利用改进的Kudryashov 方法求非线性偏微分方程的精确解

赵舒贤，欧耀骏，龙双英，李红春

（红河学院数学与统计学院，云南蒙自 661199）

非线性偏微分方程[1]是现代数学的一个重要分支，是目前微分方程研究的主体，包括整数阶偏微分方程和分数阶偏微分方程.非线性分数阶微分方程是传统的非线性整数阶微分方程的衍生和推广，相较传统的非线性整数阶方程的性质更为复杂，但因其能更好地模拟自然接触中的物理过程及动态系统的过程和模拟自然接触中的有关记忆性和遗传性等问题而受到物理学和生物学等领域的欢迎.已有研究表明，分数阶模型包含经典的整数阶模型，但整数阶模型可以作为分数阶模型的特殊情况.传统的整数阶导数具有清晰的几何与物理含义，而对分数阶导数还没有一个恰当的数学描述，但它的理论可以用来分析时空动力学等问题，可较好地处理这些问题中的历史相依关系.因此，在流体力学、流变学、生物体系中的电导率等问题中，分数阶的偏微分方程有着重要的应用.关于该问题的精确解在如力学、物理、天文、生理传染病等领域也都具有非常广泛的研究意义.然而，目前国内外的相关理论研究仍未寻得一个通用而高效的准确求解方案.从20 世纪50 年代开始，随着“孤子”这一新的理论被引入到非线性问题中，关于其解的理论和方法随着研究的深入而逐渐发展到了一个新的阶段.就目前而言求解分数阶非线性偏微分方程精确解的方法有很多，如F-展开法[2]、辅助方程法[3]、双曲正切函数展开法[4]、首次积分法[5]、Jacobi 椭圆函数展开法[6]、Kudryashov 及其相关方法等.

六阶Boussinesq 方程：

Boussinesq 方程是一类用来研究水波理论的重要模型方程，它在偏微分方程的研究中起着重要作用.Boussinesq 方程是由法国力学家、理论物理学家布森内斯克于1872 年在浅水波的研究中导出的.为更准确地描述波的色散和非线性特征，从1990 年后Boussinesq 方程的理论和应用都得到了很大发展，人们相继提出了许多改进的Boussinesq 方程模型.而对于其精确解的探索有助于人们更深入地分析理解各种动力特性.

空时分数阶simplified modified Camassa-Holm 方程[7]：

Camassa-Holm 方程是一个刻画浅水波运动的数学模型，描述平底浅水波的单向传播，它是一类非常重要且又奇特的孤立波方程，是完全可积系统，具有双哈密顿结构，遵循无穷多守恒定律.Camassa-Holm方程由Fokas 和Fuchssteiner 首先推出，但在当时并未受到太大的关注，1993 年，又由Camassa 和Holm利用逼近Hamiltonian 函数的方法得到，进而发现了尖峰孤立子解，才引起了人们的重视，继而引起了广泛的研究.

本文利用改进的Kudryashov 法求解以上两个微分方程的精确解.

1.预备知识

首先介绍分数阶导数的定义和性质，以便方程的求解.

分数阶导数的定义和性质如下：

设f(0,∞)→R，f的α阶Comformable 导数定义[8]为：

Comformable 导数具有许多性质，如下：

2.Kudryashov 方法及相关方法介绍

非线性分数阶偏微分方程具有以下一般形式

其中k,ω为待定的任意常数

将变换（2-2）代入方程（2-1），用Comformable 导数及性质，得到关于u(ξ) 的常微分方程：

步骤2、假设方程的解可以表示为：

其中a(i1,2,3......)为待定系数.

改进的Kudryashov 方法中Q满足下列辅助方程：

其中a为正数，且a≠1

步骤3、通过平衡方程（2-3）中最高阶导数项和最高阶非线性项，确定式（2-4）中的正整数N.

步骤4、将方程（2-4）（2-5）代入（2-3），得到一个常微分方程，使方程两边Q的不同次幂系数为0，可以得到相应的方程组.

步骤5、利用Maple软件求解步骤4所得的方程组，并将所得的解代回（2-4）中，得到原方程的精确解.

步骤6、将所得的精确解代回方程（2-3）中验证根的正确性.

3.改进的Kudryashov 方法的具体应用

（1）利用改进的Kudryashov 方法求六阶Boussinesq 方程的精确解：

对方程作行波变换：

其中ω和c为待定的任意常数

将式（3-2）代入方程（3-1）中得：

利用齐次平衡法，平衡方程(3-3)中最高阶导数项和最高阶非线性项，即：

得到n=2，将n=2 代入（2-4）可得原方程解表示形式为：

其中Q满足下列 Bernoulli 方程：

将式(3-5)、式(3-6)代入方程(3-3)得到关于Q的方程,再令方程中Q的不同次幂系数分别为0，就可得到一组关于a0,a1,a2,c,ω的方程组：

4.总结与展望

本文将改进的Kudryashov 方法应用到六阶Boussinesq 方程和空时分数阶simplified modified Camassa-Holm 方程的求解中，探究改进的Kudryashov 方法在求解整数阶微分方程和分数阶微分方程的应用.对比传统的Kudryashov 方法，改进的Kudryashov 方法是在Kudryashov 方法的基础上修改了其辅助方程，并借助数学软件Maple 成功地得到了方程的精确解且将各项精确解进行可视化，确定了其精确解的准确性和可用性.改进的Kudryashov 方法是求解非线性偏微分方程的一个有效方法，且此方法简单方便，可用于其他相同类型的非线性微分方程.