测电源电动势和内阻的5种方法

金世庆

(广西壮族自治区北海市合浦县第一中学)

高中物理的电学实验是高考必考内容,随着高考的不断改革,基于问题情境的电学实验也不断推陈出新,但无论课程怎么改,高考怎么变,题型怎么新,电学实验都是以考查学生对基础实验原理的理解和基本实验仪器的使用为出发点,以考查学生物理学科核心素养为目的.

测量电源电动势和内阻是中学物理实验教学中的重要内容之一,在历年高考物理试题中,测量电动势和内阻实验方法一般有伏安法、伏阻法、安阻法.这三种方法都源自闭合电路欧姆定律,通过电路的变化和拓展,又衍生出安安法、伏伏法.这5种方法归纳如表1所示.

表1

1 伏安法

在测量电源电动势和内阻实验中,典型的伏安法测量电路如图1所示(对于电流表而言,电源内阻一般比较小,为减小实验误差,相对电源而言,电流表通常采用外接法).在实验数据处理时,为了减小实验偶然误差,我们可以利用图像法,根据闭合电路欧姆定律有U＝E－Ir,则用作图法作U-I图像,如图2 所示.观察U-I图像可以得出:1)图像与纵轴交点为E;2)图像与横轴交点为;3)图像的斜率.此法误差主要来源于电压表的分流作用,电动势测量值比真实值偏小,内阻测量值比真实值偏小.

图1

图2

例1(2020年天津卷)某实验小组选用以下器材测定电池组的电动势和内阻,要求测量结果尽量准确.

电压表(量程0～3V,内阻约为3kΩ)

电流表(量程0～0.6A,内阻约为1Ω)

滑动变阻器(0～20Ω,额定电流1A)

待测电池组(电动势约为3V,内阻约为1Ω)

开关、导线若干

(1)该小组连接的实物电路如图3所示,经仔细检查,发现电路中有一条导线连接不当,这条导线对应的编号是_________.

图3

(2)改正这条导线的连接后开始实验,闭合开关前,滑动变阻器的滑片P应置于滑动变阻器的________端.(填“a”或者“b”)

(3)实验中发现调节滑动变阻器时,电流表读数变化明显,但电压表读数变化不明显.为了解决这个问题,在电池组负极和开关之间串联一个阻值为5Ω的电阻,之后该小组得到了几组电压表读数U和对应的电流表读数I,并作出U-I图像,如图4所示.根据图像可知,电池组的电动势为_________V,内阻为_________Ω.(结果均保留两位有效数字)

图4

(1)与电流表的内阻和电压表的内阻相比,电池组的内阻较小,故对于电池组来说,应该采用电流表外接法,图中采用的是电流表内接法,故导线5连接不当,应该从电压表正接线柱接到电流表正接线柱(或电池组正极).

(2)闭合开关前,应该使滑动变阻器连入电路的阻值最大,故滑动变阻器的滑片P应置于滑动变阻器的a端.

(3)在电池组负极和开关之间串联一个阻值为R＝5Ω 的电阻,设电池组的电动势为E,内阻为r,根据闭合电路欧姆定律有E＝U＋I(R＋r),变形得U＝－I(R＋r)＋E,结合图像可知E＝2.9V,R＋r＝＝5.80Ω,则r＝0.80Ω.

利用伏安法测电源电动势和内阻,首先要正确选择电流表的内外接法(相对电源);其次要根据数据描点画出图像;再次要根据图像纵截距的信息确定电动势大小和图像斜率信息求出电动势的内阻.本题利用电流表外接法(相对电源)误差较小,在图像法处理数据时纵坐标可以不从零开始,则图线和横轴的交点不再是短路电流,电源的内阻不能用r＝确定,应根据求解.我们应该注意到,有时要利用电流表内接法(相对于电源)测量电动势和内阻,如采用水果做电源时,往往内阻较大,这时采用内接法(相对电源)进行测量误差较小,图像数据处理和电流表外接法(相对电源)一样.而内接法(相对电源)误差主要来源于电流表分压,电动势测量值与真实值相等,内阻测量值比真实值偏大.

2 伏阻法

图5

图6

例2(2021年全国乙卷)一实验小组利用图7-甲所示的电路测量一电池的电动势E(约1.5V)和内阻r(小于2Ω),图中电压表量程为1V,内阻RV＝380.0Ω;定值电阻R0＝20.0Ω;电阻箱R最大阻值为999.9Ω;S为开关,按电路图连接电路,完成下列填空.

图7

(1)为保护电压表,闭合开关前,电阻箱接入电路的电阻值可以选_________Ω(填“5.0”或“15.0”).

(2)闭合开关,多次调节电阻箱,记录下阻值R和电压表的相应读数U.

(3)根据图7-甲所示电路,用R、R0、RV、E和r表示,得＝________.

(5)通过图7-乙可得E＝________V(保留2位小数),r＝________Ω(保留1位小数).

(6)若将图7-甲中的电压表当成理想电表,得到的电源电动势为E′,由此产生的误差为×100%＝________%.

(1)为了避免电压表被烧坏,接通电路时电压表两端的电压不能比电压表满偏电压大,当电压表满偏时有,而,代入数据解得R＋r＝9.5Ω,故R＞7.5Ω,因此电阻箱接入电路的电阻值选15.0Ω.

(3)由闭合电路的欧姆定律可得

化简可得

(5)由上面公式可得

代入可得E≈1.55V,r≈1.0Ω.

(6)如果电压表为理想电压表,则有

伏阻法的本质是伏安法的拓展,作何种图像需要根据具体实验情境而定.解决伏阻法问题的关键是明确用什么图像进行数据分析:若是图像就按照电压倒数和电阻关系分析;若是图像就按照电压与电压阻值比关系分析.在图像化简时需要基于闭合电路欧姆定律的规律出发,通过函数变形和图像数形结合,根据图像的截距、斜率等关系解决问题.

3 安阻法

安阻法是用电流表和变阻箱测量电动势和内阻的方法,由E＝I(R＋r)可得,只要能得到I、R的两组数据,列出关于E、r的两个方程就能解出E和r.用到的器材有电池、开关、电阻箱、电流表,电路如图8 所示.图像法处理数据分两种情况:

图8

1)根据闭合电路欧姆定律有E＝I(R＋r),可得,可作图像,如图9-甲所示,图像的斜率,纵轴截距为;

图9

2)根据闭合电路欧姆定律有E＝I(R＋r),可得,可作图像,如图9-乙所示,图像的斜率k＝E,纵轴截距为－r.安阻法实验的系统误差来源于电流表的分压作用,此方法测量电动势没有影响,内阻测量值比实际值偏大.

例3某物理兴趣小组设计了如图10-甲所示的电路来测量电源的电动势E和内阻r,以及某未知电阻的阻值Rx,其中电流表的量程为0～0.6A,内阻为R0(已知).

图10

(1)在闭合电路前,应将电阻箱R的阻值调到_________(填“最大”或“最小”).

(2)实验的主要步骤如下:

①闭合S1、S2,多次调节电阻箱,并记录其阻值及所对应的电流表的读数;

②保持S1闭合,断开S2,多次调节电阻箱,并记录其阻值及所对应的电流表的读数;某一次电流表的读数如图10-乙所示,电流表的读数为_________A;

(3)若两条直线的斜率均为k,两直线的纵截距分别为b1、b2.由图像以及题中的已知条件可知,电源的电动势E＝________,内阻r＝_________,未知电阻Rx＝_________.

(1)为了保证闭合开关后,电路中电流最小,电阻箱开始时应调到最大.

(2)电流表的量程为0～0.6A,最小一格的刻度为0.02A,所以电流表的读数为0.48A.

(3)闭合S1、S2时,根据闭合电路欧姆定律有

变形得

所以电源的电动势

内阻

闭合S1、断开S2时,根据闭合电路欧姆定律有

化简得

求得

以上例题基本思路是利用数学图像方法解决问题,解题思路:一审题意;二找关系;三化方程;四看图像;五求解,即根据题意找到实验电路的原理关系,再由闭合电路欧姆定律推导出一次函数方程式,根据函数方程式对比题目所给的图像,再由图像斜率、截距等信息求出电动势和内阻.需要说明的是,在利用安阻法解决问题时,要把闭合电路欧姆定律原始式E＝I(R＋r)转化成图像还是图像,需要根据题目中的问题情境而定.

4 安安法

安安法是利用两个电流表的测量结果,由测量数据关系,根据闭合电路欧姆定律,求出电源电动势和内阻的方法.测量电路如图11-甲所示,闭合开关S时,两电流表的示数分别为I1、I2,调节变阻器改变R,测得几组不同的电流值,获得实验数据.由E＝(I1＋I2)r＋I2R0,变形得,I1为电流表A1的示数,I2为电流表A2的示数,作出I2-(I1＋I2)图像,知图像的纵截距为,斜率的绝对值为,如图11-乙所示.当然也可以先算出路端电压U＝I2R0和总电流I＝I1＋I2,再画出U-I图像,根据伏安法的原理求解.安安法误差来源于电流表A2的分流作用,测量结果有E测＜E真,r测＜r真.

图11

例4在测量一节干电池的电动势和内阻的实验中,备有下列器材:

A.待测干电池(电动势约1.5V,内阻小于1Ω)

B.电流表A1(量程0～3mA,内阻Rg1＝10Ω)

C.电流表A2(量程0～0.6A,内阻Rg2＝0.1Ω)

D.滑动变阻器R1(0～20Ω,10A)

E.滑动变阻器R2(0～200Ω,1A)

F.定值电阻R0(990Ω)

G.开关和导线若干

(1)某同学发现上述器材中虽然没有电压表,但给出了两个电流表,于是他设计了如图12所示的甲、乙两个参考实验电路,其中合理的是________图所示的电路;在该电路中,为了操作方便且能准确地进行测量,滑动变阻器应选_________(填写器材前的字母代号).

图12

(2)如图13所示,为该同学根据(1)中选出的合理的实验电路,利用测出的数据绘出的I1-I2图像,I1为电流表A1的示数,I2为电流表A2的示数,且I2的数值远大于I1的数值,则由图像可得被测干电池的电动势E＝_________V,内阻r＝_________Ω.

图13

(1)因为题中没有给出电压表,所以需要用一个定值电阻和电流表串联,根据题意改装成电压表.根据欧姆定律,若将电流表A1与定值电阻串联,则有U＝I1R0＝0.003×(990＋10)V＝3V,与电源电动势接近,故应将电流表A1与定值电阻串联使用,故合理的是图12-乙.电源电动势约为1.5V,内阻小于1Ω,为方便实验操作且能准确地进行测量,滑动变阻器应选D.

(2)由电路图可知,在闭合电路中,由于I2远大于I1,则干路中电流近似等于I2,电源电动势

则

由图13纵轴截距可知,电源电动势为E＝1.49 V.图像斜率

电源内阻为

安安法基本思路是找变量关系,利用函数I1-I2图像关系式分析问题,再结合图像分析和推导出数学函数表达式.安安法实际上也可以看成伏安法,可以把其中一个电流表与定值电阻串联改装成电压表,而图像的纵坐标应该是改装后的电压表读数.为了避免同学们思维混乱,我们可以把安安法作为一次函数关系求解,利用一次函数关系与图像相结合,让同学们从数学上理解含义,效果更好.采用安安法的实验方案可以利用图像法处理数据,根据电表改装原理,将纵坐标直接改为对应电压,再利用伏安法图像的斜率和截距求解电动势和内阻.

5 伏伏法

伏伏法是利用两个电压表测电源电动势和内阻的方法,电路图如图14所示,由闭合电路欧姆定律得,改变滑动变阻器R的阻值,测几组不同的U、U1值,获得实验数据.画出U-U1图像,如图15所示,根据,得,可知U-U1图像纵截距为电源电动势E,斜率的绝对值为.

图14

图15

例5为测量一电源的电动势及内阻,某小组设计了如下实验方案.

(1)先利用多用电表直流电压挡位粗测电源的电动势.如图16-甲所示,1号接线柱应接________表笔(填“红”或“黑”).选用“直流电压5V”挡时,表盘如图16-乙所示,读出该电源的电动势为________V.

图16

(2)设计如图17 所示电路,若实验中电压表V1读数为U1,电压表V2读数为U2,电表为理想电表,R0为定值电阻.改变滑动变阻器R的阻值得到多组实验数据.作出如图18所示图像为直线,且与纵轴的截距等于b,斜率的绝对值为k,则电源电动势E＝_________,电源内阻r＝_________(用题目中的已知量表示).

图17

图18

(3)若考虑电表内阻,则(2)中电源电动势的测量值_________真实值(填“＞”“＜”或“＝”).

(1)先利用多用电表直流电压挡位粗测电源的电动势.因为“红进黑出”,则如图16-甲中的1号接线柱应接红表笔.选用“直流电压5V”挡时,表盘如图16-乙所示,读出该电源的电动势为2.90V.

(2)根据电路有

由图像可知E＝b,即r＝kR0.

(3)分析误差,若考虑电表内阻,则有

则E＝b,即电动势的测量值等于真实值.

伏伏法也是伏安法的一种变形,此方法可以看成为一个电压表(电压表V1)并联一个定值电阻R0改装为电流表,再根据闭合电路欧姆定律推导出一次函数关系式,利用一次函数图像的截距、斜率等信息求电动势和内阻.基本思路是:一审题意;二找关系;三化方程;四看图像;五求解.

测电源电动势和内阻是高中物理中的重要实验,其测量方法很多.常见的还有等效法、补偿法、综合法等方法,但是不管命题如何变,总是万变不离其宗,只要我们在总结和归纳时以伏安法为基本测量方法,以培养科学思维能力和发展学科核心素养为目的,让学生将思维训练贯穿整个实验过程,真正动手实验,探究方法,重视数据分析,就能以此强化物理学科核心素养的培养.

(完)