Hermite-Hadamard-Fejér 型不等式的推广及其应用

曾志红，时统业 *，曹俊飞

（1.广东第二师范学院 学报编辑部，广东 广州 510303；2.海军指挥学院，江苏 南京 211800；3.广东第二师范学院 数学学院，广东 广州 510303）

1 引理

在1883 年和1893 年，Hermite 和Hadamard 分别独立地证明了以下不等式［1-3］

其中，f 是［a，b］上的凸函数。

式（1）被称为Hermite-Hadamard 不等式。Hermite-Hadamard 不等式在有关凸函数的不等式当中是非常著名的，在数学分析和优化中发挥着重要作用。Fejér%［4］将Hermite-Hadamard 不等式推广为

其中，f 是［a，b］上的凸函数，g（x）是［a，b］上正的可积函数且关于对称。

我们称式（2）为Hermite-Hadamard-Fejér 不等式或Fejér 不等式。近年来，Hermite-Hadamard 不等式和Hermite-Hadamard-Fejér 不等式得到广泛关注，已有许多改进、推广和加细的结果［5-18］。本文考虑Hermite-Hadamard-Fejér 不等式的涉及高阶可微函数的推广。文献［17］给出了四阶导数非负条件下的Hermite-Hadamard-Fejér 型不等式。

定理1%［17］设函数f（x）在区间（A，B）内有连续的4 阶导数且f(4)（x）≥0。若A

在式（4）中取n=2 则得到式（3），所以定理2 是定理1 的推广。

Anderson 等［19］给出单调性L’Hospital 法则。

2 主要结果

定理3 设f（x）在区间［a，b］上有2n-1 阶导数，g（x）是［a，b］上正的可积函数，且关于x=对称。若f(2n-1)（x）在［a，b］上单调增加，则有

当f(2n-1)（x）在［a，b］上严格单调增加且｛x│x∈［a，b］，g（x）=0｝在［a，b］上不稠密，式（5）和式（6）的不等式是严格的，也即将式（5）和式（6）中的“≤”改为“<”以后仍成立。

证明 对任意x∈［a，b］，由积分型余项的Taylor 公式有

将式（7）乘以g（x），然后对x 在［a，b］上积分得

将式（12）与式（14）相加并注意到

则式（5）的右边不等式得证。

当f(2n-1)（x）在［a，b］上严格单调增加时，式（11）仅当x=0 时等式成立，式（12）仅当x=b 时等式成立，又因为｛x│x∈［a，b］，g（x）=0｝在［a，b］上不稠密，故式（12）与式（14）都是严格的，从而式（5）的右边不等式是严格的。

注1 式（5）的右边不等式强于式（4）的右边不等式。事实上，

由式（15）和式（16）有

因此，CD≤0，即式（5）的右边不等式强于式（4）的右边不等式。

推论1 设f（x）是区间［a，b］上的可微函数，g（x）是［a，b］上正的可积函数，且关于x=对称。若f'在［a，b］上单调不减，则有

证明 用分部积分法可证恒等式

3 应用

证明 考虑定义在［0，1］上的函数f（τ）=-sin 2τx，g（τ）=τ（1-τ）。因为f'（τ）=-2xcos 2τx 严格单调增加，故应用定理3 的n=1 情形有

由此证得式（17）和式（18）的左边不等式。又由0＜cos x＜1 知式（17）的右边不等式是显然的。

故式（18）的右边不等式成立。

证明 考虑定义在［0，1］上的函数f（τ）=cos τx，g（τ）=τ（1-τ）。因为f(4n-1)（τ）=x4n-1sin τx 严格单调增加，故应用定理3 有

经计算式（19）的左边不等式得证。

考虑定义在［0，1］上的函数，f（τ）=-cos τx，g（τ）=τ（1-τ）。因为f(4n+1)（τ）=x4n+1sin τx 严格单调增加，故应用定理3 有

经计算式（19）的右边不等式得证。