回归原点：追寻技巧与套路背后的数学本真

摘" 要：高中数学教学要善于回归原点，揭示技巧、套路背后的通性通法和数学思想，发展学生的理性思维. 教学中要引导学生追寻数学知识本真，回归高考试题理解的原点；追寻数学方法本真，回归方法探究的原点；追寻数学思想本真，回归理性思维的原点.

关键词：回归原点；数学本真；方法探究；理性思维

中图分类号：G633.6" " "文献标识码：A" " "文章编号：1673-8284（2024）06-0013-04

引用格式：王琳，曾荣. 回归原点：追寻技巧与套路背后的数学本真［J］. 中国数学教育（高中版），2024（6）：13-15，32.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对高中数学学业水平考试、高考数学的命题提出以下建议：考查内容应围绕数学内容主线，聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用，强调基础性、综合性；注重数学本质、通性通法，淡化解题技巧. 在高中数学解题教学中，教师要在指导学生自然思考、合理解题的过程中，引导学生回归原点，追寻技巧与套路背后的数学本真，帮助学生深刻理解基础知识，掌握基本技能，感悟数学基本思想，积累数学基本活动经验，促进学生数学核心素养的不断提升.

一、追寻数学知识本真，回归高考试题理解的原点

案例1：对高考热点问题“指对同构”的理解.

2021年高考数学适应性测试卷（八省联考卷）的第8题、2021年新课标Ⅰ卷第22题、2022年新课标Ⅰ卷第22题等试题都考查了指对同构问题，这类问题是近些年高考的热点问题.

教师在教学时，首先要思考：为什么指对同构问题会成为高考的热点？仅仅是因为这类题解题的技巧性很强吗？一般来说，如果某类试题技巧性太强、套路化明显，这类题一定不可能成为持续的热点与经典. 对于解决指对同构问题常用的两个恒等式[elnx=x]和[lnex=x]，我们不能简单地将它们理解为是两个二级结论.

事实上，我们知道，指数式和对数式是可以相互转化的，如图1中的理解1. 在此基础上，作如图1中的理解2的变形即可得到两个恒等式[alogaN=N]和[logaab=b]. 进一步，特殊化处理就可以得到[elnx=x]和[lnex=x]，如图1中的理解3.

以上思维过程是一个严谨的逻辑推理过程. 有了这样的认识，我们可能就不难理解为什么“指对同构”问题会成为高考的热点了. [elnx=x]和[lnex=x]这两个恒等式的应用体现的不只是技巧性，而是直接指向了对指数与对数本质一致性的考查.

基于以上认识，我们来看如下高考试题（证明[x1+x3=2x2]）.

题目 （2022年新课标Ⅰ卷·22）已知函数[fx=]

[ex-ax]和[gx=ax-lnx]有相同的最小值.

（1）求[a;]

（2）证明：存在直线[y=b]，其与两条曲线[y=fx]和[y=gx]共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

思路分析：证明[x1+x3=2x2]就是要探求[x1，x2，x3]三者之间存在的等量关系. 而要沟通这三者之间的联系，应该充分发挥公共点B的桥梁纽带作用. 点B沟通了两个函数图象的联系，点B的横坐标[x2]沟通了[x1，x2，][x3]之间的联系，如图2所示. [fx=ex-x]和[gx=x-lnx]在结构上都是差的形式，前者涉及指数式，后者涉及对数式，而指数式和对数式之间可以进行相互转化. 基于以上认识，我们不难找到问题突破的思路，如图3所示.

高考试题突出对学科基本概念、基本原理的考查，强调知识之间的内在联系，引导学生形成学科知识系统. 从考试命题的视角来看，那些经久不衰、常考常新的热点、经典问题，它们的命题立意一定是基于知识本质的理解，注重知识的内在融合. 基于这样的认识，进行解题教学时，教师要特别关注结论性知识背后的过程性知识，如概念建构的方式、公式定理发现及证明的过程. 教学要在培养学生对知识本质的理解上下功夫，夯实学生的知识基础.

二、追寻数学方法本真，回归方法探究的原点

案例2：对空间几何体外接球球心的探求.

在立体几何的学习中，球的几何特征特别丰富，它可以与很多几何体融为一体. 自然地，在高考中，球就成了考查逻辑推理和直观想象素养的有效载体. 在解决球与其他几何体融合的有关问题时，常常需要探求空间几何体外接球的球心. 对于这样的问题，很多教师会给学生介绍各种各样的解题套路和技巧，而往往忽视了对最基本、最本质、最简洁的探究方法的介绍. 下面我们尝试用“以退为进”的策略和“交轨法”来研究这类问题.

首先，我们要明确这样一些基本事实：在平面内，到两个定点A，B距离相等的点的轨迹是线段AB的中垂线；在平面内，到不共线三点A，B，C距离相等的点是线段AB，AC的中垂线的交点，即△ABC的外心；在空间中，线段AB中垂面内的点到A，B两点的距离相等；在空间中，到不共线三点A，B，C距离相等的点的轨迹是经过△ABC的外心且与平面ABC垂直的直线，如图4所示.

在空间中，如果不共面的4点在同一个球面上，我们要找这个球的球心，即找到一个点到这4个点的距离相等. 我们可以以退为进，先找到与其中2点或3点距离相等的点的轨迹，再用交轨法找到与其他点的距离也相等的那个点，即我们所需要探求的球心.

例如，对于常见的墙角模型D-ABC（如图5），如果找外接球的球心，我们可以先确定到A，B，C三点距离相等的点的轨迹，即过直角三角形ABC斜边AB中点E，且与平面ABC垂直的直线l，再在l上找到一点到C，D的距离相等. 考虑到CD与直线l共面，故在这个平面内线段CD的中垂线与直线l的交点O即为所探求的球心.

这样的探究思路不仅可以用来研究以上的特殊模型，它实际上是一个一般化的研究策略. 读者可以自主探求堑堵、阳马、鳖臑模型外接球的球心，分别如图6、图7和图8所示.

高考数学全国卷在反套路、反机械刷题上下功夫，教师要善于结合对典型试题的讲解，揭示技巧、套路背后的一般方法、解题策略，引导学生不仅要“知其然”，更要“知其所以然”. 教学中，教师要注重本源性方法，淡化解题技巧，强调通性通法的综合运用，将教学重点从总结解题技巧转向提升学生的学习关键能力、培养学生的数学核心素养.

三、追寻数学思想本真，回归理性思维的原点

案例3：对求不规则几何体体积问题的想法探源.

在一次调研活动中，笔者遇到如下一道求不规则几何体体积的试题：如图9，在直角梯形ABCD中，AD = AB = 4，BC = 2，沿中位线EF折起，使得∠AEB为直角，连接AB，CD，则所得到的几何体的体积为" " " " .

执教教师用了如图10所示的方法1’、方法2’、方法3’、方法4’详细讲解了该试题，并渗透了将不规则几何体转化为规则几何体的化归思想，很好地完成了教学任务.

该题的素材是从二维到三维，最终研究的是三维背景下不规则几何体的体积. 在完成方法讲解以后，教师可以提出以下问题让学生进一步思考：小学阶段，我们曾研究过直角梯形的面积，在不借助梯形面积公式的前提下，能否求出左侧梯形的面积，并将二维平面图形求面积的方法与三维立体图形求体积的方法进行比较？说说你的感受.

在学生比较的基础上，形成对知识的完整建构. 从二维到三维，从面积到体积，这期间学生经历的也许不仅仅是解题能力的提升，可能会对学生良好数学素养的形成有一定的帮助.

数学课堂是培养学生理性思维的主阵地. 在课堂教学中，教师要让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程，综合运用直观感知、观察发现、辨析比较、归纳类比、抽象概括等方式培养学生的理性思维，促使学生形成数学观念，培育学生的理性精神. 学习是一个悟透学活的过程，教师不仅要帮助学生掌握基本的方法，更要和学生一起去探求方法背后的内在逻辑，并揭示学生想法背后的思想、观点，促进学生理性思维能力和数学核心素养的提升.

数学教学是思维的教学. 课堂教学要在理解数学、理解学生、理解教学的基础上，回归教学原点，关注教学过程，追寻数学本真，发展理性思维，培育理性精神.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］教育部教育考试院. 高考试题分析及解题精选（2023年版）：数学分册［M］. 北京：语文出版社，2022.

［4］曾荣. 高中数学教学中培养学生理性思维的研究［J］. 江苏教育，2023（37）：6.

基金项目：江苏省教研十五期课题——指向理性思维和理性精神培育的高中数学教学研究（2023JY15-GX-L34）；

江苏省教育科学“十四五”规划重点课题——数学哲学与数学教育深度融合的理论与实践研究（JSSJY202201086）.

作者简介：王琳（1985— ），女，中学高级教师，主要从事高中数学教学研究；

曾荣（1973— ），男，正高级教师，江苏省特级教师，主要从事高中数学教育教学研究.