利用“三线”破解带电粒子在电场中的运动问题

［摘 要］带电粒子在电场中的运动问题是高中物理的重要内容和高考的考查重点，也是学生学习的重点和难点，该类问题涉及知识点较多、综合性较强，且命题形式多样、情境新颖。利用电场线、等势线、轨迹线分析相关物理量和运动过程，能轻松解决带电粒子在电场中的运动问题。文章具体阐述如何利用三线——电场线、等势线、轨迹线破解带电粒子在电场中的运动问题，以期帮助学生突破解题难点。

［关键词］带电粒子；电场；电场线；等势线；轨迹线

［中图分类号］" " G633.7" " " " ［文献标识码］" " A" " " " ［文章编号］" " 1674-6058（2024）17-0045-03

带电粒子在电场中的运动问题是高中物理的重要内容和高考的考查重点，该类问题涉及知识点多、综合性强，往往成为学生失分的“重灾区”。其实，这类问题考查的还是电场的性质、力与运动的关系以及功能关系这些基础知识，若能利用三线——电场线、等势线、轨迹线分析相关物理量和运动过程，就能轻松解决问题。本文探讨如何利用“电场线、等势线、轨迹线”三线来突破带电粒子在电场中的运动问题，并让学生体会基础知识的重要性。

首先由一道融合“三线”关系的例题入手进行研究。

［例题1］如图1所示，虚线表示一个电子在只有电场力作用下运动时从点a运动到点b的轨迹，图中实线为平行线，且相邻线间距相等，代表的可能是电场线，也可能是等势线。下列说法中正确的是（ ）。

A.不管平行线代表的是等势线还是电场线，在a、b处的电场强度总是b处大

B.不管平行线代表的是等势线还是电场线，在a、b处的电势总是a处高

C.不管平行线代表的是等势线还是电场线，电子在a、b处的电势能总是b处的大

D.如果平行线代表的是等势线，则电子在a、b处的速率一定是在a处大

解析：题中的平行线间距相等、均匀分布，所以不论平行线是电场线还是等势线，它所描述的电场均为匀强电场，所以a和b处的电场强度相等，故选项A错误。

当平行线代表电场线时，根据图中给出的电子运动轨迹可知电子所受的电场力的方向水平向右，因为电子带负电，所以可判断出电场的方向水平向左。顺着电场线方向电势降低，所以a处的电势低于b处。由电场力做功特性可知，在电子从点a运动到点b的过程中，电场力做的是正功，由功能关系可知电子的电势能减小，动能增大，因此所有电子的电势能a处大于b处，故选项B、C错误。

当平行线代表等势线时，由图中所给出的电子运动轨迹线（曲线）可知，电子受到的电场力的方向指向虚线的凹侧。因为电场线始终垂直等势线，所以电场的方向应为竖直向上，由此可知a处的电势比b处高。由于电子带负电，因此当其从a运动到b时，电场力对其做负功，由功能关系可知在这个过程中电子的电势能不断增大，动能不断减小，所有电子的速率在a处一定大于b处，故选项D正确。

由上述分析我们不难看出，掌握电场线、等势线的基本知识是解题的关键。

一、电场线与带电粒子运动轨迹

［例题2］如图2所示是静电纺纱工艺的原理示意图，图中虚线表示电场线，且电场线关于中间水平虚线的垂直平分线对称。a、b、c均为电场中的点，其中点b是中间水平虚线的中点，点a、c在中间水平虚线上的等势点与点b的距离相等。现有一电子从点a出发经过了点b后运动到点c，下列说法正确的是（ ）。

A. a、b、c处电势能依次升高

B. a、b、c处电场强度大小依次变小

C.电场力对电子在两个阶段所做的功Wab=Wbc

D.电子可以在仅受电场力作用下从点a过点b运动到点c

解析：本题的考点包括电势能、电场线、电势、电场强度、电场力做功等，对学生的思维能力、推理能力有一定要求。观察图中电场线的分布和方向可判断电场强度和电势情况。由[W=qU]可求出电场力做功的大小。电子仅受电场力作用的条件下，可描绘出电子的运动轨迹，根据轨迹的弯曲情况来判断受力方向。

由图2中电源信息可知，电场线方向由右向左，因为电势沿着电场线的方向逐渐降低，等势线与电场线垂直，根据图中a、b、c三点的位置分布，可判断a、b、c三处电势逐渐升高，电子在电势低处电势能大，故选项A错误。

电场线密集表示电场强度大，反之表示电场强度小，图2中a处的电场线最密集，b处最稀疏，所以a处电场强度最大，b处电场强度最小，故选项B错误。

由于“点a、c在中间水平虚线上的等势点与点b的距离相等”，根据电场线的对称性，可知水平虚线上关于点b对称的两点处的电场强度大小相等，则可知[Uab=Ubc]，由[W=qU]可求得[Wab=Wbc]，故选项C正确。

在电子只受电场力作用的情况下，因为电场线是曲线，所以电子所受电场力的大小、方向在不断变化，根据选项D的设定，“电子可以在仅受电场力作用下从点a过点b运动到点c”，其运动轨迹应如图3的曲线所示，如果该运动轨迹正确，那么在ab和bc段运动过程中，其所受电场力方向应如图3的箭头所示，这显然不满足电子在仅受电场力作用下做曲线运动的条件，故选项D错误。

【总结】对于涉及电场线与带电粒子的运动轨迹的问题，需要明确以下几点（括号中为“会用到知识”）：①确定带电粒子的运动轨迹弯曲方向（观察图中已给轨迹图，或像例题2选项D解析过程那样合理绘制需要的轨迹图）；②判定带电粒子所受力的方向（在仅受电场力作用下带电粒子做曲线运动时，其所受电场力的方向必定指向运动轨迹的凹侧）；③判定电场方向（利用带电粒子的电性、受力方向可判定，遵循以下原则：负电荷所受电场力的方向与电场方向相反，正电荷所受电场力的方向与电场方向一致）；④确定带电粒子受力大小和运动速度大小（由电场强度大小确定，应用功能关系、能量守恒定律、电势能及电场电势变化情况等知识）。

二、电场线、等势线与带电粒子运动轨迹

［例题3］如图4所示，虚线a、b、c、d、e是某电场的等势面，这五个等势面相邻等势面间的电势差相等，且[φc=0]。有一个带正电的质点进入电场，且在仅受电场力的作用下通过这个电场，其运动轨迹如图中实线所示，点P、R、Q在轨迹线上，且点R正好在等势面c上。下列说法正确的是（ ）。

A.等势面a的电势最高

B.带电质点在点P、R、Q处的电势能最小的是点R处

C.带电质点在P处的加速度小于Q处

D.带电质点在R处所受力的方向竖直向下

解析：该题的考点包括等势面、电场线、电势、电势能与电场力做功的关系、电势能计算等。根据运动轨迹的弯曲方向可以确定带正电的质点所受电场力的方向，根据正电荷所受电场力的方向与电场强度方向相同，结合电场线总与等势面垂直可以画出电场线，这样就可以判断出各点的电场强度方向、电势高低、电势能大小，而加速度的大小可以根据等势线的疏密确定。

观察运动轨迹可知，带电质点所受的电场力方向指向运动轨迹的凹侧，根据电场线总与等势面垂直，选择点R绘制受力方向水平向左，如图5所示。因为质点带正电，正电荷所受电场力的方向与电场强度方向相同，沿电场线方向电势降低，所以等势面a的电势最低，故选项A、D错误。

在P、R、Q处，P处电势最低，由正电荷在电势低处电势能小可知，质点在P处电势能最小，故选项B错误。

根据题意知“相邻等势面间存在相等的电势差”，所以等势面密集的地方电场线也密集，电场强度也就大，所以可知P处的电场强度小于Q处，根据[F=qE]可知，质点所受电场力P处小于Q处，根据[F=ma]可知，该电荷的加速度P处小于Q处，故选项C正确。

［例题4］电子显微镜利用电子比可见光波动性弱的特性，获得了比光学显微镜更高的分辨率。在电子显微镜中，电子通过“静电透镜”实现会聚或发散。如图6所示，虚线为某静电透镜区域的等势面，M、N两点的电势[φMgt;φN]，现有一束经过电压U加速后的正电子从点M处沿垂直虚线的方向进入“透镜”电场。假设正电子在运动过程中仅受电场力作用，最终穿过小孔。下列说法正确的是（ ）。

A.点M处的电场强度小于点N处的电场强度

B.从点M垂直进入“透镜”电场的正电子可能经过点N

C.在正电子进入“透镜”电场到穿过小孔的整个过程中，电场力对其做正功

D.正对小孔中心射入“透镜”电场的正电子会沿直线穿出小孔

解析：本题对电势能与电场力做功、带电粒子运动情况的分析进行综合考查，需要学生有较强的推理能力。

由受力分析判断正电子能否通过点N；由运动轨迹及电势、电性判断做功情况；对于透镜是起会聚作用还是发散作用，可利用等势面画出电场线进行判断。

观察图中等势面的分布可知，点M处比点N处密集，因此点M处的电场线也比点N处密集，所以点M处的电场强度大于点N处的电场强度，故选项A错误。

从点M垂直进入“透镜”电场的正电子只受电场力作用，受力方向与电场方向相同，由等势面的疏密程度可以判断，正电子向上偏转穿出小孔，对正电子起发散作用，因此不可能经过点N，故选项B错误。

在正电子进入“透镜”电场到穿过小孔的整个过程中，其从电势高的位置运动到电势低的位置，正电子的电性为正电，所有电场力对其做正功，故选项C正确。

电场线与等势面垂直，根据对称性及力的合成法则可推出，正对小孔中心射入“透镜”电场的正电子受到的电场力方向与速度方向相同，会沿着直线穿出小孔，故选项D正确。

【总结】对于涉及“三线”的综合性问题，以下解题技巧可以帮助我们解题。

①善于使用假设法。在这类问题中，电场强度方向、等势面高低、运动粒子的电性、粒子的运动方向等都是影响物理过程的因素，且它们之间有着密切的制约关系。若这些因素都属于未知，做题时一定要大胆使用假设法，通过对某一个因素的各种可能的假设以及利用几个因素的相互关系得出相应假设之后的结果，再进行完整的分类讨论，就能得到需要的结果。

②善于使用作图法。可画出运动轨迹在初始位置的切线与电场线在初始位置的切线，前者与速度相关，后者与受力相关，结合力与运动的关系分析两者，从而判断带电粒子做曲线运动的具体情况。当然，也可以利用曲线运动的轨迹反过来判断带电粒子的受力情况。

另外，更为基础的是能够正确做出以下几个判断：

①正确判断带电粒子的运动方向：根据轨迹线上某一点的切线来判断。

②正确判断电场力的方向：仅受电场力作用的带电粒子，所受电场力的方向指向运动轨迹的凹侧。

③正确判断电场强度的方向：正电荷所受电场力的方向与电场强度方向相同，负电荷所受电场力的方向与电场强度方向相反。

④正确判断电势的高低：沿电场线方向电势逐渐降低，电势降低最快的方向为电场强度方向。

⑤正确判断电势能的大小：根据公式[Ep=qφ]可判断电势能的大小。

⑥正确判断电场力做功的正负及电势能的增减：在初始位置画出电场力和速度的方向，根据两者的夹角可以判断电场力做功的正负及电势能的增减。

⑦正确判断加速度的大小：电场线越密集的地方，电场强度越大，带电粒子的加速度越大，反之则越小。

以上是对利用“三线”破解带电粒子在电场中的运动问题所需的相关知识进行的总结，对于其他板块的学习，我们同样可以举一反三。

［" "参" "考" "文" "献" "］

［1］" 郑金.带电粒子流在匀强电场中运动问题归类解析［J］.高中数理化，2021（19）：33-36.

［2］" 周栋梁.运用分类方法" " 突破高考难点：关于带电粒子在匀强磁场中运动问题的求解策略研究［J］.物理通报， 2010（7）：22-27.

［3］" 邹韩仕.巧借边界“相切”" " 突破高考难点：例析带电粒子在磁场中的轨迹圆或磁区极值问题［J］.数理化解题研究， 2019（22）：76-79.

［4］" 罗仕维.如何构建高效物理课堂培育学生物理核心素养：以“带电粒子在匀强磁场中运动的多解性问题”一节为例［J］.物理通报， 2018（11）：45-47，52.

［5］" 李桂旺.基于培养学生物理核心素养的教学设计：以“带电粒子在匀强磁场中的运动”为例［J］.物理教学探讨，2017（8）：64-66，70.

（责任编辑 黄春香）