从三个角度设释机械能守恒定律

■安徽省全椒中学 王林青

机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在力学范围内的表现形式，机械能守恒定律是指在只有重力或弹力对物体做功或者不受其他外力作用的条件下，物体的动能和势能(包括重力势能和弹性势能)发生相互转化，但机械能的总量保持不变。深刻理解机械能守恒定律的内涵，灵活应用机械能守恒定律求解动力学问题，可以从以下三个角度着手。

一、满足机械能守恒的三种情况

1.物体系统只受重力作用，如物体做自由落体运动和各种抛体运动时，若不考虑空气阻力，则物体的机械能守恒。

2.物体系统内的弹力做功伴随着弹性势能的变化，且系统内弹力做功等于系统弹性势能的减少量，如光滑水平面上物体与轻质弹簧相互作用的过程中，只有物体动能与弹簧弹性势能之间的相互转化，由物体和弹簧组成的系统机械能守恒。

3.物体系统受除重力或弹力外的其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功，如物体受到的合外力与物体的运动方向垂直，合外力对物体做功为零，物体的机械能守恒。

例1在以下关于机械能是否守恒的描述中，正确的是( )。

A.物体不受摩擦力作用时的机械能一定守恒

B.物体做匀速直线运动时的机械能一定守恒

C.物体做变速直线运动时的机械能不可能守恒

D.物体在只发生动能与重力势能相互转化的运动过程中，其机械能一定守恒

解析:物体不受摩擦力的作用，只说明不存在机械能与内能之间的转化，不能确定是否有其他的外力做功使得物体的机械能发生变化，物体的机械能不一定守恒，选项A 错误。若物体在粗糙水平面上做匀速直线运动，则物体受到摩擦力作用，存在机械能与内能之间的转化，物体的机械能不守恒，选项B错误。物体做自由落体运动时，物体做的是初速度为0，加速度为g的匀变速直线运动，只有重力做功，机械能守恒，选项C错误。若物体只发生动能与重力势能的相互转化，满足机械能守恒的条件，物体的机械能一定守恒，选项D 正确。

答案:D

点评：根据机械能守恒定律的内容可知，机械能是否守恒取决于是否有除重力或系统内弹力以外的其他力做功。判断B、C 两选项采用的是举反例的方法，举反例是一种简单有效地求解选择题的方法，只要能够举出一个反例就可以确定这个选项是错误的。

例2某物理兴趣小组在测定当地重力加速度时，将一木块在距地面10 m 高的地方由静止释放，最终测得木块以7.4 m/s2的加速度沿竖直方向下落。在木块下落的过程中，其机械能的变化情况是( )。

A.保持不变 B.逐渐减少

C.逐渐增加 D.无法判定

解析:因为地球表面附近的重力加速度大小约为9.8 m/s2，而测得的木块的加速度为7.4 m/s2，明显小于重力加速度，所以木块除受重力外，肯定还受到一个方向向上的外力的作用。这个外力对木块做负功，使得木块的机械能减少。

答案:B

点评：在地球表面不同位置，重力加速度的大小一般不同，但是精确的实验结果测定地球表面附近的重力加速度的标准值为9.806 65 m/s2，在一般计算中重力加速度可以取9.8 m/s2或10 m/s2。当物体的加速度明显偏离重力加速度的标准值时，就可以判定物体一定受到了除重力外的其他力的作用，物体的机械能不守恒。

二、判断机械能守恒的三种方法

1.直接判断:机械能包括动能、重力势能和弹性势能，判断机械能是否守恒可以直接看物体系统的机械能总和是否变化。这种方法适用于已知物体速度变化量、位移和形变量问题的分析。

2.从做功的角度判断:若物体系统只有重力或系统内弹力做功，虽受其他力，但其他力不做功，则机械能守恒;而比如绳子突然绷紧，物体间发生非弹性碰撞，子弹击打木块产生内能等情况下，机械能均不守恒。

3.从能量转化的角度判断:若物体系统中只有动能和势能的相互转化，而无机械能与其他形式的能的转化，则机械能守恒;而比如有摩擦力作用的机械能转化为内能，有安培力作用的机械能转化为电能等情况下，机械能均不守恒。

例3在下列物理过程中，机械能守恒的有( )。

A.用一恒定外力拉着一个木箱竖直向上匀速提升的过程

B.汽车关闭油门后(不踩刹车)沿水平公路向前减速滑行的过程

C.“嫦娥五号”探测器沿椭圆轨道绕月球运行的过程

D.从高处竖直下落的小球落在竖直放置的弹簧上，小球压缩弹簧的过程中，对由弹簧和小球组成的系统

解析:用一恒定外力拉着一个木箱竖直向上匀速提升的过程中，除重力做功外，还有向上的外力对木箱做正功，木箱的机械能增加，选项A 错误。汽车关闭油门后(不踩刹车)沿水平公路向前减速滑行的过程中，要克服摩擦阻力做功，汽车的机械能减少，选项B错误。“嫦娥五号”探测器沿椭圆轨道绕月球运行的过程中，只有月球对探测器的万有引力做功，机械能守恒，选项C正确。小球从高处竖直下落压缩弹簧的过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，由弹簧和小球(包括地球)组成的系统的机械能守恒，选项D 正确。

答案:CD

点评：功是能量转化的量度，重力做功将引起物体重力势能的变化，弹簧弹力做功将引起弹簧弹性势能的变化，摩擦力做功将引起内能的变化，静电力做功将引起电能的变化。从做功的角度判断机械能是否守恒，需要先确定物体的受力情况，并正确选择物体系统和运动过程。比如选项D 中，在小球压缩弹簧的过程中，由弹簧和小球（包括地球）组成的系统的机械能是守恒的，但仅对小球或弹簧来说，其机械能是不守恒的。

例4如图1所示，长度为L的轻绳一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球。将小球拉至最高点A，以水平初速度将其抛出，小球先后经过O点右上方的B点、与O点等高的C点、O点右下方的D点，以及最低点E。在下列运动过程中，小球的机械能守恒的是( )。

图1

A.小球从最高点A运动到B点的平抛运动过程

B.小球从B点运动到D点的过程

C.小球越过C点运动到最低点E的圆周运动过程

D.小球从A点运动到最低点E的过程

解析:因为，所以在开始的一段时间内轻绳松弛，小球做平抛运动。设当轻绳绷紧时，轻绳所在直线与水平方向间的夹角为θ，则根据平抛运动规律可知，在水平方向上有Lcosθ=v0t，在竖直方向上有，解得θ=0，，即轻绳呈水平状态时刚好绷紧。在轻绳绷紧的瞬间，小球的水平分速度立即由变为零，存在机械能损失。小球越过与O点等高的C点后以竖直分速度大小做圆周运动，轻绳的拉力与小球的运动方向垂直，不做功，小球的机械能守恒。因此在含有轻绳绷紧瞬间的过程中，小球的机械能不守恒;在平抛运动或圆周运动过程中，小球的机械能守恒。

答案:AC

点评：在轻绳绷紧的瞬间，小球沿水平方向的分速度由v0突变为零，沿竖直方向的分速度保持不变，动能减少，机械能不守恒。判断小球在不同运动过程中的机械能是否守恒，不仅要知道在轻绳绷紧的瞬间有机械能损失，还要确定小球运动到哪个位置时轻绳绷紧。

三、机械能守恒的三种表达形式

1.守恒观点:系统的初状态机械能总和与末状态机械能总和相等，表达式为Ek+Ep=Ek'+Ep'，实质上在满足机械能守恒条件的研究过程中，不仅要求初状态和末状态的机械能总和相等，而应该是要求任意两个状态下的机械能总和都相等。

2.转化观点:系统的机械能守恒时，系统减少(增加)的动能等于系统增加(减少)的势能，表达式为ΔEk=-ΔEp。

3.转移观点:由A、B两部分组成的系统(系统可以分为A、B两部分)满足机械能守恒条件时，A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等，表达式为ΔEA增=-ΔEB减。

例5如图2所示，一楔形木块固定在水平地面上，其斜面的倾角θ=30°，斜面顶端固定一光滑定滑轮，一根轻绳跨过定滑轮，分别与物块A和B连接，物块A的质量为5m，物块B的质量为m，开始时物块B在外力作用下静止于水平地面上，突然撤掉外力，使得物块B在轻绳拉力作用下上升，物块A沿斜面下滑。斜面足够长，物块A与斜面间的摩擦忽略不计，物块B始终不与斜面体和定滑轮碰撞，空气阻力忽略不计。若物块A沿斜面下滑距离l时，轻绳突然断裂，则物块B上升的最大高度为( )。

图2

解析:选由物块A、B组成的系统为研究对象，在物块A、B运动的整个过程中，只有重力做功，系统的机械能守恒。设轻绳突然断裂的瞬间，物块B的速度为v。

方法一:在物块A沿斜面下滑距离l的过程中，根据机械能守恒定律表达式ΔEk=-ΔEp得，解得。轻绳断裂后物块B做竖直上抛运动，设物块B能够继续上升的最大高度为h，根据机械能守恒定律表达式Ek+Ep=Ek'+Ep'得，解得。根据几何关系得物块B上升的最大高度H=h+l，解得。

方法二:在物块A沿斜面下滑距离l的过程中，根据机械能守恒定律表达式ΔEA增=-ΔEB减得，解得。轻绳断裂后物块B做竖直上抛运动，设物块B能够继续上升的最大高度为h，根据机械能守恒定律表达式ΔEk=-ΔEp得，解得。根据几何关系得物块B上升的最大高度H=h+l，解得。

答案:C

点评：在物块A沿斜面下滑距离l的过程中，由物块A、B组成的系统的机械能守恒；在轻绳断裂后物块B做竖直上抛运动的过程中，物块B的机械能守恒。机械能守恒定律三种表达形式的本质是相同的，在满足机械能守恒条件的前提下，合理选择守恒观点、转化观点或转移观点列式求解往往可以达到化繁为简的目的。