数学课堂有效对话的三点认识*——以“任意角的三角函数”为例

黄晓琳

福建省南安国光中学

随着时代的不断发展,个体的民主意识不断增强,对话慢慢成为解决人际问题与处理社会关系的有效途径.教即倾听,学即诉说.从某种意义上说,教学的本质就是对话,教学中教师既要能说,又要会听;学生既要会听,也要能说.但现实的常态课中,囿于师道尊严的成见,加之教学进度的藉词,教师不愿也不舍得对话;碍于对话能力的制约,加之学习惯势的缘故,学生不会也不敢于对话.在公开课中能够听到的对话也常表现出目的不明、层次不清、节奏不好、深度不够、参与面不广、真实性不高等问题.

笔者以“任意角的三角函数”为例,探讨如何加深数学对话教学的认识,提高数学教学对话的质量,进而达到有效教学的目的,与同行交流切磋.

数学对话教学,需要遵循平等、尊重的原则,师生在课堂中追求彼此信任,通过语言,真诚、科学地进行数学知识的交流、情感的沟通以及思想的碰撞,分享彼此已有的数学经验并交换过程中生成的各种数学资源,最终达成师生共同的数学发展.

数学严谨的逻辑性要求对话必须精心理性地设计,科学而又有序地展开;数学高度的抽象性要求师生将各自冰冷的形式化感知转化为火热的非形式化对话,在追问中层层递进以致本质的理解;数学广泛的应用性要求教师在知识的应用过程中,通过对话引导学生将知识的认知进一步深化与升华.

1 对话预设与生成的处理

对话必须真诚,追求在真实的状态下自然地生成;对话也须严谨,统筹于精密的计划中合理地推进.

对话教学有效开展的前提条件就是处理好对话的预设与生成之间的关系,在有限的时间内让对话的成效达到最优化.笔者认为,解决对话的预设与生成应该考虑以下三点:(1)明确本节课各教学环节及其教学目的;(2)达成各教学环节教学目的需要的对话内容;(3)根据不同的对话内容,设计适切的对话模式.

在毫无准备的情况下,有限的课堂时空中难以生成高质量的对话.要保证课堂的对话能够顺畅、高效,笔者认为可以将预设的对话做成“对话单”,让学生按要求事先做好准备.

以“任意角的三角函数”的第一环节即引入阶段为例,该阶段要完成的教学目标有两个:(1)适当的旧知教学回顾;(2)感知新知的学习意义.

根据学生的实际以及对话教学开展的情况,教师可以设计不同作用及开放程度的对话内容.例如,可以布置对话1“回顾任意角的推广”、对话2“学习任意角三角函数需要哪些预备知识”这样具体明确的任务,也可以布置对话3“寻找周期变化的实例”、对话4“三角函数有哪些实际应用”这样相对开放的任务.其中,对话1和对话2属于明确性任务,对话3和对话4属于开放性任务.相对于课堂突然的对话,学生在事先的准备中,通过查找相应资料与文本对话,通过思考如何发言与自我对话,既扩大了学生对话的多样性,又提高对话的时效性.

对于旧知的回顾,可以采用“阐述—评论—归纳”的对话模式,即教师在课堂中随机指定一位学生阐述自己对任意角的三角函数所需预备知识的看法,其他同学进行补充式评论,教师适时进行归纳.对于新知的意义,可以采用“演示—感悟—概括”的对话模式,即教师将学生“对话单”中列举的三角函数的应用实例用投影仪或PPT展示出来,让大家在分享中感悟,在感悟中辨析,教师再指定一位学生进行概括或者教师自己进行概括.

2 对话时机与节奏的把握

对话注重时机,在恰当的时候进行适当的交流;对话讲究节奏,在合适的阶段进行适度的沟通.

对话教学有效开展的关键环节就是考虑好对话的时机与节奏的把握,在有限的时间内让对话的成效达到最佳化.笔者认为,处理对话的时机与节奏应该考虑以下三点:(1)明确本节课教学的重点与难点,学习的疑点与易错点;(2)在教学的重难点处不惜时力进行辨析讨论;(3)在学习的疑错点处反复地引导生疑示误,以便不断地释疑纠错.

在数学教学中,我们可以借助信息技术将冰冷的形式化语言转化为形象的图形语言,再通过通俗易懂的文字语言进行火热的讨论辨析与不断的纠错释疑,将直观的感知与浅层的思维不断地引向深化.

以“任意角的三角函数”的第二环节即抽象阶段为例,该阶段要完成的教学目标有两个:(1)自然地实现定义中的“长度比”到“坐标比”的跃升;(2)合理地辨析“终边点法”与“单位圆法”的关系.

根据学生的实际以及对话教学开展的情况,教师可以设计不同开放程度的对话.如,对话5“唤醒长度比的经验—感悟引入坐标比的必要—讨论辨析长度比与坐标比的联系与区别”,对话6“从相似比角度分析终边点法—从简约性角度引出单位圆法—讨论辨析终边点法与单位圆法的联系与区别”,这样的对话按剥丝抽茧、层层递进的方式进行概括;或者对话7“直接对比阐述长度比与坐标比—讨论辨析长度比与坐标比的联系与区别”,对话8“直接对比阐述终边点法与单位圆法—讨论辨析终边点法与单位圆法的联系与区别”,这样的对话按开门见山、直截了当的方式进行分析.对话5、对话6要求教师能够敏锐地把握时机,在抽象过程中,设置高质量的对话,通过不断的追问引领学生完成概念形式化的构建.按抽象的阶段,对话5是从长度比到坐标比,教师可以设计1个设问、3个追问、1个讨论,即设问初中三角函数的定义,追问“锐角改为钝角,能否再用长度比?”追问“角的变化过程中,还有其他不变的比值吗?”追问“能否从函数角度分析一下三角函数的三要素?”讨论一下长度比与坐标比的联系与区别.对话6是从终边点到单位圆,教师可以设计1个演示、3个追问、1个讨论,即软件演示固定终边上的动点,追问“变化过程中的变与不变?”追问“能否让比值更简洁?”追问“能否从函数角度分析一下三角函数的函数值符号与值域?”讨论单位圆法与终边点法的联系与区别.对话7、对话8对学生对话素养要求比较高,教师必须通过“对话单”事先让学生明确并精心准备两个讨论议题,课堂上教师通过分组,先由分组代表上台阐述两种方法,再让组员对两种方法的联系与区别,或优点与缺点进行讨论,教师只需适当地对学生的辨析进行归纳总结并板书即可.

3 对话深度与广度的控制

对话要有深度,务求数学味的问题导引思维;对话也要广度,调动尽量多的学生参与其中.

对话教学有效开展的重要保障就是控制好对话的深度与广度,在有限的时间内让对话的成效达到最大化.笔者认为,处理对话的深度与广度应该考虑以下三点:(1)研读课标要求,把握正确方向是控制对话深度、广度的前提;(2)钻研教材相关内容及高考真题,选择典型素材是控制对话深度、广度的关键;(3)根据学生数学现实,设计适切方案是控制对话深度、广度的保障.

以“任意角的三角函数”的第三环节即应用阶段为例,该阶段要完成的教学目标有两个:(1)通过应用扫清学习障碍,明辨思维误区;(2)通过应用,对比并优选方法,规范语言表达.

以教材例1为例,笔者设计了四种不同的对话方案.①对话9:对角的终边进行变式,强调终边的理解;②对话10:对解法进行变式,强调解法的对比;③对话11:对不同象限角的对比,通过讨论扩大对话参与面,暴露学生应用的更多问题,并在此基础上进行格式、解法的讨论概括;④对话12:将例题改编成活动方案,让学生分组操作,增加问题的趣味性,体验知识的实用性,在正反两向应用与师生间的互动对话中,进一步明晰“长度比”与“坐标比”二者的联系与区别,感悟“单位圆定义法”与“终边坐标法”各自的优势与局限.