悬浮隧道管体运动对锚索涡激振动的影响规律

干超杰, 桑松*, 石晓

(1.中国海洋大学工程学院, 青岛 266404; 2.青岛黄海学院智能制造学院, 青岛 266427)

悬浮隧道是一种连接两岸的跨海交通构筑物,其工作原理为利用隧道的重力浮力差为系泊锚索提供张紧力,使锚索处于绷紧状态。作为一种海洋新型交通结构物,其具有对原有海洋环境影响较小、管体单位长度经济成本相对固定等优点[1-3]。

Jin等[4]对700 m长的悬浮隧道管段进行了整体动力分析,以研究其在随机波浪和地震激励下的可靠性。Muhammad等[5]通过计算悬浮隧道在水动力和三维地震联合作用下的位移响应,对悬浮隧道的整体性能进行了校核。Lin 等[6]利用 Morison 方程计算水动力载荷,分析了波流耦合作用下 锚索式悬浮隧道的结构位移响应。Jin等[7]基于细长杆理论,建立了水中悬浮隧道水弹性运动方程,研究了极端波浪和地震激励联合作用下悬浮隧道的动力学特性。李勤熙等[8]和蒋树屏等[9]通实验研究了不同波浪条件下的悬浮隧道结构压强变化,并关注了结构在不同随机波作用下的响应特性。曾繁旭等[10]数值模拟了均匀流场中不同截面形状悬浮隧道的涡激运动特性; 李兵等[11]通过模型试验,探讨了拼装式隧道环向接头的结构变形和损伤模式;金瑞佳等[12]基于全局分析,发现在长周期波主导的海域,管体水平方向幅值会出现增大的现象;承宇等[13]提出了一种悬浮隧道结构体系耦合动力模型,具有计算效率快、精度高等优点;韦承贤等[14]分析了随机波浪下不同截面管体的运动响应,发现椭圆形截面的安全性能最差,矩形截面和八边形截面具有相似的运动响应。

以上大多数的研究都考虑了悬浮隧道的整体结构或是管体部分,对锚索部分研究较少。锚索作为一种海洋细长结构物,与立管等大长细比结构一定程度上具有相似的特性。高杰等[15]基于orcaflex软件验证了波浪方向对立管等海洋细长结构物有较大影响;覃荷瑛等[16]通过光纤光栅传感器对锚索进行受力监测,发现相较于锚固段,锚索自由段在一定长度内的轴力传递是较为均匀的;崔阳阳等[17]通过灰色理论的多参数试验,证明立管材料、海流流速及边界条件对漩涡脱落频率具有明显影响。

在锚索自身振动方面,阳帅等[18]将锚索结构简化为在平面上运动的Euler-Bernoulli梁模型,将管体运动简化为作用在锚索端部,沿锚索长度方向的简谐运动,通过谱的方法研究了地震载荷的影响;闫宏生等[19]针对悬浮隧道管体的运动特性,将管体简化为有刚度的质量块,约束质量块沿着锚索长度方向运动,以此建立相应的振动方程,并用应力应变关系建立与锚索振动方程之间的关系,进一步研究管体运动对锚索的影响;董满生等[20]针对锚索本身进行考虑,将管体运动对锚索的影响作为锚索应变进行考虑。Xu等[21]开展了锚索等柔性圆柱结构在倾斜布置时的涡激振动模型实验,并识别了水动力系数,揭示了倾斜角度对涡激振动的影响规律。在锚索自身振动的方面,中外学者对锚索振动都进行了研究,证明了管体沿锚索轴向方向的运动对锚索自身振动存在显著影响,但是根据管体实际的结构特性,是存在垂荡和横荡两个方向的运动的,仅考虑单一方向的管体运动,对锚索自身振动的研究是不够严谨的,因此有必要验证管体横荡运动对锚索自身振动存在影响。

现将管体垂荡运动和横荡运动简化为两个自由度的质点运动,假设锚索两端为铰接的非线性梁结构,考虑悬浮隧道整体结构是处在均匀流的环境中,初步研究参数激励对锚索结构顺流向涡激振动的影响。

1 运动方程的建立及求解

1.1 锚索振动方程的建立

悬浮隧道的锚索形式众多,为了更为直观地体现管体两个自由度运动对锚索运动的影响,本文研究选用的悬浮隧道锚索为垂直布索的锚索形式[10],图1设定了悬浮隧道管体的坐标系,沿x方向定义为纵荡,沿y方向定义为横荡,沿z方向定义为垂荡。

图1 悬浮隧道结构模型Fig.1 The structure model of submerged floating tunnel

管体的横荡运动和纵荡运动作为锚索的参数激励施加于锚索的上部端点,通过端部激励的形式进行体现。将锚索下部端点设置为坐标原点,沿锚索轴向方向设为x轴,沿海流方向设为y轴,以此设立锚索的振动模型,如图2所示。锚索上某一点沿x轴方向和y轴方向的时程位移函数可以分别表示为u(x,t)和v(x,t),其中x表示该点距离锚索底部的距离,t表示时间。将悬浮隧道管体运动简化为作用在锚索上部端点的质点运动,假设x轴方向的质点运动函数为H(t),y轴方向的质点运动函数为S(t),海流流速用Vc表示。

图2 锚索的振动模型Fig.2 The vibration model of the cables

基于Hamilton原理和Kirchhoff假设,可以推导得到悬浮隧道锚索的控制方程[22]。

Hamilton原理的基本公式为

(1)

式中:PE为结构的势能;KE为结构的动能;W为结构的外力虚功;δ为变分函数;ti和tf分别为起始时间和结束时间。

锚索的势能为

(2)

动能为

(3)

外力虚功为

(4)

可得悬浮隧道锚索的振动控制方程为

(5)

(6)

锚索x方向的外部激励主要为重力和浮力,y方向上的外部激励主要为海流作用下产生的顺流向涡激力和锚索振动产生的水动力。当锁频发生时,单位长度的脉动拖曳力可以近似表示为泄涡脱落频率的简谐函数;锚索振动产生的水动阻尼力和附加质量力,可以用Morison方程表示,因此锚索的外部激励可以表示为

fx(x,t)=ρAg-mg

(7)

(8)

式中:ρ为海水密度;g为重力加速度;D为锚索直径;C′D为脉动拖曳力系数;CD为阻力系数;Cm为质量系数;Vc为海水流速;ωs为泄涡脱落频率;sgn为提取参数正负号的函数。

1.2 边界条件的确定和方程求解

将管体运动简化为质点运动,同时假设锚索是两端铰接的非线性梁结构[23],可以得到锚索的边界条件为

(9)

(10)

(11)

式中:u(0,t)和v(0,t)为锚索底端在x轴方向和y轴方向的位移时程函数;u(L,t)和v(L,t)为锚索顶端在x轴方向和y轴方向的位移时程函数;v″(0,t)和v″(L,t)为锚索底端和顶端在y轴方向上的加速度时程函数;uti为起始时间锚索x方向的位移,当ti为初始时刻时,该位移为锚索在初始静张力的作用下产生的伸长量,即uti=TL/EA;H(t)和S(t)为管体垂荡和横荡运动在锚索上部端点的位移变化函数,为便于研究将其假设为简谐波的形式。以上参数可以分别表示为

(12)

式(12)中:T为锚索的初始静张力;U和V分别为管体垂荡运动的幅值和横荡运动幅值;ωu和ωv为管体垂荡运动和横荡运动输入频率。

根据Galerkin方法,锚索的振动模型为

(13)

(14)

式中:n为模态阶数。

整理可得最终的悬浮隧道锚索各阶模态的运动控制方程为

(15)

(16)

为了使方程更为简洁,使用参数代替了方程中的部分公式,这些参数分别表示为

(17)

(18)

(19)

(20)

1.3 经典模型的验证

为了验证本文推导模型的可靠性,选用目前悬浮隧道领域广泛使用的锚索经典理论模型[1,18-20,24]进行对比验证。

选取剪切流作为主要外载荷,流速随水深变化的表达式为Vc=0.012 3+0.005 1x,其中x为水中任意一点到海底的距离,同时假设锚索的泄涡脱落频率与其一阶固有频率相同,忽略由于流速所导致的泄涡频率差异,其余相关参数如表1所示[24]。

通过两种模型分别计算不同管体垂荡频率下,悬浮隧道锚索跨中位移的一阶模态响应,计算结果如图3所示。两种模型计算得到的位移响应周期是保持一致的,在振幅上略有差别,这可能是因为新模型考虑了锚索轴向运动所导致的。

图3 锚索跨中位移一阶模态对比图Fig.3 Comparison of first-order modes of mid-span displacement of cable

本文推导得到的锚索双向模型与锚索的经典理论模型的计算结果有较好的一致性,表明使用锚索双向模型计算得到的悬浮隧道锚索运动响应,具有一定的准确性。

2 数值分析

2.1 典型悬浮隧道的结构参数

目前全球范围内还没有已经建成的悬浮隧道,因此案例计算中的相关参数是参考国外拟建的悬浮隧道设定的,具体物理参数如表2所示。

表2 数值计算实例的基本参数Table 2 The parameters of the submerged floating tunnel

根据表1的数据,在忽略管体运动时,当海流速度Vc=0.88 m/s时,锚索的顺流向涡激振动达到锁频状态,因此选取该海流速度的均匀流作为悬浮隧道锚索的海流载荷参数。

管体垂荡运动对锚索涡激振动的影响是显著的,而管体横荡运动和锚索顺流向涡激力的方向是一致的,可能会对锚索的顺流向涡激振动产生显著影响。V和U是管体横荡和垂荡运动的振幅,表示参数激励输入的程度,对比不同管体截面形式的垂直布索式悬浮隧道锚索运动响应的研究,V取值一般不超过5 m[25]。

假定U=0.05 m、V=0.2 m,选取垂荡运动为锚索一阶固有频率的1倍,以及低频状态下的横荡运动,即ωu=ωg,ωv=0.2ωg。如图4所示,为给定参数激励输入的情况下前三阶模态的位移响应,其中一阶模态位移的振幅约为0.101 4 m,二阶模态位移的振幅约为0.003 8 m,三阶模态位移的振幅为0.000 9 m。相比一阶模态位移的振幅,二阶和三阶模态位移的振幅是一个极小的量,即在锚索的位移响应中,一阶模态占据了主导地位,因此在后续的研究中主要考虑一阶模态的影响。

ωu=ωg;ωv=0.2ωg;U=0.05 m;V=0.2 m

在顺流向涡激力的影响下,锚索的位移响应会偏离其本身的平衡位置,图4中各阶模态的位移响应均有一定程度的偏离,因此选取锚索稳定振动后的某个时间段,以最大值和最小值的差值作为评判锚索振动情况的参数,称作振动幅值,用Avi表示。

2.2 管体输入频率的影响

管体垂荡运动和横荡运动对锚索顺流向涡激振动的影响具有不同的特性,且两者之间可能存在相互作用。在低频横荡运动时,随管体垂荡输入频率逐渐增加,振动幅值随之发生变化。在ωu/ωg=2时出现明显的峰值,即垂荡运动对锚索顺流向涡激振动的影响在输入频率为一阶固有频率2倍的时候出现共振现象,如图5和图6表示。

ωv=0.2ωg;U=0.05 m;V=0.2 m

ωu=2ωg;ωv=0.2ωg;U=0.05 m;V=0.2 m

当ωu/ωg=1时,其振动幅值是仅次于2倍固有频率情况下的第二峰值,但是其数值仅略大于其他垂荡频率,且与第一峰值差距极大,同时对比图3(a)和图5可以发现在1倍固有频率时,一阶模态位移响应出现了的“拍”现象,而2倍固有频率时却没有出现这样的情况。

选取致使锚索一阶振动幅值出现峰值的两个垂荡频率值,分析给定垂荡运动下,横荡频率对顺流向涡激振动的影响。

如图7所示,当ωu/ωg=1时,横荡频率的改变使得锚索振动幅值出现了明显增大的现象,其中振动幅值在横荡频率为1倍或2倍一阶固有频率时出现突变,且在1倍固有频率下突变更为明显。

U=0.05 m;V=0.2 m

当ωu/ωg=2时,横荡频率的改变对振动幅值的影响相对于ωu/ωg=1时,变化较小,基本稳定在3.2～4 m,区别于ωu/ωg=1时的双峰值,在ωu/ωg=2时,横荡频率为1倍固有频率时出现峰值,在2倍固有频率时出现谷值。

横荡运动和垂荡运动对锚索顺流向涡激振动的影响存在一定的相互作用,这种相互作用大多是情况下是一种联合作用,在ωv/ωg=1时刻会出现明显振动幅值的显著增加。但少部分时候也会出现相互抑制的现象,在ωu/ωg=2,ωv/ωg=2时,横荡运动和垂荡运动相互抑制现象最为明显。

管体横荡运动会影响锚索涡激振动进入稳定状态的时间,如图6与图8所示,在ωv/ωg=1时,锚索一阶振动响应进入稳定状态的所需的时间是最少的,在ωv/ωg=2时刻,锚索一阶振动响应也会更快进入稳定状态,但在达到稳定之前出现明显紊乱的现象。

U=0.05 m;V=0.2 m

2.3 管体运动振幅的影响

管体运动幅值的变化对锚索顺流向涡激振动的影响是显著的。随着管体垂荡运动振幅的增加,锚索一阶模态振动幅值整体呈现增加的趋势,在不同的垂荡频率下呈现不同的增长速度。

在垂荡频率为1倍固有频率时,垂荡振幅U的变化对锚索振动幅值的影响,明显小于2倍固有频率情况,其中若垂荡频率一致,横荡频率为2倍固有频率时,锚索振动幅值的增长略大于1倍固有频率的情况,如图9所示。

图9 一阶模态幅值随U值的变化曲线(V=0.2 m)Fig.9 The curve of first order mode amplitude withU (V=0.2 m)

如图10所示,管体垂荡运动的振幅的增加,对锚索振动进入稳定状态所需要的时间有一定的加快作用,但并不明显;锚索振动的偏离平衡位置的程度随着垂荡振幅的增加呈现增大的趋势,在某些输入频率下有明显的体现;锚索振动的频率不随垂荡振幅的改变发生变化,在达到稳定振动状态后,振动周期保持一致,仅改变振幅。

图10 一阶模态幅值位移时程曲线(V=0.2 m)Fig.10 Displacement time history curve of the first order mode(V=0.2 m)

图11 一阶模态幅值随V的变化曲线(U=0.05 m)Fig.11 The curve of first order mode amplitude withV (U=0.05 m)

随着管体横荡运动振幅的增加,锚索一阶模态振动幅值在多数情况下呈现增加的趋势,在不同的垂荡频率下呈现不同的增长速度。在管体横荡频率为1倍固有频率时,横荡振幅V的变化对锚索振动幅值的增加,明显大于2倍固有频率情况;在ωu/ωg=2,ωv/ωg=2时,横荡振幅的增加会使锚索振动幅值整体呈现减少的态势,但减少幅度不大,如图10所示。

图12(a)和图12(b)是忽略管体横荡运动时,两个不同垂荡输入频率下,锚索振动时程曲线,在垂荡频率为1倍固有频率时,锚索振动在60 s内也没有进入稳定状态,在2倍频率时,锚索振动在大约30 s的时间内进入稳定状态。对比图12(c)和图12(d),在考虑管体横荡运动的情况下,锚索振动均在10 s内达到稳定状态,但横荡位移的增加并没有缩短锚索振动进入稳定状态的时间,仅改变了锚索振幅,对于振动周期和平衡位置的偏离程度几乎没有影响。

图12 一阶模态幅值位移时程曲线(U=0.05 m)Fig.12 Displacement time history curve of the first order mode(U=0.05 m)

3 结论

(1)对锚索前三阶的模态振动进行研究,发现一阶模态振动振幅占锚索振幅的主体地位,二阶、三阶模态的振幅相比而言可以忽略不计。

(2)管体垂荡频率为一阶固有频率2倍时会引起锚索共振,出现振动幅值的大幅增加;横荡频率为一阶固有频率1倍时也会产生共振现象。在锚索发生共振时,锚索在稳定振动时会呈现短周期大振幅的特点,不会出现“拍”的现象。同时在垂荡运动和横荡运动的联合作用下,锚索振动幅值基本呈现增加的趋势,大于任意单一管体运动下的锚索振动幅值。但也存在两种运动相互抑制的情况,在垂荡频率和横荡频率均为一阶固有频率2倍时,锚索振动幅值会略小于单一垂荡运动影响下的锚索振动幅值。

(3)管体垂荡运动振幅的增加会使锚索振动幅值呈现增加的趋势,略微减少锚索进入稳定振动的时间,在某些垂荡频率下会明显影响锚索偏离平衡位置的程度,但不改变锚索振动周期;横荡振幅的增加在多数情况下会使锚索振动幅值呈现明增加的趋势,但不改变锚索振动周期和偏离平衡位置的程度,同时横荡运动本身会明显减少锚索进入稳定振动的时间,而与横荡振幅大小无关。

(4)本文的讨论重点放在锚索发生共振的各种工况下,对于非共振的情况研究较少;同时将管体简化为做简谐运动的质点与实际情况存在较大差距,可以进一步改进。