则FB是∠AFC的角平分线，利用三角形内角平分线定理可得|AB||BC|=|AF||CF|.

结合抛物线的定义有|AD|=|AF|，可得|AB|·|CF|=|BC|·|AD|.由于EG∥CF∥DA，因此|BG||CF|=|AB||AC|，|BE||AD|=|BC||AC|.

所以有|BG|·|AC|=|BE|·|AC|，可得|BG|=|BE|，又结合抛物线的定义有|BE|=|BF|，故|BG|=|FG|=|BF|，即△BFG是正三角形，从而∠BFG=60°，可得∠AFx=60°.

利用抛物线的焦半径公式，可得|AF|=p1－cos =41－cos 60°=8.

解后反思：平面解析几何侧重“数”与“形”的结合与转化，借助代数思维中的数学运算来处理几何图形中的逻辑推理问题等，实现问题的突破与应用.

2.3 三角函数思维

解法3：性质法.

依题意可得，p=4.

根据已知可得直线l的斜率存在且不为0，利用图形的对称性，不失一般性，设点A，B位于x轴的上方，如图3所示，过点A，B作抛物线的准线的垂线，垂足分别为D，E.

设∠AFx=，其中为锐角.结合∠AFB=∠CFB，利用抛物线的焦半径公式可得|AF|=p1－cos =p2sin22，|BF|=p1－cos+π－2=p1+sin2.

由∠AFB=∠CFB知，FB是∠AFC的角平分线，则利用三角形内角平分线定理可得|CF||AF|=|BC||AB|.

结合比例性质，可得|CF||AF|+|CF|=|BC||AB|+|BC|=|BC||AC|.而由EB∥DA，可得|BE||AD|=|BC||AC|.

结合抛物线的定义有|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，即|BC||AC|=|BE||AD|=|BF||AF|，所以|CF||AF|+|CF|=|BF||AF|，即pp2sin22+p=p1+sin2p2sin22，整理可得sin2－2sin 22=0.

解得sin2=12，或sin2=0（舍去），结合为锐角，解得=60°.

所以|AF|=p1－cos =41－cos 60°=8.

解后反思：抛物线的焦半径三角公式|AF|=p1－cos （为直线AF的倾斜角），是解决与抛物线的焦半径相关问题常用的结论.借助三角函数思维，结合三角函数的相关知识来巧妙综合与应用.

3 变式拓展

3.1 同源变式

变式1  己知抛物线y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线交于A，B两点，若∠AFB=∠CFB，则|BF|=.

在此基础上，可以对问题进行一般化的归纳与总结.

结论：已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，准线与x轴交于点C，过点C的直线l与抛物线交于A，B两点，若∠AFB=∠CFB，则|AF|=2p，|BF|=2p3.

变式2  己知抛物线y2=8x的焦点为F，准线与x轴交于点C，过点C的直线l与抛物线交于A，B两点，若∠AFB=∠CFB，则|AB|=.

3.2 同阶变式

变式3  已知抛物线y2=8x的焦点为F，准线与x轴交于点C，过点C的直线l与抛物线交于A，B两点，若∠AFB=∠CFB，则直线AF的斜率为.

变式1，2，3的参考答案分别为：83，873，±3.

4 教学启示

此类涉及抛物线的焦半径问题，往往是多知识点交汇与融合的产物，这样的创设契合高考数学命题精神，而多知识点交汇也为问题的切入提供了更多的思维视角，给各层面的学生提供了更多的机会，从而更加有效地体现数学试题的选拔性与区分性.

在数学学习中，针对此类涉及圆锥曲线的焦半径问题，要深刻体会并加以系統学习，把握问题的实质与内涵，构建知识体系，理解技巧方法，形成解题习惯，培养数学品质.