三研：小学数学结构化思维孕育策略——圆的面积和圆柱表面积公式的推导与应用

文｜沈群根

基于学生已有知识和经验基础的结构化学习是很有价值的一种学习方式，这种学习方式具有统整性和关联性，是学生对于这个领域进行整体关联后，主动构建学习的过程。结构化视角下的深度学习是针对传统教学中的浅学习、被学习、虚学习而提出的一种全新的学习方式，它是一种更高阶的学习思维，能够促使学生向数学更本质的深处进行探究。在具体研究的过程中，指向结构化思维培育的“三研”策略的整体框架如下：

一、入研三点，结构化思维留痕

（一）基于疑问，走向思维萌点

在知识点导入时，我们将“疑”做大做足，有了疑问才能引发学生学习的兴趣，点燃思维的火苗。“圆的面积”我是这样设疑导入的：圆和我们以前学习的几何图形不同的是：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形都是由直线段围成的，而圆是由曲线围成的。古埃及人把它看成是神赐予人的神圣图形，如何求圆的面积，当时人们认为既然正方形的面积容易求，只需要想办法做出一个面积恰好等于圆面积的正方形，即化圆为方。这样的导入能让学生了解圆面积推导过程的历史，并让他们站在前人的肩膀上，基于疑问，走向思维萌点，激起学生挑战欲望。

（二）自主判断，经历思维生点

沿着数学家研究的路径，学生有了思维的起点。我国古代的数学家祖冲之，从圆内接正六边形入手，让边数成倍增加，用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积。古希腊的数学家，从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手，不断增加它们的边数，从里外两个方面去逼近圆面积。古印度的数学家，采用类似切西瓜的办法，把圆切成许多小瓣，再把这些小瓣对接成一个长方形，用长方形的面积去代替圆面积。在课堂上让学生对比以上三个方案，哪个方案更容易操作。笔者发现很多学生采用了古印度数学家的方法，于是让学生拿出学具，两人合作，分一分，剪一剪，拼一拼，拼成一个近似的长方形。这样让学生通过自主判断，动手操作，经历思维生点。

（三）创造综合，构建思维支点

在借鉴方法的基础上，回归教材，书本上采用的也是把圆转化成长方形：分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越接近于长方形。从图形中可以看出长方形的长近似于圆周长的一半，宽近似于圆的半径。因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr×r=πr2。

教师引导学生将已有知识和经验自主迁移到新问题的探究解决过程中，既可完善学生原有的认知，又可以打通和发展数学的方法结构、思维结构以及策略结构。创造综合，构建了学生思维的支点，从而推导出圆面积的计算公式。

二、着研三向，结构化思维无形

（一）从学到用，思维结构有趣

既然圆可以转化成长方形，那么能不能转化成三角形或梯形呢？（让学生利用学具试一试、剪一剪、拼一拼）

把圆转化成三角形，把16 个小扇形想象成16个近似等腰三角形，把它们摆成一个大的等腰三角形。三角形的底接近圆周长的四分之一，三角形的高接近于4r，因为三角形的面积=底×高÷2，所以圆的面积

把圆转化成梯形：把16 个小扇形想象成16 个近似等腰三角形，把它们摆成一个的梯形。上底是3个弧长，下底是5 个弧长，高相当于2 个半径。根据梯形面积=（上底+下底）×高÷2，算出这个近似梯形的面积：

（3 个弧长+5 个弧长）×2r÷2

=8 个弧长×2r÷2=16 个弧长×r÷2=圆周长×r÷2=2πr×r÷2=πr2

俗话说：“授之以鱼，不如授之以渔。”结构化思维方法可以为学生举一反三、触类旁通创造条件。转化和建模等都是小学阶段常用的思想方法，这些方法的学习不是一蹴而就的，需要教师在教学中有意地渗透。从学到用，用多点思维使结构更有趣，沟通圆与前面学过的平面图形的联系，实现实践与应用的整体构建。

（二）从探到建，平台搭建有意

古希腊的数学家研究的是圆与内接正多边形和外切正多边形，它们之间又有什么联系呢？我们要研究圆和正多边形的联系，你觉得我们应该从研究圆和正几边形着手呢？学生一致认为从正方形入手，遵循从简单到复杂的原则。教师先让学生先利用圆规和尺子画一画这幅图，先把平台搭建起来，建好模。

师：假设圆的半径为1 cm，你能求出外切正方形的面积和内接正方形的面积吗？

生：圆的面积是π cm2，外切正方形的面积是4 cm2，内接正方形的面积是2 cm2。

师：假设圆的半径为r cm2呢？

生：圆的面积是πr2cm2，外切正方形的面积是4r2cm2；内接正方形的面积是2r2cm2。

在数学课堂中，学生通过自我探索，搭建模型，合作交流，体验数学事实，从而有效地培养结构化思维。

（三）从教材到资源，创造性使用有法

通过分割与转化，借助模型，在变与不变中，找出联系与区别，学生品味到了建模和探究的魅力。在探究的过程中，哪些量变了，怎么变化的，哪些量没有变，正是我们探究的最终目的。从教材到资源，创造性设计练习，并将习题悟透、学透。

1.“已知圆的直径为6 cm，求这个圆的面积”，在解决这个问题时，有一位学生根据圆面积公式的推导过程分步求出结果。请你帮助这位同学补上第三步算式。第一步：3.14×6=18.84（cm），第二步：18.84÷2=9.42（cm），第三步（ ）

A．9.42×6 B.9.42×3.14

C.9.42×（6÷2） D.18.84×（6÷2）

2.把圆平均分成若干偶数等份，剪下来拼一拼，拼成一个近似的长方形，在拼的过程中（ ）不变，（ ）变了。

教师创造性地设计练习来促进学生的深度学习，来帮助学生对知识的深度理解，实现知识结构化、思维结构化、策略结构化，并促进思维全面提升。

三、回研三处，结构化思维相连

数学知识在教材中以一定的结构分布排列，各知识间既有个性又有共性，紧抓素材背后的共性知识进行探究，可达到知识结构和认知结构的同生共长。在学习六年级上册“圆的面积”的基础上，六年级下册又安排了“圆柱和圆锥”，尝试继续建模，挖掘学生思维的深度和广度。

（一）联结处——教学沟通联系

圆柱的表面积指的是圆柱的侧面积+两个底面的面积。圆柱的侧面是一个长方形，这个长方形的长是圆柱底面的周长C，长方形的宽是圆柱的高h，所以圆柱的侧面积=底面周长×高=Ch；两个底面是圆，所以面积之和是2πr2。总之，圆柱的表面积=Ch+2πr2。

在学习了圆柱表面积的基础上，设计了以下练习：求圆柱的表面积：（1）底面周长是1.6 米，高是0.7米；（2）底面半径是3.2 分米，高是5 分米。学生练习后，我统计了一下学生的答题情况，正确率只有35%，于是我利用课件把圆柱表面积的三部分整合在一起，形成了以下模型，如图2 所示：圆柱的表面积=大长方形面积。这个大长方形的长正好是圆的周长C，宽近似于h+r，S=C（h+r），即S=2πr（h+r）。

图2

对所建立模型进行阐述之后，学生还需要对所得的模型进行分析和检验：圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积=Ch+2πr2=2πr×h+2πr2=2πr（h+r）。

应用：对模型的分析要分为两部分进行考虑，模型有哪些优点、哪些缺点呢？

教师让学生用新方法继续练一练上面的两道练习题。学生计算后，都直呼“简单”。可见学生已实现了原有知识结构的一次充盈，完善了自我的认知结构。对于计算圆柱的表面积不再恐惧，计算正确率更高。

（二）区别处——教学回顾审辩

在教学中，我们需要及时回顾与反思，以免以偏概全。数学课程标准解读中指出：作为一名有数学素养的人，不能只知道教会学生如何计算，而应教会学生掌握更广泛的知识和技能，如处理数据信息。培养有数学素养的学生，教师可以在习题信息上巧设计，让学生解决不同类型的题目，可以更多地体会解题思想，尽可能让学生多一扇获取知识的“窗户”。让学生看人教版六年级下册数学第21 页的例题4，提问：这顶帽子的面料我们要计算哪些部分呢？只需要求圆柱的侧面和一个上底面，即只能用圆柱的侧面积+一个圆的面积来计算。如图3 所示。

图3

在教学中，及时教学回顾与审辩，可使学生充分理解数学题型的多变性、构建面积知识体系，让学生运用学到的知识解决不同的数学问题。

（三）伸展处——思维拓展提升

好的活动教学力求设计求变，方法求变。变玩法、变信息、变模型、变图形、变思路等在变中发现不变，感悟知识结构和方法结构的不变。在“模型—练习”这样的循环中，模型结构得以固化，形成了解决这一类题目的方法、策略、结构。

这张图是圆柱的表面积展开图，求圆柱的表面积。

图4 是一张圆柱的侧面展开图，让学生找一找它的长、宽和圆的半径有什么联系。经过小组合作讨论后发现：如果圆的半径用字母r 表示，宽即圆柱的高，可以用4r 表示，长等于底面周长+2 条半径（2πr+2r）。根据已知的条件得出2πr+2r=10.28，我们就可以求出它的半径，圆柱的表面积就迎刃而解了。

图4

知识的不断输出、迁移、迭代，提出新策略的过程就是知识内化、方法优化的过程，学生的能力结构也在逐渐形成，思维得到了进一步拓展与提升。教师要将众多要素进行整体性的关联，充分考虑学生已掌握什么样的知识，其自身具备什么样的能力，从而更大限度地调动学生参与的积极性，让学生利用课程中已有的知识，关联已有的知识解决问题，形成新的知识与能力，把数学教学的重点放在各要素整体系统的运行上，使其成为一个结构化的学习系统。

对于小学数学结构化学习，教师仍需要不断进行探索和实践，以此来符合当下对于优质数学教学的需求，也是对数学这门学科的追求。教学中，教师要将知识在整体上进行融合，改进学生的学习方法，从而促使学生数学素养的提升。