深研教材内涵聚焦核心素养提升思维品质

试题命制是一项系统性较强的工作，具有一定的难度和挑战性.命题者在高考试题的基础上进行改编，以中国“航天梦”为载体，通过教科书封面的引入，将飞行器轨迹与椭圆方程紧密衔接，揭示了数学与天文学的紧密联系.改编题目考查了逻辑推理、数学运算等核心素养.

1 改编题目及原题呈现

改编题由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”.中国空间站的运行轨道是以地球为一个焦点的椭圆，人教A版数学教材选择性必修第一册的封面即为中国空间站在太空中围绕地球运行的示意图.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）与某飞行器的运行轨道是“相似椭圆”，若椭圆C的特征三角形是等腰直角三角形，点P（0，1）在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l：y=kx+m（m≠1）与椭圆C交于A，B两点，直线PA，PB的斜率分别记为k1，k2.

①若k1k2=1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.

②若直线l的斜率k=3，直线PA，PB分别交直线x=2于点M，N，当14≤m≤13时，求三角形PMN面积S的最小值.

原题（2022·浙江·高考卷第21题）

已知椭圆x212+y2=1.

设A，B是椭圆上异于点P（0，1）的两点，且点Q0，12在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y=－12x+3于C，D两点.

（1）求点P到椭圆上点的距离的最大值；

（2）求|CD|的最小值.

2 试题命制过程

中国高考评价体系中明确指出，需要通过设计生活实践情境和学习探索情境作为载体，实现对学生学科基本概念、原理、技能和思维方法的考查和选拔.中国航天飞行器的运动轨迹是以地球为一个焦点的椭圆，在解析几何试题编制过程中以此为情境进行切入.

2.1 改编题第（1）问第一稿

天宫一号，为中国载人航天工程发射的第一个目标飞行器，是中国第一个空间实验室，它围绕地球飞行的轨迹可近似看作一个椭圆（图1）.在手机地图（图2）中，可随时查看中国空间站飞行运动的基本数据，且实时进行更新.

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），点A（-2，0），B1，32在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程.

说明：问题情境中提到了天宫一号的运行轨迹和手机地图中呈现的中国空间站飞行运动的基本数据，数据过多不易理清头绪，所以不宜采用.参考人教A版选择性必修第一册教科书第115页第7题、第145页第1题，题目中涉及到了“近日（地）点”“远日（地）点”的概念，并提到了离心率，于是再做修改.

2.2 改编题第（1）问第二稿

人教A版数学教材选择性必修第一册的封面是中国空间站在太空中围绕地球运行的示意图，中国空间站运行轨道是以地球为一个焦点的椭圆.已知某个飞行器的运行轨道方程为椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），远地点（距离地面最远的点）距离地球中心为1+2，点P（0，1）在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程.

说明：由于本题背景来源于实际问题，因此1+2数值后应该有距离单位，显然该数值脱离实际背景.此外，本题考查的内容单一，求出运行轨道所在的椭圆方程后，与直线方程无法结合.

2.3 改编题第（1）问第三稿

由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”.中国空间站的运行轨道是以地球为一个焦点的椭圆，人教A版数学教材选择性必修第一册的封面即为中国空间站在太空中围绕地球运行的示意图.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）与某飞行器的运行轨道是“相似椭圆”，若椭圆C的特征三角形是等腰直角三角形，点P（0，1）在椭圆C上.

（1）求椭圆C方程.

说明：通过“相似椭圆”这个概念，将空间站运行的轨道方程与题目中椭圆C的方程相结合.其中，特征三角形的定义源于人教A版选择性必修第一册教科书第106页的“思考”.

这个过程既有对新定义的理解，也将中国空间站这一情境创设与椭圆C方程结合起来，激发出学生对“中国梦”“航天梦”的热情，符合“课程思政”的理念.

2.4 改编题第（2）问第一稿

参考2022年浙江高考第21题，改编试题时将第（2）问分解为两个小问，得到初稿.

（2）直线AB：y=x+m（m≠0，m≠1）与椭圆C交于A，B两点，直线PA，PB的斜率分别记为k1，k2.

①若k1k2=1，求直线AB的方程；

②直线PA，PB分别交直线x=2于点M，N，当14≤m≤13时，求三角形PMN面积的最小值.

说明：令直线AB：y=x+m（m≠0，m≠1），其斜率为定值1，目的是减少运算量，解得m=－3，不满足直线AB：y=x+m（m≠0，m≠1）与椭圆C联立之后的判别式Δ＞0的范围，这与直线AB和椭圆交于A，B两点矛盾，所以进行修改.

2.5 改编题第（2）问第二稿

（2）直线l：y=kx+m（m≠1）与椭圆C交于A，B两点，直线PA，PB的斜率分别记为k1，k2.

①若k1k2=1，求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标.

②若直线l的斜率k=3，且直线PA，PB分别交直线x=2于点M，N，当14≤m≤13时，求三角形PMN面积S的最小值.

说明：直线l：y=kx+m（m≠1）包含两个参数k，m，在化简的过程中消去k，最终化简成为只含有m的表达式，这个运算过程和第一稿中已知斜率k=1时的计算量差别不大.数学运算是数学学科核心素养之一，故将题目改成直线l：y=kx+m（m≠1）过定点，并求出该定点的坐标.

3 改编题第（2）问解题分析的思维导图

（Ⅰ）改编题第（2）问中第①问解题分析的思维导图如图3所示.

（Ⅱ）改编题第（2）问中第②问解题分析的思维导图如图4所示.

如何通过选取适宜的素材，创设合适的科学情境，在真实的背景下发挥核心价值的引领作用，运用必备知识和关键能力去解决实际问题，全面展现学科素养水平，这确实是一个值得研究的方向.教师不仅要具备精湛的命题技术还要具备深厚的教学经验，并要密切关注学生的学习情况，善于将生活情境、社会热点融入到试题命制当中，注重提升学生的思维品质，以推动学生全面发展.