构造函数法在比较大小试题中的应用与思考

邱嘉怡

(华南师范大学数学科学学院,广东 广州 510631)

纵观近两年的高考数学真题以及各地模拟试卷发现,比较大小试题多次出现在选择题中,且通常为7～12题的位置.这是一种命题的新特征,但本质上此类题型考查的仍是构造函数、求导以及导函数单调性的应用.研究如何运用构造函数法解决比较大小问题,可以帮助学生掌握此类题型的基本求解思路以及解题关键.以高考真题及其变式为例进行问题的讨论,能够帮助学生击破解题难点,充分抓住构造函数的本质,加深利用导函数讨论函数单调性方法的应用,并渗透相关数学思想方法.

1 数学问题分析

A.a

C.b

1.1 初步分析

观察题目,涉及数值类比较大小问题,常用的解题方向为:插入中间值或通过同一函数的单调性进行比较.通过简单计算a,b,c的大小可以发现:

1=lne>ln1.012=a=2ln1.01>2ln1=0,

1>b=ln1.02>ln1=0,

a,b,c均介于0和1之间,因此无法通过插入中间值的方法进行比较.

其次,由于a,b均为以e为底的对数函数,故可以考虑通过ex在(0,+∞)上的单调性比较a,b的大小,然后再分别比较c与a,b的关系即可.

1.2 解题关键

本题的解题难点在于如何比较c与a,b的大小.为此,通过观察c与a,b之间的共性,构造辅助函数,并利用辅助函数的单调性进行大小的比较,正是解题的关键所在.而对于辅助函数的构造,要点在于把握数值特点与结构特征,通过对数字做适当变形,找出需比较的两数之间具有共性的特殊值,将其视为新函数自变量的具体赋值,并基于两数作差后的结构构造函数[1].

1.3 解答过程

由于a=2ln1.01=ln (1.01)2=ln (1+0.01)2=ln(1+2×0.01+0.012)>ln1.02=b, 因此只需分别比较c与a,b的大小即可.

由于a=2ln1.01=2ln(1+0.01),

记d(x)=2ln(1+x),则a=d(0.01);

且容易发现,d(0)=0,h(0)=0.

由于1+4x-(1+x)2=2x-x2=x(2-x),

所以当0≤x≤2时,1+4x-(1+x)2≥0.

从而f′(x)≥0,f(x)在[0,2]上单调递增.

故f(0.01)>f(0)=0.即d(0.01)>h(0.01).

从而a>c.

由于b=ln1.02=ln(1+2×0.01),

记p(x)=ln(1+2x),则b=p(0.01),p(0)=0.

由于1+4x-(1+2x)2=-4x2,

故当x≥0时,有1+4x-(1+2x)2≤0.

从而g′(x)≤0,g(x)在[0,+∞)上单调递减.

故g(0.01)

从而b

综上,b

2 解题方法讨论

基于上述问题的分析与讨论,可将比较大小问题的一般求解思路与涉及知识内容整合成如图1所示的知识框图.

图1 知识框图

事实上,这类题型的求解重点与难点主要在于构造函数法的运用.题干中的数值一般会涉及幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等几类常见的基本初等函数.如何迅速发现数之间的共性,找出自变量x,并构造出相应的辅助函数,需要有一定的技巧性以及对数值特点与结构的敏锐观察.除此之外,会用导数或初等函数的单调性研究所构造函数的单调性也是解题关键.

3 变式训练

解析由于2ln0.9=ln0.92=ln 0.81>ln0.8,

故a=-2ln0.9<-ln0.8=b.

因此只需分别比较c与a,b的大小即可.

由于a=-2ln0.9=-2ln(1-0.1),

记d(x)=-2ln(1-x),则a=d(0.1);

且容易发现,d(0)=0,h(0)=0.

从而f(0.1)

接着, 由于b=-ln0.8=-ln(1-2×0.1),

记p(x)=-ln(1-2x),则b=p(0.1),p(0)=0.

从而g(0.1)

综上,c

变式2 (2022年全国甲卷理科数学12)已知则( ).

A.a

综上,a

构造函数法的运用有助于学生发展良好的数学认知结构.学生利用已有的数学知识经验,通过对问题情境的感受、领会、理解进行整合重组,构造出一个新的数学对象——辅助函数,并利用辅助函数实现对问题的转化与表征,最后通过问题解决策略,对辅助函数单调性的研究实现问题解决.在这一问题解决的过程中,学生积累了新的数学知识与活动经验,从而使原有的数学认知结构得到丰富与发展.