解题思维路径优化在中考数学备考中的应用研究

曹敏

【摘  要】  本文围绕中考数学备考中学生面临的解题挑战展开，深入探討解题思维路径的优化方法.研究指出，尽管传统解题方法在数学学习中具有基础性作用，但在某些情境下可能并不是最高效的.通过引入并深化逆向思维法、分析与分类思维法以及创新思维法，本文旨在为学生提供更多元、更灵活的解题策略.实践证明，这些方法不仅有助于提高中考数学的得分率，还能培养学生的创新能力和批判性思维，为他们的长远发展奠定坚实基础.

【关键词】初中数学；创新思维；解题教学

中考数学作为学生升高中的关键一关，不仅检验了学生的基本数学知识与技能，还在很大程度上体现了学生的解题思维和方法.随着社会发展和教育体系的进步，传统的解题方法在中考备考中的应用已呈现出一定的局限性[1].学生在备考阶段往往面临思维障碍，而这种思维障碍往往导致他们在考试中无法完全发挥自己的实力.因此，对于学生来说，掌握并优化解题思维路径对其中考成绩有着至关重要的影响.本文将深入探讨学生在中考数学备考过程中的挑战和解题思维路径的优化方法，旨在为学生提供更为有效的备考策略，提高他们的中考数学成绩.

1  学生在中考数学备考的常见挑战

1.1  传统解题方法在中考备考中的局限性

中考数学的题型和难度都在逐年调整，传统的解题方法多年来为大部分学生提供了一套相对稳定的答题技巧和思维模式.然而，这些传统的方法在应对现今的中考数学题目时，逐渐暴露出其固有的局限性[2].首先，传统解题方法往往偏重于固定模式和步骤，缺乏针对性和灵活性.面对一些新型或变种题目，这种按部就班的方法可能不适用，甚至可能导致学生陷入解题的误区.其次，现代的中考数学题目更加注重考查学生的实际应用能力和综合分析能力.而传统的解题方法主要集中在技巧训练和公式运用上，难以满足对学生综合能力的考查[3].此外，传统方法中很多答题技巧与公式可能会被混淆或遗忘，而过度依赖这些技巧和公式的学生，在考试中一旦面临不熟悉的题型或忘记某一关键步骤，容易产生心理恐慌，影响整体的答题状态.

1.2  学生在备考中遇到的思维障碍

在备考过程中，学生常常遭遇多种思维障碍，限制了他们的学习效率和解题能力.首先，固化的思维模式是备考中的一个主要障碍.许多学生习惯于遵循固定的解题步骤和策略，当遇到不符合这些固有模式的题目时，便感到困惑和不知所措.其次，缺乏批判性思维和分析能力是另一大障碍[4].中考数学题目越来越注重对学生逻辑推理和分析能力的考查，而一部分学生在此方面的培训较为薄弱，导致他们在面对需要深度分析的题目时显得手足无措.再者，对于错误的过度焦虑也是影响学生备考的一个思维障碍.对错误的害怕和对失败的畏惧，往往导致学生在备考中过于保守，害怕尝试和创新，从而错过了许多提高和完善自己的机会.此外，部分学生存在依赖性思维，过于依赖教材、习题集和教师的指导，缺乏自主学习和思考的能力，导致他们在独立解题时常常感到力不从心[5].

1.3  思维路径对中考成绩的影响

在中考数学中，题目不仅考查学生对知识点的掌握程度，更在深层次上考核学生的思维质量和解题策略.思维路径，作为解题过程中的关键组成部分，对中考成绩产生了深远的影响.

首先，明确而合理的思维路径能够指导学生迅速并准确地理解题意.当学生面对复杂的题目时，一个清晰的思维路径能够帮助他们迅速定位关键信息，判断题目的类型和解题的方向，从而提高解题的效率.

其次，有效的思维路径能够帮助学生避免陷入解题的误区.一些题目可能设计有迷惑性，或是故意设置陷阱，一个合理的思维路径可以为学生提供一个避免误解的指引，减少不必要的计算错误.

再者，思维路径的多样性意味着学生具备多种解题策略.在面对不同类型的题目时，学生可以根据题目的特点选择最适合的思维路径，这种灵活性使学生在答题时更为自如，进一步提高答题的正确率.

最后，思维路径的深度和广度直接关系到学生对题目的深入理解.深入的思维路径能够帮助学生挖掘题目背后的深层次逻辑和规律，从而更好地把握题目的实质，达到事半功倍的效果.

2  解题思维路径的优化方法与应用

2.1  逆向思维法

逆向思维，即从问题的答案或已知条件出发，倒推问题的其他信息或未知条件.逆向思维强调从已知答案或结果出发，回溯至题目的初始条件，这与传统的从问题到答案的线性思维方式相反.逆向思维训练学生打破固有的思维模式，培养灵活性和开放性.在逆向思维中，学生必须从整体上考虑问题，综合利用已知信息，这有助于培养学生的宏观思考和综合分析能力.下面将结合例题1进行详细说明.

例1  如图1，已知抛物线y=x-3x-1.75的顶点为D，并与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．

（1）求点A，B，C，D的坐标．

（2）取点E（-1.5，0）和点F（0，-0.75），直线l经过E，F两点，点G是线段BD的中点．

①判断点G是否在直线l上，请说明理由．

②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解  （1）令Y=0，

则，

整理得，

解得，

所以A （），B （），

令 X=0，则Y=，

所以C，，

.

（2）①

解得

所以直线L的解析式为，

所以线段BD的中点G的坐标为（），

当X=时，

所以点G在直线l上.

②在抛物线上存在点M，设抛物线的对称轴与X轴的交点为H，则H的坐标为（）

直線L是线段BD的垂直平分线，

点D关于直线1的对称点就是点B，

点M就是直线DE与抛物线的交点，

设直线DE的解析式为，

解得

所以直线DE的解析式为

联立，

解得，

符合条件的点M有两个，是（）或（）

2.2  分类思维法

分类思维法是一种将问题进行分解、分类的思维策略.通过对问题的细致分析，识别问题中的关键要素，并根据不同的条件或特点将其分类，以便分别求解.这种方法的优势在于，它能帮助学生对复杂问题有条不紊地进行思考，进而找到解决问题的方法或策略.下面，将结合例题进行详细说明.

例2  在△ABC中，C=90，AC=3，BC=4.若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___.

（1）利用勾股定理计算斜边AB的长度：

，

，

.

（2）为了找到与斜边AB只有一个公共点的圆的半径r的范围，需要找到从C点垂直到斜边AB的距离.由直角三角形的性质，面积也可以表示为：

，

斜边AB上到点C的垂直距离（设为h）可以使用以下公式得出：

，

，

.

（3）分析与分类

分类1  考虑当圆恰好与AB相切的情况.此时，半径r的最大值为h = .

分类2  考虑当圆完全位于△ABC内并且与AB不相交的情况.此时，半径r的最小值是0.

综合  因此，当圆与斜边AB只有一个公共点时，r的取值范围为[0，）.

2.3  创新思维法

创新思维法是一种不拘泥于传统解题方法，而是通过独特的观点、新的分析角度或利用不常用的数学工具来寻找解题的方法.它鼓励学生摒弃固有思维模式，勇于尝试新的解题途径，从而在复杂或新型问题面前找到答案.这种方法有助于培养学生的创新能力、逻辑思维和深入思考问题的能力.下面，将结合例题进行详细说明.

例3  定义：有一组对相等另一组对边不相等的凸四边形叫做“对等四边形”，如图2，在△PBC中，ZPCB=90°，点A在边BP上，点D在边CP上，如果BC=11，=12，AB=13，四边形ABCD为“对等四边形”，那么CD的长为      .

解  点D的位置如图3所示.

①CD=AB，

此时点D在D的位置，

CD=AB-13.

②若AD=BC-11，此时点D在D、D的位置，

AD=AD=BC-11，过点A分别作AELBC，AFLPC，垂足为E，F，

设，，

，

即，

解得：（舍去），

由四边形AECF为矩形，可得AF-CE-6，CP-AE=12，

在中，，

，

综上所述，CD的长度为13、或.

4  结语

在众多备考挑战中，解题思维路径的优化显得尤为关键，它涉及学生如何以更高效、准确的方式理解和解决问题.传统的解题方法虽然稳固，但并不总是最高效的.逆向思维法、分析与分类思维法以及创新思维法为学生提供了不同的思考框架，使他们在面对复杂或不熟悉的问题时仍然能够稳健前行.在中考的数学备考中，鼓励学生尝试这些新的解题方法将有助于培养他们的思维敏捷性和创新能力，不仅对中考，更对他们未来的学术和职业生涯都有深远的影响.

参考文献：

[1]汪洪潮，孔维华.渔在哪里 如何授之——以2019年安徽省中考数学试题为例谈解题教学[J].中学数学教学，2020（03）：19-21.

[2]郑小芬.活用解题策略方入思维胜境——例谈数学中考压轴题的解题策略[J].数学之友，2023，37（05）：94-97.

[3]杨新芸，王超.指向高阶思维的初中数学解题教学——以2021年苏州中考第18题为例[J].中学数学月刊，2022（09）：20-23.

[4]郑乐.中考数学压轴题的解题策略和技巧浅析[J].试题与研究，2020（07）：21.

[5]陈跃刚.浅议初中生中考数学解题思维的培养[J].试题与研究，2019（22）：98.