借助整体思想方法 助力数学解题教学

曹如祥

(福建省上杭县第一中学,福建 龙岩 364200)

整体思想方法是基于问题整体视角切入,突出对问题整体结构的分析与改造,找到问题的整体结构特征,善于采用“集成”的眼光,将问题中的某些式子或者图形看作是一个整体,把握好彼此之间的联系,有意识、有目的地进行整体处理,从而找到简便的解题思路与方法.在高中数学解题教学中,教师应充分借助整体思想方法的优势,助力学生采用整体思想分析题意,使其快速、精准地找到解题切入点,降低试题难度,驱使他们轻松、高效地解题[1].

1 借助整体代入方法,助力数学解题教学

例1 已知函数f(x)=ax3+bsinx+2,f(-1)=10,那么f(1)的值是什么?

分析本题既可以使用常规方法,也可以采用整体代入的方法.当难以从已知条件中找到题设的未知量,无法发现条件与题设之间的关系时,采取整体代入法可以把题设中的未知量用其它含有未知量的式子来代替,最终达到消元求解的目的.

解法1 根据f(-1)=10可以得到

f(-1)=a(-1)3+bsin(-1)+2=10.

即-(a×13+bsin1)+2=10.

则a×13+bsin1=-8.

所以f(1)=a×13+bsin1+2=-6.

解法2 可设φ(x)=ax3+bsinx,则

f(x)=φ(x)+2.

根据题意可知φ(x)是奇函数,

根据f(-1)=10能够得到

f(-1)=φ(-1)+2=10.

所以φ(-1)=8.所以φ(1)=-8.

所以f(1)=φ(1)+2=-8+2=-6.

2 借助整体换元方法,助力数学解题教学

分析解答这道题目时可使用整体换元法,将所求△AQB面积的最大值问题变得简单化,转变成一个求二次函数最值类的问题,最终顺利求出△AQB面积的最大值.

(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.

根据△1>0可得m2<4+16k2.

①

结合韦达定理可得

②

即0

3 借助整体运算方法,助力数学解题教学

例3已知数列{an}的通项公式an=(2n-1)xn(x≠1),那么该数列的前n项和Sn是什么?

分析处理这道题目时,可以直接在数列的和式左右两边同时乘以x,再采用错位相减的方式,求出数列前n项和Sn的表达式,结合整体思想把代数式进行变形,使之呈现出某种规律,然后进行整体运算,达到减少运算的目的.

解析数列{an}的前n项和

Sn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn.

③

将③式两边同乘以x整体变形后得

xSn=x2+3x3+5x4+…+(2n-1)xn+1.

④

③-④,得

4 借助整体设元方法,助力数学解题教学

例5 求值sin10°sin30°sin50°sin70°.

分析本题题干十分简单,如果直接计算学生往往无从下手,此时教师可提醒他们采用整体设元的方法,设出新的方程,再结合正弦的二倍角公式把非特殊角的三角函数转变成特殊角的三角函数,从而轻松求得答案.

5 借助整体构造方法,助力数学解题教学

分析解答本题时,教师可以带领学生基于三角函数的相关公式展开整体思考,使其将已知条件作为整体进行构造和计算,不仅可以减少计算步骤,还降低解题难度,这也是处理此类问题的最佳方案.

解析根据题干中提供的已知条件得

6 借助整体补形方法,助力数学解题教学

例7 如图1所示,已知三棱锥P-ABC的三组对棱相等,其中PA=13,PB=14,PC=15,那么该三棱锥的体积多少?

图1 三棱锥P-ABC

分析处理这一题目时,由于题目中给出三棱锥的三组对棱相等,可以联想到长方体的对角线,于是教师可以引导学生使用整体补形的方法进行解题,使其结合三棱锥的特征,通过添加辅助线的方式把该三棱锥补充成一个如图2所示的长方体CDBE-GAFP,问题也就迎刃而解.

图2 由三棱锥P-ABC构成的长方体CDBE-GAFP

解析根据题意将三棱锥P-ABC补充成一个长方体CDBE-GAFP,则三棱锥的三条棱分别是长方体的面的对角线.

设AD=a,DB=b,DC=c,由此能够得到

a2+b2=152,

b2+c2=132,

a2+c2=142.

把这三个式子联立得到一个方程组,解之得

则VP-ABC=VCDBE-GAFP-4VA-BCD

总的来说,在高中数学教学实践中,解题训练既是一个常规环节,又是重要构成部分.常用的解题方法有很多,教师除带领学生掌握一些基本解题方法以外,还要注重整体思想方法的应用,充分借助整体思想方法的优势,根据实际解题需求灵活采用整体代入、换元、运算、设元、构造、补形等多种方法,使其优化解题过程,全力提高解题效率[2].