超导量子计算门操作及其保真度测定的基本理论

摘 要 对于已有的超导量子比特器件，在进行系统标定之后构建相应的高保真度门操作是实现量子计算的关键步骤。作为“物理前沿介绍———超导量子计算”系列的第五篇，本文系统讨论通过微波脉冲构建超导量子比特门操作的物理图景以及基本方法，给出了一套单比特门操作的构建流程，并对门操作保真度的测定以及优化发展作延伸讨论。本文旨在帮助广大高校物理专业教师、高年级本科生、研究生以及对超导量子计算感兴趣的理工科背景读者系统了解超导量子比特门构建与门操作保真度测量与优化的整个基本过程。

关键词 超导量子比特;门操作;保真度

超导量子比特的操控是通过微波工程实现的，目前通过设计一系列微波序列可以实现对超导量子比特的特定调控[1]。对于以Xmon为例的超导量子比特，其设计中起到接收微波序列的部分被称为激励线[2]。在本系列文章的第四篇[3]中着重讨论了在超导量子比特中实现Rabi振荡的方法，并确定了一个可将超导量子比特从|0gt;完全激发到|1gt;的微波脉冲，实际上，它可以看作是一个使超导量子比特的量子态绕着x 轴做旋转的操控。在对超导量子比特进行系统的标定后，通过一100系列的门操作可以实现超导量子计算。2016年美国IBM 公司率先在互联网上建立了简明的超导量子计算云平台Quantum Experience。实验者登录后能够使用一台5比特的超导量子计算机进行量子算法或量子模拟实验，可以通过简单的交互将各个量子门操作按实验需求组成一个超导量子计算实验。可以看到，近几年发展起来的门操作是目前超导量子计算的关键要素，了解超导量子计算的门操作原理与门操作的保真度测量以及优化，对于超导量子计算整体的理解是必不可少的一步。

1 门操作的基本物理图景

在详细讨论门操作微波脉冲构建的一般方法前，需要把各种门的定义与物理图景做一个直观说明，以下基于IBM 的qiskit程序包[4]进行讨论。

如图1所示，超导量子比特的量子态可以视为布洛赫球上的一个矢量。

单比特的门操作可以视为量子态在布洛赫球上绕特定轴特定角度的一个旋转，定义一个绕任意轴任意角度旋转为

其中，θ，φ 分别为旋转轴的极角和方位角，φn 是绕旋转轴旋转的角度，由此我们就可以定义如X，Y，Z门的一些特定门操作。

在讨论门操作前，将特定旋转轴旋转操作的数学表示给出，如表1所示。

X门操作的其定义是

因此，X门可视为绕y 轴旋转π角度，再绕z 轴旋转π角度组合而成。如图2所示，从效果上看X门操作可以实现超导量子比特从|0gt;到|1gt;的过程，因此可将上述态矢量变换的操作与X 门操作相对应。由于在量子比特标定时对Rabi振荡脉冲（X门操作）进行了详细的校正[3]，因此X 门操作脉冲可以认为是可靠性较高的一种脉冲形式。

近年来随着量子计算的不断进展，RB理论也不断得到优化，比如三能级粒子随机标准测试（Qutrit Randomized Benchmarking）[20]讲述多能级单比特RB 实验扩展，多粒子同时标准测试（Simultaneous Randomized Benchmarking）[21]是有关同时多比特RB过程的扩展等，这里就不做展开了。图11 DRAG 操作所用示意图（a） 具有相同时域范围的矩形和高斯脉冲; （b） 在频域内，高斯脉冲的激发带宽明显窄于矩形脉冲的激发带宽; （c）、（d） DRAG 操作后的高斯脉冲非谐性约为200MHz; （d） 从DRAG 操作后的傅里叶变换可见（Ωx and Ωy 曲线）由于非谐性分量被减小，从而抑制了高能级泄漏[22]

3 门操作DRAG 的优化

在单比特门操作中，除保真度外还有另一个重要的指标，那就是完成一个门操作所用的时间。实验上，量子计算由复杂的门操作组成，由于量子比特退相干时间所限，实验上需要在系统退相干前完成尽可能多的门操作，这就对门操作的时间提出了较高的要求，随着量子计算的发展这个要求就显得日益重要。矩形脉冲和高斯脉冲是两种在超导量子计算中广泛使用的微波脉冲。如图11（a）、（b）所示，高斯脉冲的激发带宽明显窄于矩形脉冲，但由于高斯脉冲没有明确定义的起始点和终点，在使用的时候需要增加截断脉冲包络线的操作。对于目前主流的传输子（Transnom）量子比特设计，由于高斯脉冲带宽与典型Transnom的非谐性都在100MHz量级，所以高斯脉冲仍很难实现纳秒量级的量子比特门操作，对二者进行傅里叶变换可以看到具有此带宽的脉冲不仅可能引起在|0gt;和|1gt;之间的跃迁，甚至有可能引起在|1gt;和|2gt;之间的跃迁，从而导致所谓“高能级泄漏”问题，影响实验质量[22，23]。

目前，抑制微波泄漏的方案被称为绝热门的导数约化（Derivative Reduction by Adiabatic Gate）[24]。DRAG方法是在原来的微波基础上，附加一个与原微波脉冲项的导数有关的微波脉冲修正项，修正后的激励微波对量子比特的作用项为

其中，Ωx（y）为微波脉冲在x 与y 轴上的幅度，α 是单比特的失谐量，Ωy （t）^σy／2是修正项，λ 为DRAG系数。通过DRAG操作后，如图11（c）、（d）所示，再对微波函数做傅里叶变换可以看到这种可以引起高能级泄漏的频率得到了抑制。

更直观地，在图12所示的布洛赫球上显示DRAG效果，可以看到短脉冲微波高能级泄漏问题得到了较好的抑制，从而提高短脉冲下门操作的保真度[25]。在目前的超导量子计算系统中所实现的高保真门操作均基于DRAG脉冲及其改进方案。

4 结语

本文详细地讨论了如何通过微波实现对比特的门操作。门操作有两个关键性的指标，一个是保真度，另一个是微波脉冲的时间。保真度的标定采用的RB标准流程，它能够真实地反映出一个门操作的平均保真度大小，越短的脉冲越具有优势，但会面临微波泄露的问题，为了解决这个问题，需要采用DRAG 的方式，从而提高短脉冲的门操作保真度。

通过上面的讨论，本文将本系列第四篇的器件表征基本流程图扩充到了具备初步实验能力的程度，如图13所示。然而需要注意的是，这些都还是最基本的操作，在真正的量子计算实验中，往往要面临更多更复杂的问题，比如比特之间的磁通串扰[26]（Crosstalk），Z 波形失真[27，28]，二比特门的校准[29]等。

本系列的第六篇将重点放到超导量子比特器件的制备上，以期让读者对超导量子比特器件的实现与面临的挑战有一个直观的认识。此外，由于原计划在本文中讨论的Single-shot（单光子模式）测量[30]方法与门操作关联较小，故将在后续的文章中再进行讨论。

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