深度研读教材，精准表达数学概念——以“比”和“比例”的理解为例

江苏省泰兴师范附属小学教育集团东阳分校 赵小进

当我们把课堂教学目标的实现更多地聚集于学的行为时，显然，对教的行为提出了更为严苛的要求，学的自觉更多地要求教的主体性的自觉与自省，深度地学对深度地教提出了更高的要求。如何把更多的时间让给学生自觉地思维与表达，是对教师综合能力的挑战。课堂教学中，师生协同、生生协同生长成为当下社会高度关注与研究的问题。协同学习的基本前提是教师与教材的协同，教师对教材的认知深度影响着教学目标的确定，影响着课堂中问题情境的创设。在实践中，我们认为，鲜明的教学主题与清晰的数学言语，更能唤起学生学的激情和探究的欲望。

一、问题提出

教材是课堂中教师教学信息传递的重要来源，是“他者知识”和众多学者专家智慧的结晶。研读教材的深度是课堂教学质量高低的基本保证，读细、读活、读透教材也是教师的基本功之一。

“双周一研”是笔者所在学校教师专业成长的重要平台之一，研讨课之后的“教研沙龙”也是教研组思维碰撞的高光时刻。在一次研讨活动中，六年级教研组对一位青年教师执教“图形的放大与缩小”一课的现场进行了讨论。一位教师对例题中的描述产生了疑问：“教材例题描述‘把左边的三角形按比例缩小后得到右边的三角形’，题中‘按比例缩小’是不是应为‘按比缩小’？类似地，是‘按比例分配’还是‘按比分配’？”

这一问题的提出，激起所有教师的热烈讨论。大家议论纷纷，各执一词。一直以来，大家对“比”和“比例”这两个概念的理解，都会聚焦于“比表示两个数相除，是描述两个量之间的关系”和“比例是等式”的概念描述，于是自然地会产生这样的疑问：“难道‘比’和‘比例’在另一个语境中会有同样的意义吗？”在讨论之后，笔者把教师们的想法归纳为两类：一类认为教材中既然有了“按比例分配”这样的表达，就说明“比”和“比例”这两个概念在特定的认知阶段（小学阶段）或特定的语境中是可以理解为相通的；另一类认为数学概念虽然有数学表达和生活表达两种不同的形式，“比”和“比例”这两个概念有联系但是具有不同的内涵，不可混为一谈。为此，笔者进行了相关资料的查阅学习。

二、资料查阅

为了对“比”和“比例”这两个数学概念有更清晰的认识，笔者对不同版本教材的相关内容进行了整理、比较。（见表1）

从表1中所罗列的关于“比”和“比例”这两个概念的描述中，我们可以看出，不同版本教材中关于“比”和“比例”这两个概念的定义是一致的，都表述为“两个数的比表示两个数相除”和“表示两个比相等的式子叫作比例”。但在仔细解读不同版本教材的内容时，我们发现苏教版教材六年级上、下册都出现了“按比例分配”的表述，而另外两种版本的教材均未出现“按比例分配”的相关表述。

与苏教版小学数学教材配套的六年级上册《教师教学用书》中指出“按比例分配的实际问题”教学要求，在教材说明板块指出“这部分内容主要教学应用比的意义和基本性质解答有关按比例分配的实际问题”。笔者认为，教师们对“比”还是“比例”的问题讨论，根源可能就在这里了。而问题产生的情境就是在苏教版数学六年级下册教材中，“图形的放大和缩小”一节中出现了两段表述：“放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是2 ：1，就是把原来的长方形按2 ：1的比放大”“把左边的三角形按比例缩小后得到右边的三角形”。同一知识点有两种不同的表述，我们可能会理解为，这两句表述似乎表明“比”和“比例”是同一个概念，是不是这样的呢？

笔者在阅读其余两个版本教材的相关内容时，均未发现有类似于“按比例分配”的表述。

关于“比”，史宁中教授在《小学数学教科书中的比及其教学》一文中进行了深度研究和具体描述，他指出，教学“比”这一概念时，要结合具体情境、举例说明，举出的例子要明确针对的是表达的比，还是度量的比，论证了比的本质是两个数量倍数关系的表达与度量。史宁中教授还指出了“比”与“比例”的关系：用两个比相等的式子来表示比例，蕴含了两个变量倍数关系的不变性。小学阶段学习“比”和“比例”，一是为了日常生活的需要，二是为学生今后学习函数做铺垫。因此，这些内容的教学应该让学生感悟变量，以及变量之间的关系。

潘小福老师认为，学生在学习中，容易出现比的数学化表达与生活化理解的辨别问题，即数学中的比与生活中的比的认识盲区。此时，教师需要借助具体实例来丰富其概念。

这样看来，“比”和“比例”作为数学概念有本质区别，且与生活有着紧密的联系。数学语言是有生活表达和数学表达两个层面的含义的，那么，“比”和“比例”在生活中是否有相似的意义呢？“按比分配”与“按比例分配”是否有其数学表达意义的一致性？

新课标对“比”和“比例”有这样的表述：在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题。由此，笔者以为教材中关于“按比例分配”的说法是有依据的。

数学语言作为数学思维的最佳载体，其特点是准确、严密、简明。因此，数学概念的教与学就成了数学课堂教学的难点之一。教材借助于数学语言以文字、符号和图形等多元形式呈现给师生，数学语言高度的抽象性、严密的逻辑性又会与小学生的认知现实产生不可避免的“碰撞”。那么，一线教师如何解释这些“碰撞现象”，或如何科学地利用这些“碰撞”，就显得尤为重要了。

三、解读感悟

教师与教材的协同，是课堂教学质量的重要保证。

教材内容是课堂教学设计的重要依据之一，教材内容的表达对教师的课堂问题的提出及问题的解决都具有指导性意义。教材也是一线教师组织教学活动的重要依据，数学概念的表述应保持稳定性和一致性，以尽量排除师生理解概念时的干扰。特别在小学阶段，学生的思维特点是从具象思维走向形象思维，在这一发展过程中，理解概念离不开具体的情境，也离不开对具有科学性的数学语言的理解依赖。事实上，学生对概念抽象的理解一定是建立在更多的具体情境之上的。基于前文的分析与考量，笔者认为，如果把“按比例分配”这一说法修改为“按比分配”可能更为贴切。原因有二，其一，学生学习“比”这一概念时，要避免具有相同意义的“比例”一词对学习产生干扰，在学习“比例”之前，可以统一用“比”这个概念来进行表述。作为常识的补充，因为生活中“比”和“比例”有时是同义的，教师可以列举生活中的例子作一个说明，如引导学生认识足球比赛中的“比”一样，比的含义不仅有表示两个数的相除关系，还有两个数量多少关系的表达。其二，严格意义上的数学概念的表述在不同学段应保持一致性。作为相通意义的“比”和“比例”，并不是严格的数学语言，而是实际生活中的约定俗成。笔者以为，作为数学表达的“比”和“比例”在教材中应有严格的区分，在例题或习题的文字描述中应是清晰的。教师在组织教学过程中，也应对“比”和“比例”在部分语境中的相通意义有具体的说明。

课堂实践证明，精准的数学语言表达会直接影响思维的质量。因此，作为教材，文本的描述应具有一致性和准确性；作为教师，研讨教材应更为深刻，应具有刨根问底的精神；作为教学过程，具体有效的学习情境要能让学生充分领悟生活与数学的关系。教师只有充分认识到教师与教材协同的意义，才能诠释课堂教学中教与学的协同价值。