体外预应力梁横向振动的微分求积分析

摘""要："分析了预应力梁的横向自由振动固有频率，对已有文献给出的体外预应力横向振动方程进行探讨，将微分求积方（DQ）法直接应用于修正后的振动控制方程中. 在简支边界条件下，得到固有频率的数值解，并分析了预应力混凝土梁的不同物理参数对频率的影响. 数值结果表明，随着混凝土等级和预应力筋偏心距的提高，预应力梁的同阶自振频率值增大；而随着梁长和初始预应力值的增加，固有频率值略微降低.

关键词："预应力混凝土梁；"固有频率；"物理参数；"微分求积（DQ）法

中图分类号："O 32 """文献标志码："A """文章编号："1000-5137（2024）04-0538-05

Differential quadrature method for vibration analysis of externally prestressed beams

PENG Li，"WANG Ying

（School of Civil Engineering，"Shanghai Normal University，"Shanghai 201418，"China）

Abstract："Natural frequencies of free transverse vibrations of externally prestressed beams were investigated and the governing equations of the free vibration in related literature were discussed in this paper. The differential quadrature （DQ）"method was applied directly to the corrected governing equation. Under the simple supported boundary condition，"the natural frequencies were numerically studied，"and the physical parameters of the beam were analyzed. The numerical results showed that the natural frequency values increased with the strength grade of concrete and eccentric of prestressed steel. However，"with the growth of the length and value of original prestressed force，"the natural frequency values decreased.

Key words："prestressed concrete beam；"natural frequency；"physical parameter；"differential quadrature （DQ）"method

预应力技术能有效改善混凝土结构的开裂，提高结构的刚度和耐久性，并发挥材料的高强度性能，在结构工程中得到广泛应用^［1-3］. 近年来，国内外学者对于预应力结构的静力性能研究较多，而对于复杂的动力性能的研究相对不够深入.

微分求积（DQ）法是Bellman等根据数值积分思想提出的一种求解偏微分方程的数值方法，是解决动力学问题的有效工具. 其本质是把函数在给定网点上的各阶导数值，近似地用全域上所有网点处的函数值的加权和来表示. 首次由BERT等^［4］引入结构分析后，DQ法已被成功地应用于解决多种梁的振动问题^［5-6］.

对于预应力梁的振动特性，已有的研究将材料力学和结构动力学知识相结合，推导出了不同线型振动频率的公式^［3，7］，但这些公式都基于简化后的振动控制方程，其准确性值得探讨. 本文对已有的体外索直线型布置预应力梁的振动控制方程进行分析和修正，并将DQ法直接应用于修正后的振动控制方程中. 在简支边界条件下，得到横向自由振动固有频率的数值解，并分析了预应力梁的各项物理参数对自振频率的不同影响.

1 "振动控制方程

2 "DQ法

DQ法可用来解决结构动力性能相关问题. 预应力简支梁的计算区域为0≤x≤1. x方向的网点数为N. 离散点的分布采用非均匀离散点布置，其分布形式为：

3 "数值算例

以简支边界条件下，直线形体外索布置的预应力混凝土梁作为模型梁. 模型梁相关各项物理参数如表1所示. 将各项参数代入公式，无量纲化后得到k_f和k₁及k₂的数值，由方程（17），微分求积方法数值计算固有频率可归结为广义本征值问题. 选取网点数"N"=38，利用Matlab可得到各阶自振频率值.

考虑改变混凝土强度等级对自振频率的影响，保持其他参数不变，表2给出了模型梁前4阶自振频率，表明随着阶数的增高，频率明显增大；但同阶自振频率随着混凝土强度等级的增高只略微增大，且随着阶数的增高，不同等级的混凝土对应的预应力简支梁的频率值增幅加大. 保持其他参数不变，调整梁的跨度得到各阶的自振频率，如表3所示. 可以看出预应力梁同阶的自振频率随着梁跨度的增长而降低，且随着阶数的增大，该影响的效果愈明显..

表4中，保持其他参数不变，调整作用在梁上的初始预应力的数值，数据表明自振频率随着作用于梁上的初始预应力的增大而减小，但减小幅度有限. 由表5可知，其他参数不变的情况下，偏心距的增大使得预应力梁的自振频率也增大，但随着阶数的升高，偏心距增大造成的频率增长率无明显变化.

4 "结"论

本文探讨了预应力梁横向自由振动的固有频率，对已有文献给出的体外预应力横向振动方程进行探讨，将微分求积方法直接应用于修正后的振动控制方程中. 在简支边界条件下，得到横向自由振动的固有频率的数值解，"并分析了预应力混凝土梁的不同物理参数对频率的影响. 数值结果表明，随着混凝土等级和预应力筋偏心距的提高，预应力梁的同一阶自振频率值增大；而随着梁长和初始预应力值的增加，固有频率值略微降低.

参考文献：

［1］ AYAHO M，"KATSUJI T，"HIDEAKI N，"et al．"Behavior of prestressed beam strengthened with external tendons ［J］．"Journal of Structural Engineering，"ASCE，"2000，126（9）：1033-1044.

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PENG L，"CHEN C X. Analysis of natural frequency of externally prestressed concrete beams with asymmetric configuration ［J］. Journal of Shanghai Normal University （Natural Sciences），"2001，40：483-488.

（责任编辑：顾浩然）