包含演绎支持关系和必要支持关系的论辩框架

程 佑,廖备水

(1. 浙江大学 哲学学院,浙江 杭州 310000;2. 浙江大学 逻辑与认知研究所,浙江 杭州 310000)

0 前言

论辩框架理论在计算语言学领域有广泛的应用,例如,在处理基于关系的论辩挖掘[1]和情感极性分类[2]等问题时,运用论辩框架评估论证能提升分类器的性能[2]。

论辩框架的核心任务是对不完全的、不确定的和不一致的知识和信息进行表示和推理,得到可接受的结论[3]。抽象论辩框架(Abstract argumentation framework, AF)简称论辩框架,将论证、攻击关系等概念抽象化,为包含信息冲突的现实场景的表示和计算提供了灵活高效的框架[4]。抽象论辩框架的语义最常用的有基于外延的语义和基于标记的语义[5]。这两种语义各有优缺点。根据基于外延的语义,一个论证集合是可接受的,则其内部是无冲突的且能防御它的攻击者。这种语义被用于提供可解释性[6]。根据基于标记的语义,论证的状态由其攻击者的状态决定。相对于基于外延的语义,基于标记的语义更易于计算。在抽象论辩框架下,这两种语义之间的对应关系已被证明[7]。双极论辩框架(Bipolar Argumentation Framework, BAF)在抽象论辩框架基础上引入了支持关系[8]。值得注意的是,支持关系在不同研究者的框架中有不同的解释[9],在BAF中通常被解释为演绎支持(Deductive Support)[10]、必要支持(Necessary Support)[11-12],有时也被解释为基于证据的支持[13]。在框架定义方面,这些框架只引入一种支持关系,而实例中往往同时存在多种支持关系。同时,一些框架对冲突的定义基于特殊论证序列结构[10,12],不够简洁和一般化。在语义方面,虽然基于外延的语义和基于标记的语义各有优缺点,可以优势互补,但在双极论辩框架下,两者之间尚未形成联系,相关的对应关系没有被证明。

本文旨在建立一种包含多种支持关系的论辩框架,给出它们的基于外延的语义和基于标记的语义,并在两者之间建立联系。本文基于强度来定义攻击关系,相比已有的基于特定结构来定义攻击关系的方法,得到的结果更简洁且更有表达力。同时,本文提出一种基于伴随图的方法,将论辩框架中的多种关系简化为一种,让基于标记的语义求解更加简单。

本文的组织结构如下: 第1节介绍包含支持关系的论辩框架的相关工作;第2节介绍本文研究内容有关的基础知识;第3节定义包含演绎支持关系和必要支持关系的论辩框架,以及它们的基于外延的语义和基于标记的语义;第4节证明本文框架下两种语义之间的对应关系;第5节总结本文的工作,并对未来工作进行展望。

1 相关工作

本文研究包含支持关系的论辩框架。将支持关系引入到论辩框架的方法有以下几种: 将支持关系作为一种抽象关系引入抽象论辩框架,比如双极论辩框架和基于证据的论辩系统(Evidential Argumentation Systems, EAS);将支持关系实例化,例如,ASPIC+(Argumentation Service Platform with Integrated Components);将支持关系整合到依赖关系,例如,抽象辩证框架(Abstract Dialectical Framework,ADF)。

双极论辩框架在抽象论辩框架的基础上引入了支持关系[8]。双极论辩框架中的支持关系有着不同的解释,可以是演绎支持关系[10]和必要支持关系[11-12]。已有研究基于结构定义了受支持攻击、调停攻击、间接攻击、扩展攻击等[11]。这些攻击关系被分别定义,在定义语义时所起的作用却是相同的,比较繁琐。本文采用的基于强度的定义,比基于结构的定义更简洁。本文将演绎支持关系和必要支持关系同时引入到框架中。虽然演绎支持和必要支持有二重性,可以互相转化,但也有研究表明,两者在实例化时的表现有所不同[14]。另外,演绎支持和必要支持在实例中是同时存在的,引入两种支持关系到同一框架下而无需转化,无疑是一种更直接和自然的表示方式。

在基于证据的论辩系统中支持关系也是抽象的。与双极论辩框架相比,其不同点在于攻击关系和支持关系都必须开始于包含证据论证的论证集合。虽然EAS中的支持关系被解释为基于证据的支持关系,不同于BAF中的演绎支持关系和必要支持关系,但也有研究者认为EAS中的支持关系是一种特殊的必要支持关系[9]。同时,在EAS中,定义基于证据的支持要用到一类特殊的用于表示环境的证据论证。考虑到这些,本文没有将基于证据的支持关系引入到框架中。

ASPIC+框架是AF的实例化,它给AF中的论证和攻击以具体的结构[15]。一个ASPIC+框架包含逻辑语言、推理规则、知识库和从知识库及推理规则构建起来的论证集。在ASPIC+中论证之间的支持关系有两种,一种是一个论证被它的子论证支持,另一种是被支持的论证的前提是其支持者的结论。研究表明第二种支持关系在抽象化成演绎支持时存在问题[14]。因此ASPIC+中的支持关系接近于必要支持。EAS可以被实例化为ASPIC+,这也印证了EAS中的支持关系是一种特殊的必要支持。本文同时考虑了演绎支持和必要支持两种支持。相比ASPIC+和EAS,本文的框架可以处理更丰富的支持。

一个抽象辩证框架(Abstract Dialectical Framework, ADF)是一个有向图,其中的节点表示论证,箭头表示论证间的依赖关系[14]。在ADF中,论证的状态为可接受或不可接受。每个论证都被分配一个可接受条件,表示它的状态如何取决于它的父论证的状态。ADF利用可接受条件来决定论证的状态。这种方式比直接用支持关系更灵活,但有研究认为ADF有时无法刻画演绎支持[9]。与ADF相比,本文提出的框架和语义能够表示和处理演绎支持。

本文采用基于等式赋值的方法来定义框架的基于标记的语义。这种方法起初被应用于AF[16]。本文用演绎支持关系和必要支持关系扩展了AF,并将这种方法运用于新框架下,同时对其与基于外延的语义之间的关系给出了详细证明。

2 背景知识

2.1 抽象论辩框架及其语义

一个AF可以被看作是一个有向图,其中节点和边分别表示论证和攻击。抽象论辩框架定义如下[9]。

定义1(抽象论辩框架)AF=(,att)是一个抽象论辩框架,其中,是一组有穷且非空的论证集合,att是上的二元关系,即att⊆×。

给定一个AF,论证评估的目的是确定这个AF中,哪些论证集合是可接受的。一个可接受的论证集合,应满足无冲突、可防御和可相容三个基本特征。

定义2(无冲突、可防御和可相容)给定一个论辩框架AF=(,att)和一组论证集合⊆。是无冲突的,当且仅当a,b∈,使得(a,b)∈att。一个论证a∈对于是可防御的,当且仅当∀(b,a)∈att,∃c∈,使得(c,b)∈att。是可相容的,当且仅当是无冲突的,并且中的每个论证对于是可接受的。

基于外延的语义是一组预先定义的评价标准,用于确定一个AF中集体可接受的论证集合。

定义3(基于外延的语义)给定一个论辩框架AF=(,att)和一组论证集合⊆。是AF的一个完全外延,当且仅当是可相容的,并且每个对于可接受的论证都在中。是AF的一个优先外延,当且仅当是(在集合包含意义上)极大的完全外延。是AF的基外延,当且仅当是(在集合包含意义上)最小的完全外延。是AF的一个稳定外延,当且仅当无冲突且∀b∈,∃a∈使得(a,b)∈att。

基于标记的语义为每个论证指派一个标记,再检查标记的合理性,按照相关研究[7],合法标记和基于标记的语义定义如下:

定义4(合法标记)给定一个论辩框架AF=(,att),AF的一个标记定义为一个全函数: AF→{IN,OUT,UNDEC}。给定a∈,给a指派的标记是IN是合法的,当且仅当(a)=IN,且a的所有攻击者都标记为OUT;a指派的标记是OUT是合法的,当且仅当(a)=OUT,且存在一个a的攻击者标记为IN;a指派的标记是UNDEC是合法的,当且仅当(a)=UNDEC,且不存在一个a的攻击者标记为IN,且并非所有a的攻击者都标记为OUT。

定义5(基于标记的语义)给定一个论辩框架AF=(,att)以及AF的一个标记:

2.2 双极论辩框架

双极论辩框架在抽象论辩框架的基础上加入了支持关系,定义如下[9]。

定义6(双极论辩框架)BAF=(,att,sup)是一个双极论辩框架,其中是一组有穷且非空的论证集合,att⊆×是上的攻击关系,sup⊆×是上的支持关系,sup∩att=∅。

演绎支持可以理解为充分条件,必要支持可以理解为必要条件。给定一个BAF和asupb,在sup被解释为演绎支持的条件下,如果a是可接受的,b必然是可接受的;在sup被解释为必要支持的条件下,如果a是不可接受的,b必然是不可接受的。在一个BAF中,如果支持被解释为演绎支持,受支持攻击(Supported Attack)和调停攻击(Mediated Attack)有如下定义[9]:

定义7(受支持攻击和调停攻击)给定一个双极论辩框架BAF=(,att,sup)和a,b∈。存在从a到b的受支持攻击,当且仅当存在一个序列a11…n-1an,n≥3,其中,a1=a,an=b,并且∀i=1…n-2,i=sup,n-1=att。存在从a到b的调停攻击,当且仅当存在一个序列a1Rsup…Rsupan-1,并且anRattan-1,n≥3,其中,a1=a,an=b。

在一个BAF中,如果支持被解释为必要支持,间接攻击(Secondary Attack)和扩展攻击(Extended Attack) 有如下定义[9]:

定义8(间接攻击和扩展攻击)给定一个双极论辩框架BAF=(,att,sup)和a,b∈。存在从a到b的间接攻击,当且仅当存在一个序列a1atta2sup…supan,n≥3,其中,a1=a,an=b。存在从a到b的扩展攻击,当且仅当存在一个序列a1sup…supan,并且a1attap,n≥2,其中,an=a,ap=b。

3 包含演绎支持关系和必要支持关系的论辩框架

本文将演绎支持关系引入抽象论辩框架,更直接地、更自然地表示相关实例中的演绎支持和必要支持。

3.1 包含演绎支持关系和必要支持关系的论辩框架

定义9(包含演绎支持关系和必要支持关系的论辩框架)AFDN=(,att,duc,nec)是一个包含演绎支持关系和必要支持关系的论辩框架。其中是一个有限非空的论证集合,att是上的攻击关系,duc是演绎支持关系,nec是必要支持关系,att∩duc=∅,att∩nec=∅,duc∩nec=∅。

例3.1.1(“周末安排”案例)

图1中的双箭头表示演绎支持,单箭头表示必要支持,划线箭头表示攻击。演绎支持和必要支持可以与攻击组合成更复杂的攻击,如a3atta5neca6,根据日常直觉,一个在爬山的人不会在公司工作,存在从a3到a6的攻击。我们把这种组合成的攻击称为复杂攻击。

图1 表示“周末安排”的AFDN

定义10(复杂攻击)给定一个AFDN=(,att,duc,nec)和一个从a1到an的序列:a11a2…akkak+1…an-1n-1an。这个序列指示了一个从a1到an的复杂攻击,当且仅当∃!i∈{1,…,n-1}使得i=att,并且∀j∈{1,…,n-1},如果j≠i那么其中是duc的逆转,即表示同理。

在一个AF中,论证间的攻击是定义各种语义概念的基础。然而,在一些双极论辩框架中,并非所有的由支持和攻击组合成的攻击都会被用于定义语义概念[9]。同样的,在一个AFDN中,并非所有复杂攻击都会被用于定义语义概念。以图1中的论证序列a4neca3atta5为例,因为满足复杂攻击的定义,所以存在从a4到a5的复杂攻击。根据日常直觉,存在户外的工作,a4表示的“在户外”和a5表示的“工作”是可以同时接受的,a4和a5之间也不存在冲突。因此有的复杂攻击不应被用于定义语义概念。本文把那些会被用于定义语义概念的复杂攻击称为强攻击。

定义11(强攻击)给定一个a11a2…aiattai+1…an-1n-1an,如果这个序列满足以下两个条件,则其指示的复杂攻击(a1,an)是一个强攻击:

例3.1.2根据例3.1.1中定义的AFDN,有如下强攻击关系:

3.2 AFDN的基于外延的语义

前文定义的强攻击和抽象论辩框架中的攻击有相同性质,因此在定义AFDN的语义时,可以直接采用AF的语义概念的形式[4]。

定义12(无冲突、可接受和可相容)给定一个AFDN=(,att,duc,nec),它的强攻击关系str和一组论证集合⊆:

(2) 一个论证a∈对于是可接受的,当且仅当∀(b,a)∈str,∃c∈使得(c,b)∈str;

定义13(基于外延的语义)给定一个AFDN=(,att,duc,nec)和一组论证集合⊆:

与已有研究相比,本文的框架采取的攻击定义得到的语义结果更简洁,它不需要像额外定义像封闭性这样的约束[12]。

定义14(封闭性)给定一个AFDN=(,att,duc,nec)和一个它的完全外延。满足封闭性当且仅当: 给定(b,a)∈nec,如果a∈,则b∈;给定(a,b)∈duc,如果a∈,则b∈。

AFDN得到的完全外延满足封闭性。

命题1给定一个AFDN=(,att,duc,nec)和一组它的完全外延,则满足封闭性。

证明:给定a∈,假设命题不成立,则∃b∈使得(b,a)∈nec或者(a,b)∈duc,且b对于不可接受。∀c∈使得 (c,b)∈str,可得(c,a)∈str。因为是一个完全外延,c对于是可接受的,因此b对于是可接受的,这和假设矛盾。

根据3.1.2中的强攻击关系,例3.1.1中定义的AFDN计算结果如下例子:

例3.2例3.1.1中定义的AFDN,有如下外延:

• 完全外延: {a5,a6,a7,a8},{a1,a2,a3,a4,a7},{a7};

• 基外延: {a7};

• 优先外延: {a5,a6,a7,a8},{a1,a2,a3,a4,a7};

• 稳定外延: {a5,a6,a7,a8},{a1,a2,a3,a4,a7}。

3.3 基于等式的方法

根据基于外延的语义,在论证评估之前,需要计算强攻击的集合。这一过程是比较烦琐的,需要进行全局计算。相对于基于外延的语义,基于标记的语义更易于计算[7,17],因此本文提出一种用于AFDN的基于标记的语义。本文先根据给定的AFDN生成一个伴随图,再采用基于等式的方法为伴随图和AFDN中的论证赋值。

3.3.1 AFDN的伴随图

一个论证的否定被定义为这个论证表示的命题的否定。

定义15(伴随论证)给定一个AFDN和a∈,a的伴随论证是a的否定,用a表示。p是中的论证及其伴随论证组成的集合,即p=∪{a|a∈}。

利用伴随论证,AFDN中的攻击关系、必要支持关系和演绎支持关系能够转化成蕴涵关系。

定义16(蕴涵关系)给定一个AFDN=(,att,duc,nec)和p。蕴涵关系p是p上的二元关系,即p⊆p×p。∀a,b∈p,(a,b)∈p当且仅当:

(1) (ai,aj)∈duc且a=ai,b=aj;

(2) (ai,aj)∈duc且a=aj,b=ai;

(3) (ai,aj)∈nec且a=ai,b=aj;

(4) (ai,aj)∈nec且a=aj,b=ai;

(5) (ai,aj)∈att且a=ai,b=aj。

在一些流行的BAF中,攻击关系的优先级比支持关系更高: 给定a攻击b,c演绎支持b,因为优先考虑攻击关系,b是不可接受的,c受到反向的影响也是不可接受的。因此a到b的攻击关系转换成a到b的蕴涵关系,而a到b演绎支持除了转换成a到b的蕴涵关系,还要转化成b到a的蕴涵关系,以表达a受到的反向影响。

定义17(伴随图)给定一个AFDN=(,att,duc,nec),这个AFDN的伴随图为CG= (p,p),其中,p是伴随论证集,p是p上的蕴涵关系。

例3.3.1给定图3.3.1(1)中AFDN,其中nec=(a2,a1),sup=(a2,a3),att=(a4,a3),其伴随图CG如3.3.1(2)所示,其中p={(a1,a2),(a2,a1),(a2,a3),(a3,a2),(a4,a3)},如图2所示。

图2 伴随图案例

3.3.2 基于等式的方法

基于等式的方法通过函数给论证赋值,一个论证的合法赋值由其父论证的值和赋值函数得到。一个论证的父论证定义如下:

定义18(父论证函数)给定一个CG=(p,p),父论证函数是一个从论证到论证集合的函数p:p→2。给定a∈p,则p(a)=且∀b∈,(b,a)∈p。

用p(a)表示a的父论证集合,则CG的赋值函数定义如下:

定义19(CG的赋值函数)给定一个AFDN的伴随图CG=(p,p),CG的赋值函数fC定义为fC:p→{0,0.5,1}。fC是一个合法的赋值函数,当且仅当∀ai,ai∈p,以下条件成立:

(1) 如果p(ai)=∅,则fC(ai)=1,fC(ai)=0;

(2) 如果p(ai)≠∅,fC(ai)=maxn∈p(ai)fC(n),fC(ai)=1-fC(ai)。

本文用1(fC)指代{a|fC(a)=1 且a∈p},0(fC)指代{a|fC(a)=0且a∈p},0.5(fC)指代{a|fC(a)=0.5且a∈p}。

定义20(AFDN的赋值函数)给定一个AFDN=(,att,duc,nec),AFDN的赋值函数fA定义为fA:→{0,0.5,1}。fA是一个合法的赋值函数,当且仅当fA=fCA且fC是一个合法的赋值函数。fCA是一个函数,由fC的定义域被限定到得到。

例3.3.2给定例3.3.1中的AFDN及其CG,其合法赋值如图3所示。

图3 合法赋值案例

4 性质与结果

基于外延的语义和基于标语的语义有各自的优点。这一节研究两者之间的对应关系。在研究这些性质时,本文不考虑存在由同一种支持关系组成有向环的情况,因为这种情况会导致循环支持[12]。

4.1 合法赋值与强攻击之间的关系

在一个AFDN中,给一个论证的赋值会沿着攻击关系和两种支持关系传播到其他论证。关于强攻击和合法赋值之间的关系,有以下结果:

一个没有受到强攻击的论证被赋值为1是合法的。

命题2给定一个AFDN=(,att,duc,nec)和一个合法的赋值fA。给定a∈,如果b∈使得(b,a)∈str,则fA(a)=1。

情况2: 如果∃c∈使得cneca,则p(a)≠∅,fC(a)=maxn∈p(a)fC(n);

子情况2: 如果∃c∈使得cnecn,则p(n)≠∅,fC(n)=maxm∈p(n)fC(m);

给定一个从b到a的强攻击,相应的序列在一个CG中如图4所示,其中,b=a1且a=an。

图4 AFDN中的强攻击在CG中对应的序列

∀j≠i,则p(aj)≠∅,所以有如下等式:

fC(aj)=maxn∈p(aj)fC(n),∀j≠i

(1)

一个论证被赋值为1是合法的,则强攻击它的论证合法赋值为0。

命题3给定一个AFDN=(,att,duc,nec)和一个合法的赋值fA。如果fA(a)=1,则∀b∈使得(b,a)∈str,fA(b)=0。

证明：给定一个如图4所示的强攻击(b,a),其中b=a1,a=an。根据等式(1),给定fC(an)=fA(an)=1,(an)=0,如果j∈{i+1,…,n},则fC(aj)=0;如果j=i,fC(aj)=0,fC(aj)=1-fC(aj)=1;如果j∈{1,…,i-1},则fC(aj)=1。所以有fC(b)=fC(a1)=0且fA(b)=0。

给定一个论证,如果所有强攻击它的论证的合法赋值都为0,则这一个论证被赋值为1是合法的。

命题4给定一个AFDN=(,att,duc,nec)和一个合法的赋值fB。如果∀b∈使得(b,a)∈str且fA(b)=0,则fA(a)=1。

证明：给定一个如图4所示的强攻击(b,a),其中b=a1,a=an。因为∀b∈str,fA(b)=0,且根据定义10,(aj,an)∈str,其中,j∈{1,…,i},所以fC(ai)=0。同理,∀n∈p(ai+1),(n,an)∈str,所以fC(n)=0 且fC(ai+1)=0。类似地,当j∈{i+1,…,n},∀n∈p(aj),fC(n)=0。所以,fA(a)=fC(an)=1。

一个论证被赋值为0是合法的,则存在一个强攻击它的论证合法赋值为1。

命题5给定一个AFDN=(,att,duc,nec)和一个合法的赋值fA,如果fA(a)=0,则∃b∈使得(b,a)∈str且fA(b)=1。

证明：假设命题不成立,即∀b∈满足(b,a)∈str,fA(b)=0或者0.5。给定一个如图4所示的强攻击(b,a),其中,b=a1,a=an。根据等式(1),如果j∈{1,…,i},fC(aj)=1 或者0.5;如果j=i,fC(aj)=0 或者 0.5;如果j∈{i+1,…,n},fC(an)=0或者0.5。所以fA(a)=fC(a)=1-fC(an)=1或者0.5,这和假设相矛盾。

给定一个论证,如果存在一个强攻击它的论证的合法赋值为1,则这一个论证被赋值为0是合法的。

命题6给定一个AFDN=(,att,duc,nec)和一个合法的赋值fB。如果∃b∈使得(b,a)∈str且fA(b)=1,则fA(a)=0。

证明：给定一个如图4所示的强攻击(b,a),其中b=a1,a=an。根据等式(1),如果j∈{1,…,i},fC(aj)=0;如果j=i,fC(aj)=1;如果j∈{i+1,…,n},fC(an)=1。所以fA(a)=fC(a)=1-fC(an)=0。

根据以上命题,有如下定理:

定理1给定一个AFDN=(,att,duc,nec)和一个合法的赋值fA。

(1)fA(a)=1当且仅当∀b∈满足(b,a)∈str,fA(b)=0;

(2)fA(a)=0当且仅当∃b∈使得(b,a)∈str且fA(b)=1;

(3)fA(a)=0.5当且仅当∃b∈满足(b,a)∈str,fA(b)≠0; 且对于每个∈满足(b,a)∈str,fA(b)≠1。

证明：根据命题3和命题4,定理1.1得证;根据命题5和命题6,定理1.2得证;根据定理1.1和1.2,定理1.3得证。

4.2 合法赋值与强攻击之间的关系

根据论证的赋值与强攻击关系的对应,基于外延的语义和基于标记的语义也可以对应起来。

命题7给定一个AFDN和它的一个fA。如果fA合法,则1(fA)是一个完全外延。

证明：(1)无冲突: 假设命题不成立,即存在a,b∈1(fA)使得(a,b)∈str。根据1(fA)的定义,fA(a)=1且fA(b)=1,这和命题3相矛盾。

(2)可相容: 假设b∈1(fA)且a∈1(fA)满足(b,a)∈str。因为fA(a)=1且(b,a)∈str,根据命题3,fA(b)=0。因此∃c∈1(fA)使得(c,b)∈str且fA(c)=1。因此c∈1(fA)满足(c,b)∈str,且1(fA) 可相容。

(3)所有对于1(fA)可接受的论证都属于1(fA): 假设命题不成立,即存在c∈1(fA)且c对于1(fA)来说是可接受的。对于每个b∈A,如果(b,c)∈str,则存在a∈1(fA)使得(a,b)∈str。因为c∉1(fA),fA(c)≠1,根据定理1,存在b∈A使得(b,c)∈str且fA(b)≠0。因为(b,c)∈str,根据假设存在a∈1(fA)使得(a,b)∈str。所以fA(a)=1且(a,b)∈str,这与fA(b)≠0相矛盾,所以c不存在。

反过来,可以通过完全外延得到合法的赋值函数。

命题8给定一个AFDN=(,att,duc,nec)和它的一个完全外延。定义一个赋值函数fA:→{0,0.5,1}如下: 对每个a∈,

则fA是这个AFDN的一个合法的赋值函数(+表示受到攻击的论证集合)。

证明：给定任意的a∈,根据定义我们考虑如下两种情况:

(2) ∃b∈,满足(b,a)∈str。

(2.1) ∃b∈使得fA(b)=1。b∈,因此a∈+且fA(a)=0。根据命题6,fA(a)是合法的赋值。

(2.2) ∀b∈使得fA(b)=0。因此b∈+,a∈且fA(a)=1。需要注意∃c∈使得(c,b)∈str且fA(c)=1。根据命题4和命题5,fA(a)是合法的赋值。

(2.3) ∀b∈,fA(b)≤0.5;且∃b∈,fA(b)=0.5,b∉。需要注意a∉+;否则b∈。同时a∉: 假设命题不成立,a∈。是可相容的,因此∀b∈,使得(b,a)∈str,b∈。这和∃b∉+矛盾。因此fA(a)=0.5。根据定理1,fA(a)是合法的赋值。

其他外延与赋值函数之间的关系,如表1所示。

表1 合法赋值函数与基于外延的语义的关系

5 总结与展望

本文致力于用演绎支持关系和必要支持关系对抽象论辩框架进行扩展,给出其基于外延的语义和基于标记的语义,并证明两者之间存在对应关系。

与现有的框架相比,本文提出的框架有以下优点:

(1) 在定义由攻击和支持组合成的复杂攻击时,本文采用基于强度的方法。与BAF和EAS中的基于特定结构来定义攻击关系的方法相比,本文提出的方法更具一般性,且在此基础上得到的基于外延的语义更简洁。

(2) BAF,ASPIC+框架中的支持关系类型单一,本文提出的框架能够刻画更复杂的实例。

(3) BAF在计算论证可接受性之前需要计算存在的复杂攻击。本并采用的基于一种等式的方法为论证赋值,避免了复杂攻击的计算,让框架求解更简单。

(4) 本文为提出的框架给出了两种语义,并给出了对应关系的证明。因此和ADF框架及BAF框架相比,本文提出的框架同时具有可解释和易于计算的特性。

虽然相比于已有框架,本文提出的AFDN能够更方便直接地刻画存在多种支持关系的实例,但现实中的论证往往带有概率或强度。未来工作包括用概率或强度扩展AFDN的表达能力等。