2-RRR并联机构的运动学及工作空间分析*

吴 昊,姜运祥,汤赫男,赵忆文

(1.沈阳工业大学机械工程学院,沈阳 110870;2.中国科学院沈阳自动化研究所,沈阳 110016)

0 引言

并联机构是指具有一个或多个闭环运动链的机构[1]。该类机构因其具有承载能力强、刚度大、无累积误差、运动精度高、动态性能好等[2-4]优点,在工业应用上与串联机构形成了互补[5],因此近些年来在工业界和学术界都引起普遍关注。尤其是少自由度并联机构因其具有结构简单、机构紧凑、设计制作和控制成本较低、运动耦合性低等[6-8]特点,在当前研究阶段逐渐成为了一个研究热点。

少自由度并联机构[9-10]是指机构自由度少于6的并联机构。针对少自由度的并联机构,目前国内外许多专家学者已经进行了深入的研究,如TSAI[11]首次提出了驱动雅可比和约束雅可比的相关概念,并建立了一类3自由度并联机构的广义雅可比矩阵。方跃法等[12]针对3-RPS并联机构提出了该机构的显式数学模型。HUANG等[13]利用螺旋理论对 2T1R 型并联机构进行了型综合。吴存存等[14]提出了一种可实现3T1R运动的四自由度并联机构并给出了该机构位置解的封闭形式。陈修龙等[15]推导了4-UPS-RPU冗余驱动4自由度并联机构的动能、势能表达式和作用与并联机构非保守力的等效广义力,并应用拉格朗日法建立了机构的动力学模型。张伟中等[16]借助空间模型法对2-PUR-PSR并联机构进行尺度综合,获得了机构的性能分布图谱,确定了最优尺寸区域。曲海波等[17]通过互易积运算求解了4-RRS并联机构动平台的反螺旋力系,对4-RRS冗余球面并联机构进行了静力学与刚度分析。

目前,针对少自由度并联机构的研究多为三、四、五自由度的并联机构[18]为主,关于两自由度并联机构的研究还有所欠缺,该文章针对主从式医疗手术机器人的设计需求,提出了一种空间2-RRR型并联机构,基于螺旋理论对机构的自由度进行分析、通过封闭矢量法对机构的正逆运动学进行了推导,最后利用随机函数法对机构的工作空间进行了仿真求解,为该型并联机构在主从式手术机器人中的应用提供了理论依据。

1 机构设计与自由度分析

1.1 机构描述

本文提出的2-RRR型两自由度并联机构虚拟样机如图1所示,该并联机构由基座、动平台、支链Ⅰ、支链Ⅱ(两支链的运动副布置相同,且两支链的所有转动副轴线相交于一点,两支链与动平台连接的转动副转动中心在相同位置,支链Ⅰ、Ⅱ的连杆长度对应相等)组成。基座上对称设计了两个支链安装平台,该安装平台与基座上表面分别有45°和135°夹角,两支链第一段为L型连杆,L型连杆的短杆安装在基座的安装平台上,长杆末端与支链第二段连杆铰接在一起,两支链第二段连杆与动平台转动连接,且转动中心在同一位置。该机构具有所有转动关节轴线相交于一点;动平台轴线同时垂直于第二段连杆轴线的特点。这种运动副布置方式对于求解该并联机构的运动学正反解十分有利。

2-RRR型并联机构的机构简图如图2所示,其中基座与支链Ⅰ、Ⅱ铰接的R副位于同一高度且沿基座轴线对称分布,两R副为A1、B1;支链中两段连杆连接的R副为A2、B2;动平台与两支链铰接的R副为同一点C。初始位型下,各转动副位于同一平面。坐标系O到转动副A1之间沿X方向的距离为l,沿Y方向的距离为m,A1到C之间的距离为n,支链第二段短杆长度为a。

图2 2-RRR并联机构简图

机构处于初始位型时建立O-XYZ坐标系,坐标原点O位于定平台两转动副连线中点,Y轴垂直于定平台平面,X轴与两转动副连线共线,Z轴与X、Y两轴成右手系。初始位型下,两支链的空间位置以Y轴为对称轴分布。

1.2 自由度分析

基于螺旋理论对机构进行自由度分析。为使机构的螺旋系中尽可能多的产生0元素,以便于进行螺旋系的互易积运算,以如图3所示建立机构螺旋系的定坐标系。

图3 2-RRR并联机构运动螺旋图

该机构具有两个结构相同的RRR支链,在初始位型下两支链的运动螺旋系在基座坐标系O-XYZ中可表示为:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

根据SfΔSr=0,计算出机构的运动旋量系Sf。

(6)

通过分析Sf的特点,可确定机构具有2个自由度,分别为绕x轴转动的自由度和绕y轴转动的自由度。

采用修正的Grübler-Kutzbach准则对2-RRR并联机构进行自由度计算:

(7)

式中:K表示机构的自由度,d为机构的阶数,d=6-λ,λ为机构的公共约束,n表示机构中包括机架在内的构件数,g表示机构运动副数目,fi表示机构关节i具有的自由度,fa为局部自由度,f0为消极自由度,v表示机构的冗余约束。

由机构分支的约束旋量系阶数为3可知,机构中包个相同的约束力或约束力偶,因此机构的公共约束为3,即λ=3,因此机构的阶数d=6-λ=3,动平台与两支链铰接的转动副存在1个局部自由度,该机构不存在冗余约束,故v=0。

故应用修正的Grübler-Kutzbach准则可求得该并联机构自由度数为:

K=3(6-6-1)+6-1-0-0=2

(8)

2 位置分析

该并联机构两支链运动副完全相同,因此可按图4所示建立一侧支链关节坐标系以及动、静平台坐标系。静平台上基坐标系原点O1位于静平台上表面,X1轴平行于静平台上两转动副连线方向向右,Y1轴垂直于静平台上表面,Z1轴与X1、Y1轴成右手系;原点O2位于支链Ⅰ第一关节转动中心,Z2轴方向为关节轴线方向,X2轴方向为沿L型连杆短杆轴线方向,Y2轴与X2、Z2轴成右手系;坐标系O3-X3Y3Z3的初始姿态与O2-X2Y2Z2各轴线平行,原点O3位于Z2轴与定平台轴线交点处,也即各转动关节转动中心,X3轴方向固定在支链第二段连杆轴线方向。另一侧支链也以同样的规则建立坐标系,为使图幅简洁图4只显示支链Ⅰ的各坐标系与有关向量。

图4 机构运动学模型

2.1 位置正解分析

该并联机构具有运动过程中动平台轴线垂直于两支链第二段连杆的特点,易得到两支链第二段连杆轴向方向的向量P1、P2在基坐标系下的坐标,通过P1×P2即可确定动平台轴线方向向量Pd在空间中的位置坐标,该坐标与基座标轴线夹角的余弦值即是动平台Z轴的姿态坐标。

其中,P1为O3坐标系下Z轴方向向量,坐标为{a,0,0}。各坐标系间的旋转矩阵为:

(9)

(10)

将P1变换到基坐标系下的向量1p1为:

(11)

(12)

同理,将P2变换到基坐标系下的向量坐标1p2为:

(13)

(14)

P1和P2在坐标系O1下的实际向量为rP1=1P1-1P3和rP2=1p2-1p3。

(15)

(16)

式中:s为sin,c为cos。

所以可得到动平台Z轴在基坐标系下向量:

Pzd=rP1×rP2

(17)

为使动平台X轴在空间中的位姿易于求取,设从向量Pzd起点到向量rP1与rP2末端连线的中点方向的向量为动平台X轴方向向量。因此由基坐标系原点到rP1与rP2中点方向的向量坐标在基坐标系下可表示为:

(18)

则动平台上的X轴方向的向量在基坐标系下的实际向量为:

Pxd=1Pxd-1P3

(19)

因此动平台Y轴方向向量为:

Pyd=Pxd×Pzd

(20)

式中:Pxd、Pyd和Pzd与基坐标系坐标轴的夹角的余弦值所组成的矩阵即是动平台在空间中的姿态矩阵。

2.2 位置逆解分析

求机构的位置逆解即是当已知动平台在空间姿态求解驱动关节的关节转角,对于该2-RRR型并联机构来说其支链两段连杆所围成的图形为矩形,转动轴线恰好为空间矩形的一条长边,要求其驱动关节转角也就是求L型连杆短杆部分绕转动轴线的转角,而L型连杆短杆绕转动轴线的转角与支链第二段连杆绕轴线的转角相同,因此只需求得第二段连杆方向向量P1在坐标系O2下的投影与其X轴的夹角,该角度即等于驱动关节角。当运动平台在基坐标系下的位姿已知,就知道了动平台Z轴在基坐标系下的向量1Pzd=[xz,yz,zz],由机构的结构特点可知向量P1在机构运动过程中始终垂直于动平台轴线Pzd和O2坐标系的Z轴也即驱动关节轴线Z2,设Z2轴向向量为Pz2,因此可通过在O2坐标系下2Pzd×Pz2得出O2坐标系下向量P1,由P1在O2坐标系X轴和Y轴方向坐标的余弦值得出驱动关节角。设向量已知动平台轴线上一点在动平台座标系下的坐标Pzd=[0,0,z2],动平台与基座标系之间的变换矩阵为:

(21)

基座标系到O2坐标系之间的变换矩阵为:

(22)

2Pzd=2T1·1Td·Pzd

(23)

所以在基坐标系下:

1P1=2Pzd×Pz2

(24)

将1P1转换至O2坐标系下:

(25)

向量2P1与O2坐标系X轴的夹角即为驱动关节转角θd1,采用同样的方法可以求出另一驱动关节转角θd2,该逆运动学模型即可在已知机构的末端位姿的情况下可求解出机构的驱动关节角度。

3 运动学仿真

3.1 机构正解分析与验证

为验证第2节推导出的运动学理论的正确性,接下来分别通过在MATLAB对推导出的公式带入驱动函数以及对Adams中的虚拟样机施加相同驱动函数,来分析运动学模型的正确性。首先在Adams仿真软件中对虚拟样机进行仿真分析,对驱动关节施加如下驱动函数:

(26)

仿真后测量动平台轴线与基坐标系X、Y和Z轴的夹角θzx、θzy和θzz的仿真曲线,如图5所示。

根据第2节推导的理论在MATLAB中建立并联机构正运动学模型,计算出在相同驱动函数下机构正运动学的理论曲线,如图6所示。

3.2 机构逆解分析与验证

对机构进行逆运动学仿真与验证,在Adams中对虚拟样机的动平台绕基坐标系X轴和Y轴转动添加一般点驱动,驱动函数为:

(27)

仿真后得出两驱动关节角度θd1、θd2仿真曲线,如图7所示。在MATLAB中对该并联机构逆解模型添加相同驱动函数并绘制出两驱动关节角度θd的理论曲线,如图8所示。

图7 Adams逆运动学仿真曲线 图8 MATLAB逆运动学理论曲线

通过对比可以看出,该并联机构在相同的角度变化函数下,依据上文推导的运动学模型计算出的理论曲线和通过虚拟样机仿真得出的仿真曲线在数值与变化趋势上基本吻合,因此可以证明该并联机构运动学模型得正确性,并且该模型在Adams仿真过程中各构件也并未发生干涉和变形穿透现象,说明机构具有较好得运动性能。

4 工作空间分析

工作空间是衡量机构性能的一个重要指标,它代表着所设计的机构在自由度允许的范围能所能达到的工作空间的大小。本文采用随机函数法对2-RRR型并联机构进行工作空间仿真分析,以动平台轴线的一个端点为参考点,该点与并联机构定心点的距离为r=30 mm,根据机构运动时不发生干涉的条件设定两个驱动关节的关节转角θd1和θd2合理范围,机构的其余尺寸参数与上文运动学仿真时相同。

设定随机抽样次数N=100 000,利用随机函数rand在关节转角范围内随即生成关节转角θd1、θd2的角度值。将随机生成的驱动关节转角θd1、θd2带入上面推导的运动学正解模型,得到动平台末端点在空间中的位置,并记录。设定机构的运动参数如表1所示。

表1 驱动关节运动参数

以上述参数为依据,在MATLAB软件中进行工作空间仿真,绘制出该机构的工作空间,如图9所示。

(a) 工作空间三维图 (b) α-γ平面图9 2-RRR并联机构的工作空间

由图9可知,当参考点取在该位置时机构的工作空间呈一个球形弧面,该工作空间的特点可以满足围绕某一点进行微调作业的工作场景,而这种工作空间十分适合目前医疗手术机器人主手的设计需要。

5 结论

(1)设计了一种空间2-RRR型并联机构,并利用螺旋理论和修正的Grübler-Kutzbach准则对机构自由度进行了分析,证明了机构设计的合理性。

(2)根据机构的结构特点,利用空间矢量法建立了机构的正运动学模型,并对模型进行了仿真验证,证明了运动学模型的正确性。

(3)采用随机函数法对机构工作空间进行仿真,得出该机构的工作空间为一圆弧形半球,这与大多数主从式医疗机器人的需求的工作空间相符,可以应用于需要做定心运动的医疗手术机器人中。