例谈“蒙日圆”考查的三个角度

金 毅

(呼和浩特市第二中学,内蒙古 呼和浩特 010000)

“蒙日圆”是一种非常重要的几何模型,在高考和数学竞赛中均有考查.本文从蒙日圆的轨迹方程出发,给出与蒙日圆有关的数学问题,以求多方面展示“蒙日圆”的考查特点,以便我们从不同的角度了解这种轨迹.

1 “蒙日圆”与轨迹

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线互相垂直,求点P的轨迹方程.

思考1 对例1一般化结论的探讨.

化简,可得s2+t2=a2+b2.

点评求“蒙日圆”的方程本质上属于解析几何中的轨迹方程问题.从结论1与结论2可以看出,椭圆与双曲线都存在对应的一个蒙日圆.从方程的形式上看,两种曲线的蒙日圆方程有较强的相似性.本文的证明方法是基于对斜率的构造,所以追求方程在未知数上的次数相等,便于构造斜率.值得一提的是,在证明结论2的过程中,两条切线AP,BP斜率一直存在,故不必讨论斜率不存在的情形.

2 “蒙日圆”与斜率

(1)求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程;

(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆C的一条切线MA,A为切点,延长MA与“蒙日圆”E交于点D,O为坐标原点,若直线OM,OD的斜率存在,且分别设为k1,k2,证明:k1k2为定值.

思考2 对例2一般化结论的探讨.

事实上,根据椭圆本身的特点,我们可以得到基于结论3的一个推广.

结论4 在结论3基础上,当OA,MA斜率均存在时,k1k2=kOAkMA.

类似结论3,4的情况也在双曲线中成立.

3 “蒙日圆”与面积

(1)求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程;

(2)若斜率为1的直线l与“蒙日圆”E相交于A,B两点,且与椭圆C相切,O为坐标原点,求△OAB的面积.

思考3对例3一般化结论的探讨.

回到例3,易得a2=3,b2=1,代入结论6,可得面积为2.

类似结论在双曲线中也成立.

(a2k2-b2)x2+2a2kmx+a2m2+a2b2=0.

点评与蒙日圆有关的面积问题的处理可以与垂径定理、勾股定理相结合,充分利用圆本身的特征解决面积问题,这样的计算方式会极大减少运算量,在较短时间内得到准确的结果.从结果中可以看出这类三角形的面积由椭圆和双曲线的参数以及AB的斜率决定.

“蒙日圆”是一种重要的几何模型,我们通过对轨迹、斜率、面积三个方面的分析,从不同的角度了解了这种曲线,增加了对模型的认识.同样的模型,不同的角度,可以提出不同的数学问题.不同角度的数学问题可以使几何模型的学习变得更丰富、更形象、更生动.在不同的数学问题中,蕴含着不同的处理策略与计算方法,经过一番学习与讨论,可以在方法的选择上增加经验,深刻体会模型本身所体现的数学本质.