立足教材寻找高考创新试题的生长点

摘" 要：2023年高考数学新课标Ⅰ卷第21题，融概率的相关概念和计算、数列求和等知识方法的考查于一体，突出体现了综合性、应用性、创新性的命题特点，突出考查了数学建模、数学抽象、数学运算等核心素养. 围绕该题的立意和题源进行探究，积极寻找该题创新命题的生长点，并就如何加强数学抽象和数学建模素养在数学教学中的正向和逆向运用提出了建议.

关键词：立意分析；题源探究；问题情境；核心素养

中图分类号：G633.6" " "文献标识码：A" " "文章编号：1673-8284（2024）06-0048-04

引用格式：徐朴. 立足教材寻找高考创新试题的生长点：2023年高考数学新课标Ⅰ卷第21题题源探究与教学建议［J］. 中国数学教育（高中版），2024（6）：48-51.

近年来，高考数学全国卷的试题力求实现由知识立意、能力立意向素养立意转变，反题海、反刷题、反套路、反押题特点十分明显，考教衔接取向更为突出，特别是在2023年和2024年的高考数学试卷中，多道试题能够在人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“人教A版教材”）中找到基础原型或原题，突出考查了数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养. 下面以2023年高考数学新课标Ⅰ卷第21题为例进行说明.

一、试题解析

题目 （2023年新课标Ⅰ卷·21）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8. 由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第[i]次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量[Xi]服从两点分布，且[PXi=1=1-PXi=0=qi，i=1，2，…，n，] 则[Ei=1nXi=][i=1nqi]. 记前[n]次（即从第1次到第[n]次）投篮中甲投篮的次数为[Y]，求[EY]．

解析：解题时，需要严格审视第[i]次投篮的人是甲（或乙）的概率与甲（或乙）每次投篮命中率的联系与区别，切忌不明就里，张冠李戴，混为一谈.

二、立意分析

该题以现实生活中的投篮问题为背景，融对概率与数列知识的考查于一体，是整份试卷中较为出彩的一题，体现了高考命题对基础性、综合性、应用性和创新性的要求.

从考查的知识点来看，第（1）小题是对条件概率和全概率公式的考查，要求学生能把复杂事件进行分解，运用互斥事件的概率加法公式和概率的乘法公式进行求解；第（2）小题是概率和数列的综合，要求学生会用数列的眼光审视相关概率，通过构建递推关系求出数列的通项公式；第（3）小题要求根据给出的新信息，求随机变量的期望，涉及数列求和等知识.

从问题呈现的逻辑顺序来看，三道小题由易到难，层层递进，遵循学生的认知规律，按照人教A版教材知识的学习顺序来设计问题，让学生经历知识的产生和发展过程. 例如，教材等差（比）数列部分，按照“依据具体实例—提炼递推关系—推导等差（比）数列的通项公式—推导等差（比）数列的前[n]项和公式”这一学习路径. 该题也是沿着这一路径，先给出“投篮”这一生活情境，让学生运用全概率公式探究获得递推关系，并通过构造等比数列求得通项公式，从而获得概率表达式.

从考查能力、方法与素养来看，第（1）小题考查学生的分类讨论能力；第（2）小题考查数学抽象、数学运算素养，以及从特殊到一般的归纳能力；第（3）小题由实际问题构造随机变量，考查数学建模、数学运算等素养.

三、题源探究

该题是一道情境创新题，试题情境在教材的例题和习题中均有原型.

第（1）小题源自人教A版教材选择性必修第三册第50页例4：“某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.”该题的背景只是将教材例题中的“选择用餐地点”变成“选择投篮人”，试题给出的概率数值和该题完全相同，考查知识点为全概率公式.

第（2）小题取材于人教A版教材选择性必修第三册复习参考题7的第10题：“甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人. 求[n]次传球后球在甲手中的概率.”该题与教材习题的背景基本一致，都是从数列的角度思考，利用全概率公式构建递推关系，再构造等比数列[pi-13]求通项公式. 这种利用构造法求通项公式的方法，源自人教A版教材选择性必修第二册第39页的例12.

第（3）小题是一个新定义问题，两点分布对应的原型正好是每一次投篮人是甲或乙，以及投篮命中与否. 第[i]次投篮甲投篮的次数是考查（随机）变量，记为[Xi]. [Xi]的可能取值为0或1，即[Xi=1，第" i" 次投篮是甲，0，第" i" 次投篮是乙，] 所以[i=1nXi]表示前[n]次（即从第1次到第[n]次）投篮中甲投篮的总次数，即[Y=i=1nXi]，所以[EY=Ei=1nXi=][i=1nqi].

给随机变量赋予实际意义或现实背景，对学生的应用意识和创新思维提出了很高的要求. 对于这一高含金量的问题，教材中有对应的原型吗？答案是肯定的！人教A版教材必修第二册第179页的问题2就是它的原型：“眼睛是心灵的窗口，保护好视力非常重要. 树人中学在‘全国爱眼日’前，想通过简单随机抽样的方法，了解一下全校2 174名学生中视力不低于5.0的学生所占的比例，你觉得该怎么做？”在这个问题中，全校学生构成调查的总体，每一位学生是个体，学生的视力是考察的变量. 为了便于问题的描述，记“视力不低于5.0”为1，“视力低于5.0”为0，则第[i]个[i=1， 2， …， 2 174]学生的视力变量值为

此外，人教A版教材选择性必修第三册“7.2 离散型随机变量及其分布列”通过多个生活实例让学生分析概括，抽象出实际问题中的随机变量. 例如，随机抽取一件产品，“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定义随机变量[X=1，抽到次品，0，抽到正品;] 掷一枚硬币，将试验结果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示，即定义随机变量[X=1，正面朝上，0，反面朝上. ]这些变量都服从两点分布. 这些问题都要求学生形成建立随机变量和实际问题背景之间联系的意识，是提升学生数学应用能力的最好抓手.

四、教学建议

以现实生活为背景的概率应用题，通常情境新颖，文字阅读量大，内涵丰富，层次深入复杂. 若涉及概率与数列、不等式等相关知识的综合题，如该题中随机变量的期望与递推数列的融合，则具有较强的应用性、综合性和创新性，可能会出现在压轴题的位置，具有一定的难度. 但其涉及的知识与方法仍然可以从教材中找到对应的原型. 正因为如此，笔者呼吁：无论是概率内容的新课教学还是高考复习，都应该以教材为抓手，立足教材，吃透典型例题、习题和基本方法，而不是把大量时间用在简单重复练习和机械刷题上，切实避免脱离教材滥用教辅实施教学的现象，切不可本末倒置，丢弃根本（教材），努力将数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养的培育落在实处. 因此，给出如下教学建议.

1. 要重视概念生成过程的教学

以概念教学为抓手，发展数学抽象素养. 以该题涉及的随机变量和数列综合题为例，在高考复习时，应该先回顾“数列”的学习过程，熟读教材提供的丰富实例，让学生用数学的眼光（抽象）观察分析，用数学的语言（符号）表示描述，努力找出这些实例的共同点，抽象归纳出数列的概念. 在“随机变量分布列”的学习中，教材同样是先由几个常见的实例抽象概括随机变量的概念和特征. 让学生切实经历这些知识、概念的形成过程，经历数学抽象和数学建模的实践应用，进而有效提升他们的思维能力与核心素养.

在该题的解决过程中，仅仅掌握求等差（比）数列的通项公式及前[n]项和、会计算分布列和期望是不够的，关键是读懂题意，分析探究题中第[i]次投篮的人是甲（或乙）的概率，以及它与甲（或乙）每次投篮命中率的联系与区别. 探究[pi+1]与[pi]的关系，通过构造求出递推数列的通项公式. 根据给出的两点分布定义，给随机变量赋予实际意义和现实背景. 可见，解题过程环环相扣，逐步深入，体现了“实际问题—用数学观点分析—用数学模型解释—用数学方法解决—给出实际问题答案”这一知识发生发展和问题解决的过程. 其中，数学抽象、数学建模是最基本、最重要的素养和力量.

2. 要重视生活情境问题的教学

要积极引导学生自己寻找生活实例，培养学生的数学应用意识和创新意识. 在教学中，我们不仅要注重培养学生分析问题和解决问题的能力，还应该重视培养学生发现问题、提出问题的意识和能力.“发现问题和提出问题”之所以放在“四能”之首，主要是为了促进和发展学生的应用意识和创新意识. 我们应该充分地认识到这一点.

该题第（3）小题的解答，需要根据问题背景与新给出的随机变量[Xi]服从两点分布的特点，赋予随机变量一个适合的实际意义. 对于“前[n]次（即从第1次到第[n]次）投篮中甲投篮的次数为[Y]”，要问一问：每一次投篮是甲投还是乙投？这是典型的两点分布问题. 然后根据[Ei=1nXi=i=1nqi]很容易想到如何求[EY]. 因此，在实际教学时，不但要引导学生学会从实际情境中抽象概括出数学概念，构建数学模型解决问题，努力让生活情境数学化，也要努力在现实生活中找出已知数学模型、数学工具对应的情境，努力实现数学生活化，为学生的数学学习创造更丰富的生活情境和实际场景. 例如，我们在随机变量概念教学时，应该让学生多举一些随机变量的实例. 在掷骰子试验中，除了设计“掷一枚骰子所得的点数”这一随机变量外，还应该问一问：这样的背景，还可以构造或设定哪些随机变量？进而让学生体会到，还可以得到两次点数之和、两次点数之积等随机变量. 在学习两点分布时，还应该想到：学生的性别、电路的开关状态、病毒检查结果等都是符合两点分布特点的随机变量. 在课堂教学中，教师应该引导学生尽可能多地想象一些数学知识可能存在的各式各样的情境、背景，实现双向互逆对应转化，让他们感受到生活与数学密不可分，生活与数学相互交融，真正达成“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”的目标.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］方亚斌. 高考数学命题探秘［M］. 杭州：浙江大学出版社，2019.

［4］教育部教育考试院. 高考试题分析·数学（2024年版）［M］. 北京：语文出版社，2023.

作者简介：徐朴（1981— ），高级教师，主要从事高中数学课堂教学、命题和评价研究.