摘" 要:以2022年新高考Ⅰ卷第18题为例,从不同角度进行分析,培养学生的运算求解能力、数学应用意识、数学创新意识.
关键词:视角;三角函数;多维导向
中图分类号:G632""" 文献标识码:A""" 文章编号:1008-0333(2024)16-0022-03
收稿日期:2024-03-05
作者简介:卢秀敏(1979.10—),女,中学高级教师,从事中学数学教学研究;
包喜(1980.9—),男,中学高级教师,从事中学数学教学研究.
基金项目:福建省教育科学“十四五”规划2023年度常规课题“基于新课程理念下高中数学大单元教学及评价研究”(项目编号:FJJKZX23-566);2023年龙岩市永定区教育教学课题“生态课堂设问的有效预设与调控的研究”(项目编号:ydjxjky23-102).
近几年高考中,针对三角函数知识加强了对正弦定理、余弦定理的考查,主要考查运算求解能力、数学应用意识、数学创新意识.考查难度不大,但综合性强,如结合向量、导数、基本不等式等知识的融合考查,学科能力检验功能明确.因此高三复习阶段,教师通常会将三角函数模块的复习作为重中之重,学生在解题训练中也会关注本模块的训练[1].
1" 真题呈现
题目" (2022年全国Ⅰ卷第18题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.
(1)若C=2π3,求B;
(2)求a2+b2c2的最小值.
2" 解法分析
2.1" 第(1)问解析
2.1.1" 以“角度”为研究视角
解法1" 根据sin2B=2sinBcosB,
cos2B=2cos2B-1,
可得sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB.
又cosA1+sinA=sin2B1+cos2B,
故cosA1+sinA=sinBcosB.
则cosAcosB=sinB(1+sinA)=sinB+sinBsinA.
移项可得sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=cos(π-C)=cos(π-2π3)=cosπ3=12.
又B∈(0,π3),故B=π6.
2.1.2" 以“函数”为研究视角
解法2" 已知cosA1+sinA=sin(π/2-A)1+cos(π/2-A),
又cosA1+sinA=sin2B1+cos2B,
则sin(π/2-A)1+cos(π/2-A)=sin2B1+cos2B.
构造函数f(x)=sinx1+cosx,x∈(0,π),则
f ′(x)=cosx(1+cosx)-sinx(-sinx)(1+cosx)2
=1+cosx(1+cosx)2gt;0.
所以f(x)在(0,π)上单调递增.
又f(π2-A)=f(2B),故π2-A=2B.
又A+B=π-C=π3,可解得B=π6.
解法3" 因为sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=tanB,
cosA1+sinA=cos2(A/2)-sin2(A/2)[sin(A/2)+cos(A/2)]2
=cos(A/2)-sin(A/2)cos(A/2)+sin(A/2)
=1-tan(A/2)1+tan(A/2)
=tan(π4-A2),
又因为A,B∈(0,π2),π4-A2∈(0,π2),函数
y=tanx在(0,π2)上单调递增,所以π4-A2=B.
又A+B=π-C=π3,可解得B=π6.
2.1.3" 以“结构”为研究视角
解法4" 由cosA1+sinA=sin2B1+cos2B,去分母,得
cosA(1+cos2B)=sin2B(1+sinA).
即cosA+cosAcos2B=sin2B+sin2BsinA.
移项,得cosA+cosAcos2B-sin2BsinA=sin2B.
由两角和与差公式化简,得
cosA+cos(A+2B)=sin2B.
又因为A=π-C-B=π3-B,
所以A+2B=π3-B+2B=π3+B.所以
cos(π3-B)+cos(π3+B)=sin2B.
展开后合并同类项,得cosB=2sinBcosB.
所以sinB=12.
又B∈(0,π),所以B=π6.
解法5" 因为sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB,
cosA1+sinA=cosA(1-sinA)1-sin2A=1-sinAcosA,
又因为cosA1+sinA=sin2B1+cos2B,
所以1-sinAcosA=sinBcosB.
去分母,得cosB-cosBsinA=sinBcosA.
故cosB=cosBsinA+sinBcosA=sin(A+B)=sin(π-C)=sinπ3=32.
又B∈(0,π),所以B=π6.
2.2" 第(2)问解析
2.2.1" 以角A为研究主体
解法1" 由(1)可知sinB=cos(A+B),A,B∈(0,π),
所以A+B=π2-B.
则B=π4-A2,C=π-A-B=34π-A2.
故sinB=sin(π4-A2)=22(cosA2-sinA2),
sinC=sin(34π-A2)=22(cosA2+sinA2).
由正弦定理可知:
a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C
=sin2A+[cos(A/2)-sin(A/2)]2/212[cos(A/2)+sin(A/2)]2
=sin2A+(1-sinA)/2(1+sinA)/2
=2(1+sinA)2-5(1+sinA)+41+sinA
=2(1+sinA)-5+41+sinA
≥28-5=42-5,
当且仅当1+sinA=2时,等号成立.
故a2+b2c2的最小值为42-5.
2.2.2" 以角B为研究主体
解法2" 由(1)可知sinB=cos(A+B),A,B∈(0,π),
所以A+B=π2-B.
则A=π2-2B,C=π-A-B=π2+B.
故sinA=1-2sin2B,
sinC=cosB.
由正弦定理可知:
a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=(1-2sin2B)2+sin2Bcos2B
=4(1-sin2B)2-5(1-sin2B)+21-sin2B
=4(1-sin2B)-5+21-sin2B
≥28-5=42-5,
当且仅当1-sin2B=22时,等号成立.
故a2+b2c2的最小值为42-5.
2.2.3" 以角C为研究主体
解法3" 由(1)可知sinB=cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,B,C∈(0,π),所以B=C-π2,A=π-B-C=3π2-2C.
故sinA=cos2C=1-2sin2C.
由正弦定理可知:
a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=(1-2sin2C)2+cos2Csin2C
=(1-2sin2C)2+(1-sin2C)sin2C
=4sin2C-5+2sin2C
≥28-5=42-5,
当且仅当sin2C=22时,等号成立.
故a2+b2c2的最小值为42-5.
以上三种不同研究主体的选择,实际上是异曲同工、殊途同归,在同一函数模型为目标的前提下,由于选择对象的不同,对计算过程的难易有了一定影响.这就可以较好地对解题的方向进行示范,使学生感悟到函数模型的重要性.3" 结束语
高考作为高质量教育体系的一个重要检查环节,在落实立德树人的根本任务中发挥着极其重要的作用.学科素养不是独立于知识、技能、思想与经验之外的大概念,它指向对学科知识的理解、对学科技能的掌握、对学科思想的感悟和对学科活动经验的积累.学生的数学能力的提高应以核心素养为导向,在高三的教——学——评过程中,教师应注重核心素养在每一节授课过程中潜移默化的培养.在解题教学过程中,要注重分析试题的题源、考查目标、设计意图、能力要求、素养考查,“知其然,且知其所以然”,不断提升学科必备素养.
参考文献:
[1]
刘再平,刘祖希.新高考背景下高考数学研究述评与展望[J].数学通讯,2023,62(04):1-9,62.
[责任编辑:李" 璟]