几何非线性黏性阻尼隔振系统的传递率特性∗

刘海超， 闫 明， 孙自强， 金映丽， 王开平， 惠安民

（1.沈阳工业大学机械工程学院 沈阳，110870）

（2.中国刑事警察学院刑事科学技术学院 沈阳，110854）

引 言

随着中国舰船制造技术的快速发展，舰载设备越来越精密化、智能化，但其所处的工作环境却日益复杂与严酷，这对舰载设备隔振装置的设计提出了更高的标准与要求［1-2］。由于舰船上多为大型重载设备，所以隔振器应该具有更高的承载能力和更低的隔振频率，而线性隔振器已经不能满足工程实际需求，因此国内外学者对非线性隔振系统展开了广泛而深入的研究。

Brennan 等［3］采用谐波平衡法求解具有软化和硬化的Duffing 隔振系统响应方程，研究了跳降频率和跳升频率与系统参数的关系。张小龙等［4］推导了Duffing 型隔振系统跳跃频率和力传递率的计算公式，分析了隔振系统主要参数对力传递率的影响规律。文献［5-7］采用理论、仿真和试验的方法对一类准零刚度隔振器的非线性动力学行为进行了研究，结果表明，准零刚度隔振器的高静低动特性使隔振系统具有更高的承载能力和更优的隔振带宽，但只适用于小幅振动。Sun 等［8-9］基于剪式结构，设计了一种新型非线性隔振器，进一步研究了隔振系统的非线性动力学特性，但这种隔振器会导致被隔振设备重心升高。文献［10-11］以实测动态加载迟滞曲线为基础，通过模型参数识别建立了胶质阻尼隔振器力学模型，并对其隔振性能进行评估，结果表明，胶质阻尼隔振器具有良好的低频隔振性能。

非线性刚度虽然有利于提高隔振系统的承载能力，但常常会导致系统出现跳跃、分岔和混沌等不稳定现象，目前常采用提高阻尼来改善隔振系统的动力学性能。Sharma 等［12］分析了非线性阻尼对强迫达芬系统的分岔与混沌特性的影响，结果表明，非线性阻尼能够降低系统首次进入混沌状态的临界值，增加发生混沌的参数空间，影响系统进入混沌的通道。Ho 等［13］采用输出频响函数法研究非线性刚度和非线性阻尼对Duffing 系统动态行为的影响，得知非线性阻尼对抑制隔振系统共振峰值、提高系统稳定性能要远优于线性阻尼。文献［14-17］采用不同的理论计算方法研究了立方阻尼对隔振系统力传递率和位移传递率的影响，结果表明，立方阻尼能够有效降低共振区传递率峰值，但是会导致高频区隔振性能变差。Laalej 等［18］利用主动试验装置对立方阻尼隔振系统进行了试验研究，得出立方阻尼隔振器在一些特殊情况下才具有优势的结论。王勇等［19］采用主动控制方式将立方速度反馈控制策略引入到非线性隔振系统中，不仅降低了主共振峰处的幅值，而且高频传递特性得到有效改善。但是，主动控制存在成本较高、程序繁琐以及可靠性低等问题。

为了分析非线性隔振系统振动特性，笔者在考虑系统干摩擦阻尼的基础上，以典型的Duffing 系统为研究对象，采用线性黏性阻尼器与隔振系统运动方向垂直布置的方式，实现了系统阻尼的几何非线性，即在竖直运动的隔振系统中添加水平线性黏性阻尼器，使二者呈垂直的几何关系，当隔振系统上下运动时，水平黏性阻尼器在竖直方向产生的阻尼力会随着黏性阻尼器与水平方向的夹角变化而变化，并随相对位移的增加而增大。采用谐波平衡法求解了非线性隔振系统的主共振响应，对比分析了线性阻尼、库伦阻尼和几何非线性阻尼对系统绝对传递率的影响规律，进一步分析了激励幅值对不同阻尼隔振系统振动特性的影响，并通过振动试验验证了几何非线性黏性隔振系统的传递率特性规律。

1 隔振系统模型的建立

1.1 力学模型

隔振系统力学模型如图1 所示，其中：M为设备的质量；K1，K2分别为隔振器垂向线性刚度系数和非线性刚度系数；C1，C2分别为垂向和水平线性黏性阻尼系数；Ff为垂向库伦阻尼力；D为水平阻尼器初始长度；Y（t），X（t）分别为基座和设备的绝对位移。

图1 隔振系统力学模型Fig.1 Mechanical model of vibration isolation system

1.2 数学模型

隔振系统随基础激励做受迫振动，假设基础激励为谐波信号，即Y（t）=Bsin（ωt-θ），定义被隔振设备与基座的相对位移Z（t）=X（t）-Y（t）。隔振系统的弹性力和阻尼力分别为

当Z≤0.2D时，利用泰勒级数展开将式（2）简化为

因此，系统的动力学方程为

定义式（5）中的无量纲参数为

进行如下变换

得到系统动力学方程的无量纲形式为

假设系统稳态响应的一次近似解为

同时，利用傅里叶展开对sgn 函数进行化简，有

将式（8）、式（9）代入式（7），得到

根据三角函数化简关系，有

将式（11）、式（12）代入式（10），得到

2 传递特性

绝对传递率和相对传递率是评价隔振系统隔振性能的重要指标。绝对传递率是指设备的绝对位移与激励幅值的比值；相对传递率是指设备和基座之间的相对位移（即隔振系统弹性元件的变形量）与激励幅值的比值。

由式（13）可得

相对传递率公式为

由绝对位移与相对位移的关系可得

因此，绝对传递率公式为

2.1 阻尼参数对传递率特性的影响

非线性隔振系统可以根据弹性元件的力学特性分为软特性和硬特性隔振系统。假设弹性元件的恢复力为F（Z），形变量为Z，当dF/dZ严格单调递减时，弹性元件具有软特性；当dF/dZ严格单调递增时，弹性元件具有硬特性。非线性弹性元件力学特性如图2 所示，其中：曲线b所示系统为软特性隔振系统；曲线a所示系统为硬特性隔振系统。

图2 非线性弹性元件力学特性Fig.2 Mechanical characteristics of nonlinear elastic elements

选定隔振系统非线性刚度ρ=±0.02（正负号分别代表硬特性和软特性隔振系统），振动激励幅值b=1.0，分析隔振系统的线性阻尼ξ1、库伦阻尼λ和几何非线性黏性阻尼η单一参数对软、硬特性隔振系统的绝对传递率的影响规律，如图3~图5 所示。

图3 参数ξ1对绝对传递率的影响Fig.3 The influence of parameter ξ1 on absolute transmissibility

由图3 可知，增加隔振系统线性阻尼ξ1，有效降低了软、硬特性隔振系统共振区的绝对传递率，减小甚至避免了跳跃现象的产生，提高了系统的稳定性；但随着线性阻尼的增加，振动隔离区的绝对传递率增加，即高频隔振性能大幅下降。

由图4 可知，随着库伦阻尼λ的增加，软特性隔振系统共振区的绝对传递率快速下降，系统稳定性得以提高；但硬特性隔振系统共振区绝对传递率下降并不明显，并且随库伦阻尼的增加，绝对传递率在共振区均出现了独立封闭环形区域，即“频率岛”现象，这说明系统处于不稳定状态，且隔振性能较差，只有大幅提高库伦阻尼才能使“频率岛”消失。同时，由于库伦阻尼的锁定作用，绝对传递率起始频率（逃离频率）均大于0，并随库伦阻尼增加而向右移动。增加库伦阻尼虽然有益于降低共振区传递率，但是高频区的绝对传递率却随之提高，振动隔离区的隔振性能变差。

图4 参数λ 对绝对传递率的影响Fig.4 The influence of parameter λ on absolute transmissibility

由图5 可知，增加几何非线性阻尼η，不但使软、硬特性隔振系统的绝对传递率大幅降低，同时保证了高频区的绝对传递率特性保持不变。因此，几何非线性阻尼对降低系统的共振区传递率、提高系统的振动性能起到了重要作用。

图5 参数η 对绝对传递率的影响Fig.5 The influence of parameter η on absolute transmissibility

2.2 3 种阻尼对传递率特性影响的对比分析

为进一步分析3 种阻尼对隔振系统传递率特性的影响，以非线性刚度ρ=±0.01、线性阻尼ξ1=0.04 的非线性隔振系统为参考，设计3 种阻尼参数在保证隔振系统共振区绝对传递率峰值相等的条件下，其软、硬特性隔振系统绝对传递率对比分析，分别如图6，7 所示。

图6 软特性隔振系统绝对传递率对比分析Fig.6 Comparative analysis of absolute transmissibility of vibration isolation system with soft characteristics

图7 硬特性隔振系统绝对传递率对比分析Fig.7 Comparative analysis of absolute transmissibility of vibration isolation system with hard characteristics

由图6，7 可知：无论软特性还是硬特性隔振系统，在保证共振区绝对传递率峰值相等的条件下，线性阻尼和库伦阻尼的增加均导致了振动隔离区的绝对传递率的增加，高频隔振性能降低，这对非线性隔振器设计极为不利；而几何非线性阻尼不仅有效降低了共振区的绝对传递率，同时确保了高频区良好的振动隔离特性。

2.3 激励幅值对系统隔振性能的影响

激励幅值是直接影响隔振系统传递特性的重要因素。选取非线性刚度ρ=±0.02，线性阻尼ξ1=0.04，分析激励幅值对库伦阻尼和几何非线性阻尼隔振系统传递率的影响，分别如图8，9 所示。其中，箭头标注方向为激励幅值增大的方向。

图8 激励幅值对库伦阻尼隔振系统传递率的影响Fig.8 Influence of excitation amplitude on transmissibility of coulomb damping vibration isolation system

由图8 可知：随着激励幅值的增加，对于软特性隔振系统，共振区绝对传递率峰值逐渐增大；对于硬特性隔振系统，“频率岛”现象消失，共振区绝对传递率峰值下降并进一步向右弯曲；逃离频率向左移动，无谐振峰值区减小；随激励幅值的增加，软、硬特性隔振系统高频区的绝对传递率均有所降低。

由图9 可知：随着激励幅值的增加，对于软特性隔振系统，共振区的绝对传递率峰值逐渐降低，但会向左进一步弯曲，而且高频区的绝对传递率也会有所下降；对于硬特性隔振系统，共振区的绝对传递率峰值同样会随之降低，但变化趋势逐渐变缓，同时高频区的绝对传递率基本保持不变。因此，几何非线性阻尼能够保证隔振系统在变激励幅值环境中具有较低的传递率和较好的高频隔振性能。

图9 激励幅值对几何非线性阻尼隔振系统传递率的影响Fig.9 Influence of excitation amplitude on transmissibility of geometrically nonlinear damping vibration isolation system

3 非线性隔振系统振动试验

3.1 试验装置及工作原理

几何非线性黏性阻尼隔振系统试验装置如图10 所示，主要由基座、水平阻尼器支座、导向装置、传感器测量装置、线性弹簧、垂向黏性阻尼器、质量块、水平黏性阻尼器和磁性弹簧元件等组成。试验装置工作原理如下：由磁性弹簧元件提供非线性刚度，内磁体安装在竖直连杆上，且连杆端部与基座连接固定，外磁体通过上、下端盖与质量块相连并随之运动，由于内外磁体的磁化方向相反，因此始终存在一个与质量块运动方向相同的磁性力作用在质量块上。其中，垂向黏性阻尼器提供垂向阻尼C1，水平阻尼器提供几何非线性阻尼C2，由试验装置各部件之间的干摩擦力提供库伦阻尼力Ff，采用位移传感器、加速度传感器和数据采集仪实现试验数据的采集与记录。

图10 几何非线性黏性阻尼隔振系统试验装置Fig.10 The test device of geometrically nonlinear viscous damping vibration isolation system test device

磁性弹簧元件如图11 所示，是由2 对径向磁化的环形永磁体组成。磁性弹簧的工作原理、磁性力和磁刚度的计算方法参见文献［20］，得到磁刚度Km的近似计算公式为

图11 磁性弹簧元件Fig.11 The magnetic spring element

其中：Km1，Km2分别为常数项和二次项刚度系数。

图10 中线性弹簧的线性刚度KL和磁性弹簧磁刚度的常数刚度Km1共同提供线性刚度，由此可得

采用垂向液压振动试验台进行振动试验，试验台基本参数如下：最大推力为100 kN，正弦扫频范围为0.1~160 Hz。试验装置安装如图12 所示。

图12 试验装置安装图Fig.12 The installation diagram of test device

3.2 振动试验及结果分析

以硬特性隔振系统为例进行了定频振动试验，频率范围为0.6~24 Hz，频率间隔为0.6 Hz，非线性隔振系统参数见表1。分别改变系统线性阻尼C1（ξ1）、几 何 非 线 性 黏 性 阻 尼C2（η）和 激 励 幅 值B（b）的大小，试验结果与理论计算对比分析如图13 所示。

表1 非线性隔振系统参数Tab.1 Non-linear vibration isolation system parameters

图13 试验结果与理论计算对比分析Fig.13 The comparative analysis of experimental results and theoretical calculations

由图13 可知，振动试验与理论计算曲线具有较好的一致性，最大误差仅为5.43%。对比图13（a，b）的 试 验 曲 线可知：当ξ1增加 到0.05，或 者η增 加到0.06 时，系统绝对传递率峰值下降了相同高度；增加ξ1会导致高频隔振性能变差；增加η系统依然具有较好的高频隔振性能。由图13（c）可得，随着激励幅值的增加，不仅降低了共振区传递率峰值，而且保证了高频区良好的隔振能力，能够适用于更为复杂的工作环境。

4 结 论

1） 增加系统库伦阻尼能够有效降低软特性隔振系统共振区的传递率峰值，但对硬特性隔振系统共振区传递率特性影响较小，而且会出现不稳定的“频率岛”现象，并导致了振动隔离区绝对传递率增加，高频隔振性能变差。

2） 增加几何非线性阻尼不仅有效降低了软、硬特性隔振系统共振区的传递率峰值，而且能确保高频隔离区良好的振动性能，因此几何非线性阻尼具有重要的研究价值。

3） 系统激励幅值的增加导致库伦阻尼软特性隔振系统共振区传递率峰值增大，硬特性隔振系统共振区传递率峰值进一步向右弯曲，共振区隔振性能变差，高频区隔振性能保持不变。

4） 增加系统激励幅值，几何非线性阻尼软特性隔振系统的共振区和振动隔离区的隔振性能均得到有效提高；硬特性隔振系统共振区传递特性变优，且高频区传递特性保持不变。因此，几何非线性阻尼使隔振系统适用于更为复杂多变的振动环境，有效提高了系统的振动性能。

5） 定频振动试验进一步证明了几何非线性阻尼能够有效改善隔振系统共振区和高频区的隔振性能，因此设计出阻尼力随位移变化的新型隔振系统具有重要的研究价值与广阔的应用前景。