关注数学课堂细节，发展学生几何直观——从一节“数轴”新授课的观课说起

■张海华

最近，笔者参加学校组织的青年教师汇报课的观课与评课活动，内容是苏科版数学七年级上册“数轴（第1 课时）”。开课的六位教师都是近三年参加工作的，教学热情高，课前都进行了精心备课，不论是教案、学案的精致呈现，还是课件的精美设计都是值得肯定的。课堂上，教师也能与学生保持积极互动、对话追问。七年级学生刚刚进入初中阶段，对数学充满兴趣，“数轴”的教材内容不算太难，课堂氛围很好。课后带教师父、教研专家们对青年教师们的点赞式课堂予以高度评价。然而，对于数轴这样一个重要的数学工具，如何教出深度？还是引发了笔者的进一步思考。

一、从一节“数轴”新授课的观课说起

1.关于“原点”位置

教师在讲解数轴定义时，给出的数轴都是标准的图形，即原点位于“正中”位置，后续练习时提供的数轴原点也都处在“正中”位置。从学生的画图和练习来看，学生都是这样来画数轴的。比如，教师给出一道练习题，让学生在数轴上表示出-1 和6.5这两个数，结果很多学生画成如图1所示的数轴。

图1

图2

教师在点评或展示学生的作业时，如果能发现如图2所示的画法，应给予学生表扬，这将有利于学生深刻理解数轴三要素之一的“原点”。因为原点并不一定要在直线的“正中”，它只是一个基准，“基准”是一种规定，也是培养学生思维灵活性的重要机会。

2.对“单位长度”的理解

图3

图4

上述讲解方式有利于学生理解“更小”的分数（小数）的表示方法，但是笔者认为，这种方法还不能引导学生深刻理解“单位长度”的本质。比如，我们需要在数轴上表示出（如图4）。这时教师需要引导学生对照数轴定义理解图4是否满足定义中“规定了原点、正方向、单位长度的直线”，这样做能加深学生对数轴定义的理解。为了巩固学生对数轴的理解，教师还可以进一步追问学生“如何在数轴上快速标出2023与-2023”，这个练习可以巩固学生对数轴“单位长度”的理解。

二、关于发展学生几何直观的几点思考

1.教师要不断精进对几何直观的深刻理解

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下称《课标》）指出：几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯，有助于把握问题本质，明晰思维的路径。笔者认为，对于几何直观的理解因人而异，且有一个不断深入的过程。同样对一个概念的呈现与揭示，甚至像上文提到的数轴，这样看似简单的概念，笔者提到的这两处细节与教学建议，不少“老教师”都表示没有做过深入思考。试想，如果教师缺少对这类问题的深入思考，就很难在新授课中为学生“打开一扇窗”。教师还可以多加研究多元表征理论，中学阶段的函数概念的提出，正是多元表征理论的典型例证，函数可以用表格、图像、表达式来表示，教师要有准确的理解，并在讲解这些不同的表示方式时，引导学生从几何直观的视角进行理解。

2.数学概念新授课要重视几何直观的渗透

教师应注重新授课概念的不同预设方式，比如数轴的文字表示方式、图形表示方式，包括数轴的相关概念（三要素）等；与之同类的概念教学，比如平面直角坐标系就可以类比数轴进行；再如，乘法公式的新授课，既要给出文字表示，也要给出符号表示，还可以给出乘法公式的图形直观。

教师在教学设计时的一个重要工作就是进行概念分析，概念分析的常用途径是在各种问题情境中考查学生如何运用概念。以圆周角的新授课为例，当我们结合图形定义圆周角之后，教师要引导学生对照定义学会辨识圆周角，让学生继续探究同弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系，还需分类讨论不同位置关系状态下的圆周角与圆心角之间的数量关系，这也是《课标》所提出的几何直观的重要内涵之一：会根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质。与上文提到的数轴的原点位置关系相关的又一处新授课教学细节，即关于“二次函数的图像和性质”的新授课中，笔者在组织学生画出形如y=x2-6x+15的图像时，引导学生先将其配方成顶点式y=（x-3）2+6，明确它的顶点、对称轴位置，再选取恰当的坐标轴位置，即可画出更合理的图像。

3.数学解题教学时要加强几何直观的演示

不少教师在数学解题教学中都会进行“一题多解”，有效培养学生思维的发散性、灵活性。

为有效发展学生的几何直观，在开展一题多解的解法探究时，教师要特别关注从数、形两个角度对解法进行研究，这样可以让学生既感受到数式演算的严谨性，又能从图形演示的角度看到问题的直观性。在七年级上学期期末复习阶段，以数轴为背景的综合题很多，数轴的“深刻性”还体现在数轴习题的解答过程中有很多数学思想方法，首先就是数形结合（根据不同习题的解法特点，又可细化为以形助数、以数驭形、数形互助）。到八年级学习函数之后，学生又要灵活运用平面直角坐标系来研究函数问题，对学生的数形结合能力和图形直观能力也提出了较高的要求。另外，不少省市中考试卷中，对几何综合题的考查侧重于补图能力的训练，还需要教师在解题教学时培养学生补全图形的能力，而不是直接给出完整图形，只让学生完成“后半段”的解题过程，这样不利于学生几何直观能力的培养，也不利于学生解题能力的提升。