2024年新高考数学模拟卷（八）

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）16-0081-08

收稿日期：2024-03-05

作者简介：李春林（1978.1—），男，甘肃天水人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

（河南、山西、江西、安徽、甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、陕西）

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合M=x||x-1|≤3，N={x|3x≤3}，则M∩N=（" ）.

A.［-2，+

SymboleB@ ）""" B.［-2，1］

C.［-1，4］D.［-2，-1］

2.设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（"" ）.

A.1""" B.2""" C.3""" D.2

3.下列结论中，错误的是（" ）.

A.数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6

B.若随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤-2）=0.21，则P（ξ≤4）=0.79

C.已知经验回归方程为y^=b^x+1.8，且x-=2，y-=20，则b^=9.1

D.根据分类变量X与Y成对样本数据，计算得到χ2=9.632，依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验（x0.001=10.828），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001

4.已知正项数列an满足a2n+1=anan+2，a9=a8+2a7，若存在m，n∈N*，使得9m+1n=2，则am·ana21的最小值为（" ）.

A.32""" B.64""" C.128""" D.256

5.对任意的实数x，x6=a0+a1（x-2）1+

a2（x-2）2+…+a6（x-2）6，则a2值为（" ）.

A.60""" B.120""" C.240""" D.480

6.已知函数f（x）=x（x-3）（x-32）（x-33）（x-

34）（x-35），则f ′（0）=（" ）.

A.315" B.314" C.-314" D.-315

7.在△ABC中，sinA-cosA=105，则sin（2A-

π4）=（" ）.

A.225""" B.22""" C.325""" D.7210

8.等比数列an的前n项和为Sn，a1gt;0，则“a1lt;a2”是“对n∈N*，Snlt;Sn+1”成立的（" ）.

A.充分不必要条件" B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，则（" ）.

A.A1D与B1D1是异面直线

B.A1D与EF所成角的大小为45°

C.A1F与平面B1EB所成角的余弦值为13

D.二面角C-D1B1-B的余弦值为63

10.已知双曲线C：x2m+n-y2m-n=1的焦点在x轴上，且焦距为2，则（" ）.

A.m=2

B.当n=0时，C的离心率为2

C.n的取值范围是（-12，12）

D.C的焦点到渐近线的距离随着n的增大而增大

11.已知函数f（x）=x3+3x2+bx+1的导函数f ′（x）的极值点是f（x）的零点，则（" ）.

A.f（x）在R上单调递增

B.f（x）的图象关于点（-1，0）中心对称

C.若a+cgt;-2，则f（a）+f（c）gt;0

D.过坐标原点仅有一条直线与曲线y=f（x）相切

第II卷（非选择题）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.给出下面四个命题：

①过一个球的球心和球面上任意两个点，有且只有一个平面；

②若直线a∥直线b，直线b平面α，则直线

a∥平面α；

③若直线a⊥直线b，直线a⊥直线c，直线b，c平面α，则直线a⊥平面α；

④若直线a垂直于直线b在平面α内的射影，则直线a⊥直线b.

则上述结论不正确的有.（填原号）

13.已知空间向量PA，PB，PC的模长分别为2，2，3，且两两夹角均为π3，点G为△ABC的重心，则|PG|=.

14.已知圆O1：x2+（y-2）2=1，圆O2：（x-3）2+

（y-4）2=4，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，则|PM|+|PN|的最小值是.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 2a-bc=2cosB .

（1）求角C；

（2）设D在AC上，且AD=2CD，BD=23，求3a+b的取值范围.

16.已知等差数列an的前n项和为Sn，a1+a2+3a4=25，且a3+2，a4，a5-2成等比数列.

（1）求数列an的通项公式；

（2）设bn=an·3an+1，求数列bn的前n项和Tn.

17.如图1，四边形ACDE为矩形，平面ACDE⊥平面ABC，F是AC中点，M是EF中点，点N在线段BD上，且DN=3NB.

（1）求证：MN∥平面ABE；

（2）若∠BAC=π3，AB=AE=1，求MN与平面BDE所成角θ的正弦值.

18.电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务.我们在使用电子邮件时发现一个有趣的现象：中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少.为了研究邮箱名称里含有数字是否与国籍有关，随机调取了50个邮箱名称，得到2×2列联表（见表1），其中中国人的邮箱占

2/5.

表1" 2×2列联表

中国人

外国人

总计

邮箱名称里有数字

15

邮箱名称里无数字

25

总计

（1）将2×2列联表补充完整，根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析“邮箱名称里含有数字与国籍”是否有关？

（2）用样本估计总体，将频率视为概率.在所有中国人邮箱名称里随机抽取3个邮箱名称，记3个中国人邮箱名称里含有数字的个数为X，求X的分布列和数学期望.

参考公式和数据：

χ2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），n=a+b+c+d

α

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

χα

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

19.椭圆E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的焦距为22，点M（2，1）是椭圆E上一点，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

1.因为|x-1|≤3-3≤x-1≤3-2≤x≤4，所以M=［-2，4］.又因为3x≤3x≤1，所以N=（-

SymboleB@ ，1］.所以M∩N=［-2，1］.

故选B.

2.依题意x+xi=1+yi，所以x=y=1.

所以|x+yi|=|1+i|=12+12=2.

故选B.

3.A选项，数据4，1，6，2，9，5，8排序后得到1，2，4，5，6，8，9，7×60%=4.2，故选取第5个数据作为第60百分位数，即为6，A正确；

B选项，因为ξ～N（1，σ2），根据对称性可知P（ξ≥4）=P（ξ≤-2）=0.21，故P（ξ≤4）=1-0.21=0.79，B正确；

C选项，已知经验回归方程为y^=b^x+1.8，且

x-=2，y-=20，则2b^+1.8=20，解得b^=9.1，C正确；

D选项，χ2=9.632lt;10.828，故不能得到此结论，D错误.

故选D.

4.因为a2n+1=anan+2，所以an为等比数列.

设an的公比为q（qgt;0），

因为a9=a8+2a7，所以q2a7=qa7+2a7.

即q2=q+2，得q=2.

所以am·ana21=2m-1a1·2n-1a1a21=2m+n-2.

因为9m+1n=2，

所以m+n=12（9m+1n）（m+n）=12（9+9nm+mn+1）≥12（10+29nm×mn）=8，

当且仅当n=2，m=6时等号成立，

所以am·ana21=2m+n-2≥26=64.

故选B.

5.因为x6=［（x-2）+2］6=C06（x-2）6+C16（x-2）5·2+C26（x-2）4·22

+C36（x-2）3·23+C46（x-2）2·24+C56（x-2）1·25+C66·26，

所以a2=C46·24=240.

故选C.

6.设φ（x）=（x-3）（x-32）（x-33）（x-34）·

（x-35），即f（x）=xφ（x）.

则f ′（x）=φ（x）+xφ′（x）.

所以f ′（0）=φ（0）=-3×32×33×34×35=-31+2+3+4+5=-315.

故选D.

7.由（sinA-cosA）2=sin2A-2sinAcosA+cos2A

=1-2sinAcosA=25，

则sinAcosA=310.即sin2A=35.

而cosA=sinA-105，

则10sin2A-210sinA-3=0.

所以（10sinA-3）（10sinA+1）=0.

又sinAgt;0，故sinA=310.

所以cos2A=1-2sin2A=1-2×910=-45.

所以sin（2A-π4）=22（sin2A-cos2A）=7210.

故选D.

8.等比数列an的前n项和为Sn，a1gt;0，当a1lt;a2时，即公比qgt;1.

则数列为各项均为正数的递增数列，

则有n∈N*，Snlt;Sn+1成立.

当Snlt;Sn+1时，则0lt;qlt;1也是各项均为正数的等比数列，此时a1gt;a2，

则“a1lt;a2”是“对n∈N*，Snlt;Sn+1”成立的充分不必要条件.

故选A.

9.根据异面直线的概念可得“平面内一点与平面外一点的连线，与此平面内不经过该点的直线是异面直线”可知A正确.

如图2，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，D（0，0，0）， A1（2，0，2）， E（1，2，0）， F（0，1，0），

所以A1D=（-2，0，-2）， EF=（-1，-1，0）.

设A1D与EF所成角的大小为θ，

则

cosθ=A1D·EF|AD1||EF|=28×2=12.

所以θ=π3，故B错误.

由题意可知，平面BEB1的法向量可取DC=（0，2，0）， A1F=（-2，1，-2），

设A1F与平面B1EB所成角为α，则

sinα=A1F·DC|A1F||DC|=229=13.

所以A1F与平面B1EB所成角的正弦值为13，余弦值为α=223，故C错误.

D1B1=（2，2，0）， BB1=（0，0，2）， 设平面D1B1B的法向量为m=（x1，y1，z1），

则m·D1B1=2x1+2y1=0，m·BB1=2z1=0.

令x1=1，得m=（1，-1，0）.

设平面D1B1C的法向量为n=（x2，y2，z2），

则n·D1B1=2x2+2y2=0，n·B1C=-2x2-2z2=0.

令x2=1，得n=（1，-1，-1）.

则cos〈m，n〉=m·n|m||n|=22×3=63.

又因为二面角C-D1B1-B为锐角，

所以二面角C-D1B1-B的余弦值为63，故D正确.

故选AD.

10.令双曲线C的实半轴长、虚半轴长、半焦距分别为a，b，c，则a2=m+n，b2=m-n，c=1.

于是2m=a2+b2=c2=1，解得m=12，A错误.

当n=0时，a2=m=12，a=22，离心率e=ca=2，B正确.

由a2=12+ngt;0，b2=12-ngt;0， 解得n∈（-12，12），C正确.

双曲线C的渐近线bx±ay=0，由对称性不妨令双曲线C的焦点为（1，0），则C的焦点到渐近线的距离ba2+b2=b=12-n，b随着n的增大而减小，D错误.

故选BC.

11.由题意知，f ′（x）=3x2+6x+b.

设g（x）=f ′（x），则g′（x）=6x+6=6（x+1）.

所以当x∈（-

SymboleB@ ，-1）时，g′（x）lt;0；

当x∈（-1，+

SymboleB@ ）时，g′（x）gt;0.

所以g（x）在（-

SymboleB@ ，-1）上单调递减，在（-1，+

SymboleB@ ）上单调递增.

所以x=-1是g（x）的极小值点，即x=-1是f ′（x）的极小值点，也是f（x）的零点.

所以f（-1）=-1+3-b+1=0，解得b=3.

所以f（x）=x3+3x2+3x+1.

对于A，因为f ′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0在R上恒成立且不恒为0，

所以f（x）在R上单调递增，A正确.

对于B，因为f（-2-x）=（-2-x）3+3（-2-x）2+3（-2-x）+1=-（8+12x+6x2+x3）+3（4+4x+x2）-6-3x+1=-x3-3x2-3x-1，

所以f（-2-x）+f（x）=（-x3-3x2-3x-1）+

（x3+3x2+3x+1）=0.

所以f（x）的图象关于点（-1，0）中心对称，B正确.

对于C，由a+cgt;-2，得 agt;-c-2.

因为f（x）在R上单调递增，

所以f（a）gt;f（-c-2）.

由B知：f（-c-2）+f（c）=0，

即f（-c-2）=-f（c）.

即f（a）gt;-f（c）.即f（a）+f（c）gt;0，C正确.

对于D，设过坐标原点的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，x30+3x20+3x0+1），

因为f ′（x）=3（x+1）2，所以切线方程为

y-（x30+3x20+3x0+1）=3（x0+1）2（x-x0）.

即切线方程为

y=（3x20+6x0+3）x-2x30-3x20+1.

代入点（0，0）得：2x30+3x20-1=0.

即2x20（x0+1）+x20-1=（x0+1）2（2x0-1）=0，

解得x0=-1或x0=12.

所以过坐标原点有两条不同的直线与y=f（x）相切，D错误.

故选ABC.

12.对于①，当两点为球的直径的两个端点时，过球心与这两点有无数个平面，故命题①不正确；

对于②，若直线a∥直线b，直线b平面α，则直线a∥平面α或直线a平面α，故命题②不正确；

对于③，若直线a⊥直线b，直线a⊥直线c，直线b，c平面α，则可能直线a平面α，故命题③不正确；

对于④，设a是平面α的垂线，b是平面α的斜线（与平面α相交但不垂直），此时直线a垂直于直线b在平面α内的射影，但与斜线b不垂直，故命题④不正确.

故答案为①②③④.

13.因为G为△ABC的重心，所以AG=13（AB+AC）.

所以PG-PA=13（PB-PA+PC-PA）=13PB+13PC-23PA.

所以PG=13PA+13PB+13PC.

所以|PG|2=（13PA+13PB+13PC）2=19×（4+4+9+2×2×2×12+2×2×3×12×2）=339.

14.如图3所示，设P（t，0），则

|PM|+|PN|=|PO1|2-1+|PO2|2-2

=t2+4-1+（t-3）2+16-4

=t2+3+（t-3）2+12

=（t-0）2+［0-（-3）］2+（t-3）2+（0-23）2.

取A（0，-3），B（3，23），则

|PM|+|PN|=|PA|+|PB|≥|AB|，

当且仅当A，P，B三点共线时取等号.

而|AB|=9+27=36=6，

所以当且仅当A，P，B三点共线时，|PM|+|PN|取最小值6.

15.（1）因为2a-bc=2cosB，由正弦定理可得

2sinA-sinBsinC=2cosB.

即2sinA-sinB=2cosBsinC.

又A+B+C=π，所以sinA=sin（π-B-C）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC.

故2sinBcosC+2cosBsinC-sinB=2cosBsinC.

即2sinBcosC-sinB=0.

又B∈（0，π），所以sinB≠0，得到cosC=12.

又C∈（0，π），所以C=π3.

（2）因为AD=2CD，则CD=b3.

又由（1）及条件知C=π3， BD=23.

在△BCD中，令∠BDC=α，∠CBD=β，

由正弦定理，得BDsinC=BCsinα=CDsinβ.

所以a=BC=233/2sinα=4sinα，

b3=CD=233/2sinβ=4sinβ.

即b=12sinβ.

所以3a+b=12（sinα+sinβ）.

又α+β=2π3，所以3a+b=12［sinα+sin（2π3-α）］=12（32sinα+32cosα）=123sin（α+π3）.

又α∈（0，2π3），所以当α=π6时，3a+b取到最大值为123.

又易知，a+b3gt;BD=23，所以3a+bgt;63.

所以3a+b的取值范围为（63，123］.

16.（1）由题意，n∈N*，在等差数列an中，设公差为d，

由a1+a2+3a4=25，得5a1+10d=25.

则a1+2d=a3=5.

又a3+2，a4，a5-2成等比数列，

所以7，5+d，3+2d成等比数列.

得（5+d）2=7（3+2d）.

即（d-2）2=0，解得d＝2.

所以an=a3+（n-3）d=2n-1，n∈N*.

故数列an的通项公式an=2n-1（n∈N*）.

（2）

在数列an中，an=2n-1，

在数列bn中，bn=an·3an+1，

所以bn=（2n-1）·32n=（2n-1）·3n.

所以Tn=1×31+3×32+5×33+…+（2n-1）×3n.

故3Tn=1×32+3×33+…+（2n-3）×3n+（2n-1）×3n+1.

两式相减，得

-2Tn=3+2（32+33+…+3n）-（2n-1）·3n+1

=3+2·9（1-3n-1）1-3-（2n-1）·3n+1

=-6+（2-2n）·3n+1.

所以Tn=3+（n-1）·3n+1（n∈N*）.

17.（1）如图4，取AE的中点G，在BE上取点H使EH=3HB，连接MG，GH，NH，

因为DN=3NB，

所以HN∥DE且HN=14DE.

因为F是AC中点，M是EF中点，

所以GM∥AC且GM=14AC.

所以HN∥GM且HN=GM.

所以四边形HNMG是平行四边形.

所以MN∥GH.

因为MN平面ABE，GH平面ABE，

所以MN∥平面ABE.

（2）因为四边形ACDE为矩形，

所以EA⊥AC.

因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC，EA平面ACDE，

所以EA⊥平面ABC.

以A为坐标原点，AB，AE所在直线为x轴、z轴，平面ABC内过点A垂直于AB的直线为y轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，

因为∠BAC=π3，AB=AE=1，设AC=a，

所以A（0，0，0），B（1，0，0），E（0，0，1），G（0，0，12），C（a2，3a2，0），D（a2，3a2，1），H（34，0，14）.

所以EB=（1，0，-1），ED=（a2，3a2，0）.

由（1）知MN∥GH且MN=GH.

所以MN=GH=（34，0，-14）.

设向量m=（x，y，z）为平面BDE的一个法向量，则

m·EB=x-z=0，m·ED=a2x+3a2y=0.

取x=3，则y=-1，z=3.

所以m=（3，-1，3）.

所以sinθ=|cos〈m，MN〉|

=|33/4-3/4|9/16+1/16×3+1+3=21035.

故MN与平面BDE所成角θ的正弦值为21035.

18.（1）零假设H0：邮箱名称里含有数字与国籍无关.

表2" 列联表

中国人

外国人

合计

有数字

15

5

20

无数字

5

25

30

合计

20

30

50

由列联表数据，经计算可得χ2=50×（15×25）220×30×20×30≈17.014gt;10.828=x0.001.

根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为邮箱名称里含数字与国籍有关，由此推断犯错误的概率不大于0.001.

（2）由（1）中国人邮箱名称里含数字的概率为1520=34，则X～B（3，34）.

X的可能取值为0，1，2，3，

P（X=0）=（14）3=164，

P（X=1）=C13（34）（14）2=964，

P（X=2）=C23（34）2（14）=2764，

P（X=3）=（34）3=2764，

E（X）=0×164+1×964+2×2764+3×2764=94.

19.（1）根据题意，2c=22，故c=2.

又M（2，1）在椭圆上，故2a2+1b2=1.

因为a2-b2=2，解得a2=4，b2=2.

故椭圆方程为x24+y22=1.

（2）如图6，当l平行于x轴时，设直线与椭圆相交于C，D两点，如果存在点Q满足条件，则|QC||QD|=|PC||PD|=1.

即|QC|=|QD|.

所以点Q在y轴上，可设Q的坐标为（0，y0）.

如图7，当l垂直于x轴时，设直线与椭圆相交于M，N两点，如果存在点Q满足条件，则有|QM||QN|=|PM||PN|.

即|y0-2||y0+2|=2-12+1，解得y0=1或y0=2.

如图8，当l不平行于x轴且不垂直于x轴时，设直线l方程为y=kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=kx+1，x24+y22=1，得

（1+2k2）x2+4kx-2=0.

因为直线l恒过椭圆内定点P（0，1），故△gt;0恒成立，

x1+x2=-4k1+2k2，x1x2=-21+2k2.

又因为点B关于y轴的对称点B′的坐标为（-x2，y2），

又kQA=y1-2x1=kx1-1x1=k-1x1，

kQB′=y2-2-x2=kx2-1-x2=-k+1x2，

则kQA-kQB′=2k-x1+x2x1x2=0.

所以kQA=kQB′，则Q，A，B′三点共线.

所以|QA||QB|=|QA||QB′|=|x1||x2|=|PA||PB|.

综上，存在与点P不同的定点Q，使|QA||QB|=|PA||PB|恒成立，且Q（0，2）.

［责任编辑：李" 璟］