■包 雯
统领课是一章内容正式授课的第一节课,对全章框架、内容、方法、思维等要素进行梳理,是承载整章教学内容的先导课,具有统摄作用,旨在让学生“先见森林,再见树木”。
一元二次方程知识量大,复杂程度高,是更深层次上对实际问题中含有未知数的等量关系的表达方式,也是继续学习一元二次不等式、二次函数及二次曲线的重要基础。教师要加强对单元统领课的重视和研究,从培养学生核心素养的角度让学生会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界。
弗赖登塔尔将“数学化”分为水平数学化和垂直数学化两种形式。水平数学化,是学生可以运用教学工具发现和解答生活情境中的问题;垂直数学化,是在数学系统内再组织的过程。简单来说,水平数学化是从现实世界走进符号世界,而垂直数学化是在符号世界中前进。教师对两种数学化重视程度有差异,会在教学实践中发生权重分配上的偏差。因此,两种不同维度的数学化如何合理地分配权重,也需要根据具体教学内容进行微调。就一元二次方程统领课而言,教师既要引导学生提炼实际问题中的数学成分,将实际问题向数学问题转化,让学生经历“分析→提炼→抽象”的过程,实现水平数学化的顺利过渡;也要引导学生对研究策略和路径进行迁移,建立垂直数学化的探究路径,培养学生的数学思维方式,渗透数学思想方法。
(1)创设教学情境,让学生学会用数学眼光观察现实世界
情境 小明购买了16m 的篱笆,计划围一个矩形花圃。看着12m 的围墙,小明陷入了沉思……
【设计意图】设计的情境开放程度大,入口宽,学生极有可能“走”向二次函数。如何从函数一步步“走”进二次方程,对教师课堂应变能力是极大的考验。如此开放的设计,是希望最大限度引导学生用“数学眼光”观察现实世界,提出有“数学味道”的实际问题,将实际情境与数学表征进行转化。
(2)设计问题串,让学生学会用数学思维思考现实世界
师:怎样围才能使矩形花圃的面积最大?试一试。
生1(预设):从充分利用围墙的角度考虑,如图1,当AB=2时,S最大,S=24。
图1
师:这时面积是最大的吗?
生2:从“围成正方形面积最大”的经验出发,如图2,当AB时,S最大,S=。
图2
师:这是最大的面积吗?还能围成其他形式的矩形吗?有多少种可能?
师:你还能找出比图2 面积更大的矩形吗?试一试。
【设计意图】如果仅停留在“最大化”的问题上,本题只能算是带有数学味道的“生活化”问题。教师应顺着学生的想法,沿着“最大化”这一优化路径,引导学生尝试、探究,在反复试错中找到解决问题的数学工具,促进学生深度思考。学生通过反复计算,在试图找出“最大化”方案的过程中,将生活化问题抽象成数学问题,在这个过程中,学生思维已经从“生活化”转向“数学化”。
(3)建立数学模型,让学生学会用数学语言表达现实世界
通过尝试,学生发现,无论是“充分利用墙的长度”,还是“围成正方形”,都不能使围成的矩形面积最大。
生3:根据运用方程解决问题的经验,我们可以设AB=xm,BC=(16-2x)m,面积为x(16-2x)=-2x2+16x=-2(x-4)2+32,当x=4时,面积最大,为32。
【设计意图】“围花圃”这一情境的创设,让学生经历从生活世界走向符号世界,经历将实际问题转化为数学问题的过程。从“用数学的眼光观察现实世界”,到“用数学的思维思考现实世界”,再到“用数学的语言表达现实世界”,学生结合已有经验形成功能更强、结构更复杂的新模型。
(1)从数学概念到新数学概念的平行结构探究,完成“整式方程”体系的完整建构
师:这是我们学过的方程吗?我们学过哪些方程?你可以给这个方程下个定义吗?整式方程的命名通常遵循什么规则?
【设计意图】教师通过引导学生对一元二次方程概念内涵的类比研究,渗透类比思想,使学生对方程中涉及的“多元”“高次”有了进一步认知,同时完善整式方程和分式方程的概念体系,为更多类型方程的探究奠定了基础,也为探究一元二次方程提供了一致的探究路径,进而推广到对整式方程概念内涵的探索。
(2)探究路径的迁移
师:我们对一元二次方程可以进行哪些方面的研究?
【设计意图】教师引导学生将方程的研究策略和研究路径进行迁移,即:定义→解→解法→应用,确立“垂直数学化”这一预设目标,让学生建立一般化的研究策略、路径,对一元二次方程做进一步探究。
(3)在“消元”和“降次”两个方面统一化归思想
师:回顾其他方程的解法,你怎么求解一元二次方程?怎样降次?这些“降次”的方法适用其他一元二次方程吗?
【设计意图】结合“消元”“化整”的经验,学生顺理成章地将“化归”思想迁移,“降次”应运而生。
(4)对比研究,完善方程“解法系统”的完整性建构
问题1 解方程:(1)(x+1)3+8=0;(2)-3=0。
师:这些方程的解法有什么共同的数学思想吗?
【设计意图】从“一元”到“多元”、从“一次”到“高次”、从“有理”到“无理”,学生经历不同方程解法的对比分析过程,发现不同解法中蕴含着相同思想——“化归”思想,完善方程“解法系统”的完整性建构,实现数学思想的再度升华。
(5)建立方程与函数的联系,培养学生数学“区块链”意识
师:是否可以围成比32m2更大的矩形呢?随着x的变化,S也在变化,怎样才能围成最大矩形?
【设计意图】回归问题情境,让学生体会方程是用来刻画现实世界的模型,也是用于解决现实问题的数学工具。通过引导学生对数量关系中“变化而变化”的思考,学生主动挖掘新函数模型,建立方程和函数“区块链”的意识。
良好的统领课教学可以帮助学生建立知识框架,提高学习效率,厘清本章所涉及的基本数学问题、数学方法和数学思想。同时,学生可以站在一个更高的位置,纵观全局,无论对水平知识体系的横向迁移,还是对垂直知识体系的纵深推进,都能得心应手。统领课教学就是“先见林,再见树”;如一盏“明灯”,为后续学习指明方向,它照亮了数学学习之路,让学生更加明确做什么、怎样做以及为什么。
当然,统领课只明确学习主线和方向远远不够,更应结合相互关联的“区块链”,引导学生主动对数学知识、数学模型及数学思想进行“链接”,对数学知识乃至整个数学系统溯本求源,在激发学生探究欲望的同时,也让学生感受数学思想方法的美妙之处。通过一步步、一层层的探索,对比,联结,数学知识系统变得更加完整,数学方法变得更加完善,学生逐渐养成独特的“数学眼光”、深度的“数学思维”和精准的“数学表达”,从而最终落实数学核心素养的养成。