集合、函数与不等式题型赏析

■孙艳秋

一、集合与常用逻辑用语

例1 已知集合A={x|log2(x+1)<1},B={x||x-b|

(1)当b=2时,A∩B=∅,求实数a的取值范围。

(2)若“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件,求实数b的取值范围。

解:(1)易得A={x|log2(x+1)<1}={x|-10。当b=2时,B={x|2-a

因为A∩B=∅,所以2+a≤-1或2-a≥1,解得0

(2)若a=1,则B={x|b-1

当{x|-1

由补集思想可得,当-2

提炼:本题属于集合、常用逻辑用语与对数函数、不等式的交汇问题。(2)问运用了补集思想,起到了化难为易的效果。

二、一元二次函数、方程和不等式

例2 已知函数f(x)=ax2-4x-1。

(1)当a取何值时,不等式f(x)<0 对一切实数x都成立。

(2)若f(x)在区间(-1,1)内恰有一个零点,求实数a的取值范围。

解:(1)当a=0时,-4x-1<0对一切实数不成立,则a≠0。

当a>0时,二次函数的图像开口向上,不满足f(x)<0对一切实数x都成立;

当a<0时,由Δ=16+4a<0,解得a<-4。

故当a∈(-∞,-4)时,不等式f(x)<0对一切实数x都成立。

(2)当a=0时,由f(x)=-4x-1=0,可得,符合题意。

综上可知,函数f(x)在区间(-1,1)内恰有一个零点,实数a的取值范围为{-4}∪[-3,5]。

提炼:(1)函 数f(x)=ax2-4x-1 是“伪”二次函数,要注意讨论系数a=0的特殊情况;(2)结合判别式及零点存在定理可求实数a的取值范围。(2)问也可以利用分离参数与数形结合法求解。