带p-Laplace算子的离散混合边值问题负凸解的存在性*

赵亚丽， 陈天兰

西北师范大学数学与统计学院， 甘肃 兰州 730070

设 Z 是整数集，对任意a，b∈Z 且a

Ercole et al（.2001）运用锥上的不动点定理研究了一类带p-Laplace 算子的离散混合边值问题

正解的存在性，其中λ> 0 是参数，T为固定的正整数，T≥1，且F： [1，T]Z×[0，+ ∞ )→[0，+ ∞)连续.Tian et al.（2008）运用临界点理论研究了一类带p-Laplace 算子的离散 Neumann 边值问题

负 凸 解 的 存 在 性.若u(t) 满 足 问 题（1）～（2），且 对 任 意t∈[2，T- 1]Z有u(t) ≤0，同 时，由 于t∈[2，T- 1]Z有 △2u(t- 1) ≥0，则u(t) 是问题（1）～（2）的负凸解.运用变量代换υ(t) = -u(t)，则问题（1）～（2）转化为

显然，问题（3）～（4）正凹解对应问题（1）～（2）负凸解，因此，只需讨论问题（3）～（4）正凹解的存在性，进而获得问题（1）～（2）负凸解的存在性.本文总假定：

(H0)f： [2，T- 1 ]Z×[0，+ ∞ )→[0，+ ∞)连续.

本文主要结果如下.

定理1 假定 (H0) 成立且f满足

在[2，T- 1 ]Z上一致成立，且

其中M1> 1，则问题（1）～（2）至少存在一个负凸解.

1 预备知识

引理1（Krasnoselʹskiǐ，1964） 设X是Banach空间，K是X的非空闭子集，Ω是X的一个子集，记

2 主要结果的证明

定义K上的非线性算子A，

故引理1中（i）成立.

且 2φ-1p[(T- 3)ϕ2(σd)]≥σd.故条件(H2)成立.

由定理1可知，问题（3）～（4）至少存在一个正凹解，则问题（1）～（2）至少存在一个负凸解.定理3的证明 类同定理2 的证明.