不同视角解三角 多维导向提能力

摘" 要：以2022年新高考Ⅰ卷第18题为例，从不同角度进行分析，培养学生的运算求解能力、数学应用意识、数学创新意识.

关键词：视角；三角函数；多维导向

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）16-0022-03

收稿日期：2024-03-05

作者简介：卢秀敏（1979.10—），女，中学高级教师，从事中学数学教学研究；

包喜（1980.9—），男，中学高级教师，从事中学数学教学研究.

基金项目：福建省教育科学“十四五”规划2023年度常规课题“基于新课程理念下高中数学大单元教学及评价研究”（项目编号：FJJKZX23-566）；2023年龙岩市永定区教育教学课题“生态课堂设问的有效预设与调控的研究”（项目编号：ydjxjky23-102）.

近几年高考中，针对三角函数知识加强了对正弦定理、余弦定理的考查，主要考查运算求解能力、数学应用意识、数学创新意识.考查难度不大，但综合性强，如结合向量、导数、基本不等式等知识的融合考查，学科能力检验功能明确.因此高三复习阶段，教师通常会将三角函数模块的复习作为重中之重，学生在解题训练中也会关注本模块的训练［1］.

1" 真题呈现

题目" （2022年全国Ⅰ卷第18题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.

（1）若C=2π3，求B；

（2）求a2+b2c2的最小值.

2" 解法分析

2.1" 第（1）问解析

2.1.1" 以“角度”为研究视角

解法1" 根据sin2B=2sinBcosB，

cos2B=2cos2B-1，

可得sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB.

又cosA1+sinA=sin2B1+cos2B，

故cosA1+sinA=sinBcosB.

则cosAcosB=sinB（1+sinA）=sinB+sinBsinA.

移项可得sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=cos（π-C）=cos（π-2π3）=cosπ3=12.

又B∈（0，π3），故B=π6.

2.1.2" 以“函数”为研究视角

解法2" 已知cosA1+sinA=sin（π/2-A）1+cos（π/2-A），

又cosA1+sinA=sin2B1+cos2B，

则sin（π/2-A）1+cos（π/2-A）=sin2B1+cos2B.

构造函数f（x）=sinx1+cosx，x∈（0，π），则

f ′（x）=cosx（1+cosx）-sinx（-sinx）（1+cosx）2

=1+cosx（1+cosx）2gt;0.

所以f（x）在（0，π）上单调递增.

又f（π2-A）=f（2B），故π2-A=2B.

又A+B=π-C=π3，可解得B=π6.

解法3" 因为sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=tanB，

cosA1+sinA=cos2（A/2）-sin2（A/2）［sin（A/2）+cos（A/2）］2

=cos（A/2）-sin（A/2）cos（A/2）+sin（A/2）

=1-tan（A/2）1+tan（A/2）

=tan（π4-A2），

又因为A，B∈（0，π2），π4-A2∈（0，π2），函数

y=tanx在（0，π2）上单调递增，所以π4-A2=B.

又A+B=π-C=π3，可解得B=π6.

2.1.3" 以“结构”为研究视角

解法4" 由cosA1+sinA=sin2B1+cos2B，去分母，得

cosA（1+cos2B）=sin2B（1+sinA）.

即cosA+cosAcos2B=sin2B+sin2BsinA.

移项，得cosA+cosAcos2B-sin2BsinA=sin2B.

由两角和与差公式化简，得

cosA+cos（A+2B）=sin2B.

又因为A=π-C-B=π3-B，

所以A+2B=π3-B+2B=π3+B.所以

cos（π3-B）+cos（π3+B）=sin2B.

展开后合并同类项，得cosB=2sinBcosB.

所以sinB=12.

又B∈（0，π），所以B=π6.

解法5" 因为sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，

cosA1+sinA=cosA（1-sinA）1-sin2A=1-sinAcosA，

又因为cosA1+sinA=sin2B1+cos2B，

所以1-sinAcosA=sinBcosB.

去分母，得cosB-cosBsinA=sinBcosA.

故cosB=cosBsinA+sinBcosA=sin（A+B）=sin（π-C）=sinπ3=32.

又B∈（0，π），所以B=π6.

2.2" 第（2）问解析

2.2.1" 以角A为研究主体

解法1" 由（1）可知sinB=cos（A+B），A，B∈（0，π），

所以A+B=π2-B.

则B=π4-A2，C=π-A-B=34π-A2.

故sinB=sin（π4-A2）=22（cosA2-sinA2），

sinC=sin（34π-A2）=22（cosA2+sinA2）.

由正弦定理可知：

a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C

=sin2A+［cos（A/2）-sin（A/2）］2/212［cos（A/2）+sin（A/2）］2

=sin2A+（1-sinA）/2（1+sinA）/2

=2（1+sinA）2-5（1+sinA）+41+sinA

=2（1+sinA）-5+41+sinA

≥28-5=42-5，

当且仅当1+sinA=2时，等号成立.

故a2+b2c2的最小值为42-5.

2.2.2" 以角B为研究主体

解法2" 由（1）可知sinB=cos（A+B），A，B∈（0，π），

所以A+B=π2-B.

则A=π2-2B，C=π-A-B=π2+B.

故sinA=1-2sin2B，

sinC=cosB.

由正弦定理可知：

a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=（1-2sin2B）2+sin2Bcos2B

=4（1-sin2B）2-5（1-sin2B）+21-sin2B

=4（1-sin2B）-5+21-sin2B

≥28-5=42-5，

当且仅当1-sin2B=22时，等号成立.

故a2+b2c2的最小值为42-5.

2.2.3" 以角C为研究主体

解法3" 由（1）可知sinB=cos（A+B）=cos（π-C）=-cosC，B，C∈（0，π），所以B=C-π2，A=π-B-C=3π2-2C.

故sinA=cos2C=1-2sin2C.

由正弦定理可知：

a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=（1-2sin2C）2+cos2Csin2C

=（1-2sin2C）2+（1-sin2C）sin2C

=4sin2C-5+2sin2C

≥28-5=42-5，

当且仅当sin2C=22时，等号成立.

故a2+b2c2的最小值为42-5.

以上三种不同研究主体的选择，实际上是异曲同工、殊途同归，在同一函数模型为目标的前提下，由于选择对象的不同，对计算过程的难易有了一定影响.这就可以较好地对解题的方向进行示范，使学生感悟到函数模型的重要性.3" 结束语

高考作为高质量教育体系的一个重要检查环节，在落实立德树人的根本任务中发挥着极其重要的作用.学科素养不是独立于知识、技能、思想与经验之外的大概念，它指向对学科知识的理解、对学科技能的掌握、对学科思想的感悟和对学科活动经验的积累.学生的数学能力的提高应以核心素养为导向，在高三的教——学——评过程中，教师应注重核心素养在每一节授课过程中潜移默化的培养.在解题教学过程中，要注重分析试题的题源、考查目标、设计意图、能力要求、素养考查，“知其然，且知其所以然”，不断提升学科必备素养.

参考文献：

［1］

刘再平，刘祖希.新高考背景下高考数学研究述评与展望［J］.数学通讯，2023，62（04）：1-9，62.

［责任编辑：李" 璟］