一道经典高考试题的深度思考与拓展

沈文炳，毛新文，朱呈记

1.湖北省鄂南高级中学，湖北 咸宁 437100

2.崇阳县香山外国语学校，湖北 咸宁 437500

3.通山县实验高级中学，湖北 咸宁 437600

高考压轴试题对学生的思维能力要求高。如何突破压轴试题的思维难点，提升学生解决问题的思维能力层次，是高三备考的关键。本文以一道经典的高考试题——2018 年江苏卷物理第22题为例，借助GeoGebra 软件，对试题进行拓展和延伸，直观呈现物体运动过程和状态细节，使学生思维从关联结构向拓展抽象结构能力层次发展。

1 试题呈现

例1如图1 所示，钉子A，B 相距5l，处于同一高度。细线的一端系有质量为M 的小物块，另一端绕过A 固定于B。质量为m 的小球固定在细线上C 点，B，C 间的线长为3l。用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC 与水平方向的夹角为53°。松手后，小球运动到与A，B 相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动。忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin53°=0.8，cos53°=0.6。求：

图1 试题原图

（1）小球受到手的拉力大小F；

（2）物块和小球的质量之比M：m；

（3）小球向下运动到最低点时，物块所受的拉力大小T。

评析：问题（1）的思维能力层次要求为多点结构。学生需要正确分析小球的受力，并利用力的合成和分解的知识建立方程，求解拉力大小。问题（2）为弱关联结构。学生需要从运动的角度理解小球和物块的速度均为先增大后减小。当小球处于高度AB 时，小球和物块的速度均为零。学生还需要从做功的角度判断系统在运动过程中机械能守恒，并根据能量守恒定律列出相应的方程。问题（3）属于强关联结构。学生需要知道小球运动到最低点时，小球和物块的速度为零，两细绳垂直，夹角为90°。物块的加速度和小球的切向加速度大小相等，小球的向心加速度为零。学生需要利用牛顿第二定律分别对小球和物块列出方程并求解［1］。

解析（1）由于BC=3l，AB=5l，故AC=4l，∠ACB=90°。小球和小物块均平衡，绳子AC 拉力大小为Mg，绳子BC 拉力为F1。对小球分析，把重力分解到两绳方向，有F1=（mg+F）sin53°，Mg=（mg+F）cos53°，解得（2）小球运动到与AB 等高过程，由机械能守恒定律，有mg×3lsin53°=Mg（4l+3l-5l），解得（3）由机械能守恒定律可知，小球回到C 点速度为零。此时切向加速度为a，由牛顿第二定律有Mg-T=Ma，T-mgcos53°=ma，得

2 运动分析

小球和物块在运动过程中的最大动能分别是多少？ 它们的动能是否同时达到最大呢？

利用速度关联确定物块与小球的速度关系，利用余弦定理和正弦定理确定物块和小球的位置关系，通过能量守恒定律求解物块和小球的动能和角度的关系，并用GeoGebra 软件作出小球和物块的动能和角度的图像，直观地呈现出关联物体的运动特点。确定两物体不是同时达到动能的最大值，由此打破学生的思维定式，培养学生的思维能力［2］。

2.1 小球动能与角度的关系

为了简单，设m=2 kg，M=2.4 kg，g=10 m／s2。当∠ABC=θ 时，小球速度为v1，v1与绳AC 的夹角为α，物块速度为v2，绳AC 长度为x，如图2 所示。由余弦定理可知，x=

图2 小球和物块的速度关系图

小球和物块在运动过程中机械能守恒

代入上述相关关系及数据，可以得到

利用GeoGebra 软件，作小球动能和角度的关系图像（图3）。可知，当角度θ=0.26 rad，即θ=14.9°时，小球动能达到最大值6.96 J。当角度0.26 rad≤θ≤0.92 rad，即14.9°≤θ≤53°时，随着角度变小，小球动能越来越大。当角度0 rad≤θ≤0.26 rad，即0°≤θ≤14.9°时，随着角度变小，小球动能越来越小。

图3 小球动能和角度的关系图

2.2 物块动能与角度的关系

由上述关系可以同时求出物块动能和角度的关系

利用GeoGebra 软件，作物块动能和角度的关系图像（图4）。当角度θ＝0.5 rad，即θ=28.66°时，物块动能达到最大值4.87 J。

图4 物块动能和角度的关系图

对比图3 和图4，小球从最低点释放后向上运动过程中，小球和物块不会同时达到最大动能。物块先达到最大动能，然后小球达到最大动能。

3 平衡分析

改变试题条件，对试题进行变化，有利于我们从不同角度理解物理模型，丰富物理模型的情境，增强学生解决实际问题的能力，提升学生思维的灵活性和开放性。

如图5（1）所示，保持小球质量m 不变，改变物块质量M，使系统平衡。设绳AB 长度为l，绳BC 长度为l1、与竖直方向的夹角为α，绳AC 长度为x、与竖直方向的夹角为β。分析绳BC 的拉力F、物块质量M 分别与夹角α 的关系。

小球受力分析图如图5（2）所示。力的平衡三角形中，由正弦定理得几何三角形中，由正弦定理得，由余弦定理得x2=l2+l21-2ll1sinα。

图5 小球平衡及受力图

从上述三个方程可以解得

为理解方便，设m=0.1 kg，l1=0.5l，g=10 m／s2，0≤α≤90°。利用GeoGebra 软件，作M－α 图像和F－α 图像如图6 和图7 所示。

图6 M－α 图像

图7 F－α 图像

由图6 可以看出，随着角度α 的增加，物块质量M 先增加缓慢，然后增加很快。

由图7 可以看出，随着角度α 的增加，绳BC的拉力先减小然后增加。由可以得出，当sinα=时，绳BC 的拉力F 取极小值，此时AC 垂直BC。