大概念下初中数学几何章起始课的实践与思考——以“全等三角形章起始课”为例

沈 姗

(福建省福州第十八中学,福建 福州 350001)

大概念又称之为大观念,处于学科教学的核心地位,可以统筹与整合比较零散的学科知识.不仅可以明确本学科的核心知识和教学任务,还可以呈现本学科的内心概念及观点,有机融合学科关键内容与思想,建构出具有系统性较强的学科框架.在初中数学几何章起始课教学中,教师需帮助学生构建本章知识体系,引发他们的学习兴趣,适当引领学生学习本章知识用到的数学方法,使其掌握本章最开始部分的知识内容,为后续学习做铺垫[1].

1 教材内容分析

本文以人教版初中数学八年级上册第十二章“全等三角形章起始课”教学为例,学生之前已经了解不少有关三角形的基础知识,本节课主要学习全等三角形的概念、表示方式,以及边角对应关系等内容.由于三角形是一个基础性的平面几何图形,所以学习本课知识,既是接下来学习如何判定三角形全等和运用全等三角形的性质进行解题的基础,也是证明线段、角相等的有效方式.故本节内容在初中数学教材中占据着相当关键的地位,具有承前启后的重要作用.

2 具体教学流程

2.1 观察图形,引入新知

教师先在多媒体课件中出示如图1所示的三组图片,要求学生认真观察,说一说每组图片中两个图形之间的关系与特点,他们结合所学几何知识与经验,从形状与大小两个角度展开观察,发现第(1)组与第(2)组中的两个图形不相同,通过对比自然而然得出第(3)组中两个图形大小、形状完全相同,由此揭示全等图形的概念,使其了解到可以完全重合的两个图形就是全等图形.

图1 三组关系与特点不同的图片

2.2 变化图形,揭示概念

教师先利用信息技术手段演示三角形的三种全等变换,即为平移、翻折与旋转,如图2所示.引出问题:变换以后的三角形和原三角形之间有什么关系?原因是什么?大家据此能够得到哪些结论?由学生认真观察、思考后,指出当一个三角形经过平移、翻折或旋转变换以后,其形状与大小均不会发生任何变化,因而变换前后的两个三角形是全等关系,进而发现全等三角形同位置没有关系,只同三角形的大小与形状有所关联,它们能够采用平移、翻折或旋转的方法让两个三角形刚好全部重合起来.

图2 三角形的三种全等变换

接着,教师设置问题:当两个三角形完全重合到一起以后,两者的哪些元素也就重合起来?指导学生平移一个三角形,让它与另一个三角形重合,观察并指出重合的两个三角形顶点、边与角,使其思考与体会几何图形中的“对应”关系,让他们知道重合起来的点就是对应点,相应的就是对应角与对应边.随后教师提问:将两个完全一样的三角板重合以后放在课桌上,使其中一个围绕某顶点进行旋转,一共有多少种不一样的位置关系?要求学生画出图形且说出对应边与对应角,继续提问:怎么用数学符号来表示两个三角形的全等?课件中同步出示三角形ABC与三角形DEF,如图3所示.教师引导学生观察重合的两个三角形对应边与对应角的关系,并告知他们表示方法,记作△ABC≌△DEF,读作:三角形ABC全等于三角形DEF,应注意对应顶点要写在对应的位置上面.在这一环节,教师通过演示课件帮助学生建立“对应”的概念,使其学会掌握全等三角形的表达方式,包括写法和读法,会使用全等符号,借此培养他们把文字语言转变为数学符号语言的能力.

图3 重合两个三角形对应边与对应角的关系

之后,教师给出问题:全等三角形的对应边、对应角存在何种关系?学生思考后可能会回答:全等三角形的对应边相等、对应角相等,追问:大家是否能够直接从记作中判断出所有的对应点、对应角与对应边?提示他们运用符号语言来表示,如因为△ABC≌△DEF,所以∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,AB=DE,BC=EF,AC=DF.然后教师组织学生以小组为单位展开合作学习,并亲自动手操作,使一个三角板围绕某顶点进行旋转,根据操作画出不一样的位置关系.如图4所示,找出两个全等三角形的对应点、角、边,学生发现不管哪种图形,点A与点A是对应顶点,点B与点E是对应顶点,点C与点D是对应顶点;AB边与AE边是对应边,AC边对应AD边,DE边则对应CB边;∠BAC的对应角是∠EAD,∠B的对应角是∠E,∠C的对应角是∠D,同时让学生归纳找出全等三角形对应边、角的窍门,如(1)大边、大角分别对应大边、大角;(2)两个三角形的公共边、公共角属于对应边、角,对顶角属于对应角,等等.

图4 一块三角板绕着一个顶点旋转的四种位置关系

随后教师设置练习题:已知△ABE≌△ACD,如图5所示,其中∠ADE=∠AED,∠B=∠C,那么这两个三角形其它对应角与对应边分别是什么?学生结合刚才所学的全等三角形的性质在小组内讨论和交流后找出对应关系,即为:∠BAD=∠CAE,∠ADB=∠AEC,AB=AC,AD=AE,BD=CE.由此,进一步培养他们对图形的识别能力,深化理解和掌握全等三角形的性质,同时改善小组协作学习能力与团队意识.

图5 △ABE≌△ACD

2.3 设计变式,讲评例题

教师利用信息技术手段,以动画形式演示出两个全等三角形通过变换产生不一样组合的情况,出示问题:

(1)利用全等符号把图6中所有的全等三角形找出来;

(2)指出在(1)中找到的全等三角形的对应关系.

图6 多个全等三角形

学生观察、思考以后将会写出以下答案:

(1)全等三角形有△ABE≌△ACD,△ABF≌△DCE.

(2)在△ABE≌△ACD中,∠ABE=∠ACD,∠AEB=∠ADC,∠A是两个三角形的公共角,AB=AC,AE=AD,BE=CD;在△ABF≌△DCE中,∠ABF=∠DCE,∠AFB=∠DEC,∠BAF=∠CDE,AB=DC,AF=DE,BF=CE.

接着,教师设计变式练习:

(1)在图6中,设CD和BE相交于点O,如果△BDO≌△CEO,请指出这两个三角形的对应角与对应边;

(2)在图6中,把BC连接起来,写出一组全等三角形,并写出这两个全等三角形的的对应角与对应边;

(3)在图6中,把AC、BD连接起来,你们还可以找到哪几组全等三角形?并明确对应关系.

学生能够得出下列结果:

(1)在△BOD≌△COE中,∠BOD=∠COE,∠DBO=∠ECO,∠BDO=∠CEO,BD=CE,BO=CO,DO=EO;

(2)△BCD≌△CBE,∠BCD=∠CBE,∠BDC=∠CEB,∠CBD=∠BCE,BC=CB,即为这两个全等三角形的公共边,BD=CE,CD=BE;

(3)△ACF≌△DBE,∠ACF=∠DBE,∠CFA=∠BED,∠CAF=∠BDE,AC=DB,AF=DE,CF=BE.

2.4 课堂小结,深化认知

在本环节中,教师带领学生一起总结全等三角形中寻找对应角、边关系的窍门.如在两个全等三角形中,大边或者大角对应的便是大边或者大角),对顶角与公共角都属于对应角,公共边属于对应边,等等.

总的来说,在大概念下的初中数学几何章起始课教学活动中,教师应对章起始课高度重视与格外关注,要投入更多的精力与时间来设计这节课,为学生学习本章知识做好导向工作,实现上文中提到的几个目标,让学生对接下来的学习内容充满强烈的求知渴望,推动他们健康、全面的发展.