新高考背景下基于问题链的高中数学课堂教学研究

尹樱桦　杨立英

［摘 要］文章主要研究新高考背景下基于问题链的高中数学课堂——“高中数学概念课”和“高中数学专题课”，旨在为数学概念课和专题课的问题链设计提供一定的参考引导，形成可操作性强、指导性强的问题链设计指南。

［关键词］新高考；问题链；高中数学；概念形成

［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］  A ［文章编号］ 1674-6058（2023）26-0017-04

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》强调“提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。”在数学课堂教学中，合理设计问题并把问题串在一起形成“问题链”，是帮助学生自主建构知识的一种重要手段。“问题链”是教师将教材知识转换为层次鲜明，具有系统性、逻辑性、启发性的一连串的教学问题，是一组有目标、有层次、相对独立而又相互关联的问题。从形式上看，“问题链”是一问接一问，一环扣一环的；从内容上看，它是问问相连，环环紧扣的；从目标上看，它是层层深入的。教师在进行“问题链”设计时，可以根据每个学生的“最近发展区”，根据弗赖登塔尔的“再创造”理论进行教学法加工，使得学生有效经历数学知识的发生发展过程。教师可利用“问题链”为学生搭建再创造的平台。提问应设计在学生“现有水平”与“最近发展区”的结合点处，同时预设学生的回答，创建能高度应变的几条问题链供课堂选择，培养学生再创造的技能。

一、高中数学概念课

（一）高中数学概念课问题链设计概述

数学概念的教学一般都要经历概念的形成，所以首先要明确为什么需要学习相应的概念，这有助于激发学生学习概念的好奇心，也能通过认知冲突激发学生进一步探究的欲望。其次让学生更直观明了地记住概念，辨析概念中的关键词和核心思想方法，建构严谨的学习概念的思维体系，最终达到理解后合理应用概念的目的。课堂可分为五个阶段：概念的感知、概念的形成、概念的辨析、概念的应用（包括学习概念时所涉及的数学思想方法和数学工具的运用）、概念的升华和反思。

（二）高中数学概念课问题链设计原则

在数学教学过程中，教师要充分发挥学生的主体性，让学生成为学习的主人，主动参与、勤于思考，培养发现问题和解决问题的能力。这些都要求教师在课堂上要合理设计好问题链。在这个背景下，高中数学教育教学应该做到符合时代发展的趋势，真正有效组织学生探究，用问题链打造一个师生互动、生生互动的高效课堂，让高中数学的教育教学真正发挥出其价值。高中数学概念课问题链设计应遵循激发学习欲望原则、逻辑引领原则、循序渐进原则、整体性原则。

（三）高中数学概念课问题链案例

【案例1】 函数的基本性质——函数的单调性

1.概念的感知

问題1：下列四幅图有什么不同？

追问：按图象上升、下降的趋势进行分类有什么不同？

设计意图：直观感知，从左到右的上升和下降，形成单调性的图象定义。

2.概念的感知

问题2：观察这幅图，其变化规律有什么不同？

设计意图：直观看图，在上升和下降微妙的变化处有争议，引发认知冲突。

问题3：如果只是观察图象无法准确判断函数是否为增函数，需要进一步用“定量”的方法，对这一性质进行准确刻画，我们可以借助什么量呢？

设计意图：让学生通过矛盾冲突感受“形缺数时难入微”，为概念的引入提供条件；让学生好奇如何定量判断函数的单调性，为数学符号语言的引入打下基础。

3.概念的形成——实验操作确认概念

问题4：大家都想到了用点的坐标，下面请大家观察函数[f（x）=x2]在[x∈0，+∞]上的变化规律，完成实验数据的统计。

设计意图：让学生动手收集数据，分析数据，操作确认，从而生成概念。

问题5：通过上述表格数据，从特殊到一般，你能得出什么结论？

追问1：需要满足什么样的条件可以得出y随x增大而增大？

追问2：类似的问题，什么是单调递减呢？

4.概念的辨析——再创造后构建思维体系

问题6：函数[f（x）=x2]在[x∈]（-∞，+∞）上是单调增函数吗？

追问：这是从形的角度认知的。利用刚学的概念，从数的角度怎么解释你的结论呢？

设计意图：让学生体会数形结合思想的同时，掌握说明单调性的两大工具——图象法和概念法。

问题7：除函数[f（x）=x2]外，你还知道哪些函数在定义域上某些区间单调递增，而在另一个区间单调递减的？

问题8：你能举例在整个定义域内是单调的函数吗？

设计意图：通过一系列问题让学生深刻理解单调性的概念，明确函数单调性是针对定义域内某个区间而言的，是一个局部性质。

5.概念的应用——实践过程

［例1］根据定义，研究函数[f（x）=kx+b（k≠0）]的单调性。

问题9：通过这个例子，你能归纳用定义证明函数单调性的步骤吗？

设计意图：定义的应用让学生理解函数单调性概念的同时明确其证明步骤。

辅助相应练习：物理学中的玻意耳定律[p=kV]（k为正常数），对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大，试对此函数的单调性进行证明。

设计意图：通过练习让学生明晰函数单调性的证明步骤并亲身体会用严谨的数学逻辑证明物理问题，做到学以致用。

问题10：函数[p=kV]更一般化，[V]换成[x]，[x]就没有了大于0的要求，就是我们的反比例函数[f（x）=kx]（[k>0]），是否可说它在（-∞，0）∪（0，+∞）上单调递减？

设计意图：推广到反比例函数后促使学生能用“概念”检验的眼光来认识分段函数的单调性，再次明确函数单调性是针对定义域内某个区间而言的，是一个局部性质。

6.概念的升华和反思

问题11：在证明上述这两道例题时，观察自变量大小到函数值大小的变化过程，你发现自变量的大小和函数值的大小间是什么关系？

设计意图：内化反思函数单调性的定义，进一步发现在定义域某个区间内，增函数就是要求自变量作差和对应函数值作差后符号同号，减函数是异号。

数学概念的教学是整个数学教学中一个非常重要的环节，概念课设计的问题链应经历上述五个阶段：概念的感知、概念的形成、概念的辨析、概念的应用、概念的升华和反思。通过设置一系列问题，使学生对概念的学习理解得到拓展和延伸。本节课通过问题链从一开始的感知概念到认知冲突，激发学生探索概念的欲望，通过学生操作演算，使数学概念的学习不再是无源之水，无本之木，可感可验。学生深刻体会数形结合思想，会使用“数”和“形”两大工具。学生参与了数学概念的形成过程，他们可以结合概念在现实中的原型体会抽象出概念的过程，从符号化和形式表述等多角度理解一个数学概念。概念辨析过程是通过问题链使学生对概念有了全面而深刻的认识，认识到数学概念在哲学意义上的辩证统一，认识到数学概念的抽象与具象，严谨和灵动，动态和定量的对立统一，进而到概念的应用和内化升华这一过程就水到渠成了。

二、高中数学专题课

（一）高中数学专题课问题链设计概述

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线。围绕这些主线内容设计专题课，能使高中数学的学习思维更严谨化、系统化和整体化。教师可将每个板块内容相关的数学基础知识、能力、思想方法进行归纳总结，并深入挖掘、举一反三，使学生在原有认知上得到新的启发，从而建构起更全面的知识体系，进而深化他们对数学知识的认识，提升他们的综合运用能力，培养他们的数学学科核心素养。在高中数学教学中，专题课是不可或缺的课型。高中数学课程的几个板块都可设计出很多相应的专题引导学生展开学习，这使得专题课内容选择更加多元化。内容选择上要紧扣教材，符合学情，符合课程标准，教师要发挥智慧，将分散在教材每一章、每一节的知识点进行整合，纵向或横向地把具有相关性的内容进行分类整理和划分，形成解题策略，从而展开专题课的教学。这样的教学能够根据学生的实际情况，解决学生的一个知识板块或者解题方法的一系列问题，有更准、更细、更深的特点，是传统习题课的“浓缩版”和“精华版”。

哲学家卡尔·波普尔认为，愈来愈深化的问题，愈来愈能启发新问题。这启发我们把问题链引入到专题课中能提升专题复习的效率。一方面，问题链搭建起的数学课堂学习框架，具有更好的思维启发性和复习针对性；另一方面，问题链中层层递进的问题能使学生的思维更发散，解题方法更多样化，为学生的知识建构提供了无限的可能。把问题链有机地融入高中数学专题课中，用问题链驱动学生思考与解决专题课中的问题，可使学生掌握相关数学思想方法，更好地实现对数学知识的自主探究与思维的自主建构，从而提升综合能力。

（二）高中数学专题课问题链设计原则

高中数学专题课上，由于学生所用到的知识点以及学习时间是不同的，因此教师需要在开展专题课时帮助学生回顾相关知识，创设相应情境，激发学生的学习热情。在高中数学专题课上，随着问题的不断拓展和深入，学生的数学思维逐渐走向纵深，促进他们不断发现问题、思考问题、解决问题，学会整体把握相关知识内容，逐步构建完整的数学知识体系。针对课堂学习情况，在专题课后教师还要继续设计不同层次的练习，促进学生理解相关知识，更好地引导学生内化所学知识，提升学生的综合能力，从而达到巩固专题课的教学效果的目的。这完全符合专题课的问题链设计原则，即实现激发学习欲望原则、逻辑引領原则、循序渐进原则、整体性原则。

（三）高中数学专题课问题链设计案例

［案例2］专题课——圆锥曲线的光线性质

1.复习回顾——认知拓展链

问题1：三种圆锥曲线的共性是什么？

设计意图：从学生的“最近发展区”引入问题，起到复习旧知识，引导学生从已有的认知结构感知新知识学习必要性的作用，激发学生进一步探索的欲望。“认知拓展链”设计可以遵循“回顾—感知—激发—探求”这个逻辑顺序展开。

2.情境创设——思维导向链

问题2：相传在古希腊的西西里岛上有一个椭圆形山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚用这个山洞囚禁犯人，囚犯们多次密谋逃跑，但是每次都失败，起初，囚犯们怀疑有内奸，但是始终没有查出内奸是谁，奇怪的是，无论囚犯们说了什么，看守总能知道，因此这个恐怖山洞被称为“杰尼西亚的耳朵”。这个山洞究竟有什么秘密呢？

设计意图：情境创设源于生活，激发学生的求知欲，明确专题归纳拓展的方向和专题解决的问题。“思维导向链”使学生经历完整的数学发现的过程，从而达到学会学习的目的。

问题3：回顾前面学过的知识，思考从椭圆的一个焦点发出的声音，经过椭圆反射后，有什么特点。

设计意图：把声波的传播类比到光线的传递，实现知识的迁移。“思维导向链”的设计可以遵循“引导—类比—迁移—归纳” 这个逻辑顺序展开。

3.类比总结——内化提升链

问题4：类比椭圆的光学性质，猜想：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线有什么特点？

设计意图：类比总结出三种圆锥曲线光学性质的特性，提炼共性为后面强化知识应用做铺垫。

问题5：一位导游带领游客到一面巨大的双曲线形（一支）的围墙前欣赏壁画，导游面对壁画大声给游客讲解，游客们觉得很纳闷，为什么感觉声音是从墙外某地方传来的。你能用刚才所学的知识解释这个“隔墙有声”吗？

设计意图：进一步感知圆锥曲线的光学性质在生活中处处都有，学会应用很有必要，也使学生愈发觉得探索有意思，激发出更强烈的求知欲。

问题6：类比椭圆和双曲线的光学性质，猜想：从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线有什么特点呢？

设计意图：进一步拓展、归纳整体知识的覆盖范畴，“内化提升链”在专题课中处于核心的地位，可以遵循“拓展—归纳—深入”这个逻辑顺序开展。

问题7：传说公元前三世纪，阿基米德为抵抗罗马军队的侵略，带领叙拉古人民制作了一面大抛物面凹镜（名曰点火镜），使对方船只产生高温，焚烧起来，从而成功击退敌军，你能解释这是为什么吗？

设计意图：通过圆锥曲线的光学性质在生活中的应用自然而然地过渡到总结其共性的应用上来。

4.应用升华——拓展应用链

小结：圆锥曲线共性——光学性质

从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一焦点上；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线反向延长交于双曲线的另一焦点上；从焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴。

问题8：已知椭圆（双曲线）的一个焦点，怎样找到另一个焦点的位置？

设计意图：圆锥曲线的光学性质不光在生活中有所应用，也可以反向应用，找到圆锥曲线的焦点位置。“拓展应用链”可以遵循“应用—强化—反思”这个逻辑顺序开展。

问题9：根据所学怎样确定抛物线焦点的位置？

设计意图：学生实验操作更好地强化光学性质的应用。

问题10：如果不是从圆锥曲线焦点发出的光线，经圆锥曲线（不妨先考虑在椭圆中反射的情形）反射后会出现什么情形呢？

设计意图：开阔眼界，椭圆中不经过焦点的光线反射后有不同情形甚至运行轨迹会形成双曲线，再次让学生感受到圆锥曲线有意思的“统一”升华，这也是专题学习的价值。

本文旨在形成有利于高中數学课堂使用的问题链的设计操作指南，根据这个指南针对不同课型使用不同的问题链设计方式，用问题链打造一个师生互动、生生互动的高效课堂， 鼓励学生进行思辨。学生在思考、回答、再思考、再回答的过程中思维能力得到提升，掌握思辨方法，并学会主动进行探究和反思。这样教学，可让学生数学学习兴趣增加的同时能够更好地建构知识体系，更好地培养学生的数学学科核心素养。

［   参   考   文   献   ］

［1］  常全奎.新高考背景下的高中数学教学原则与策略分析［J］.数理化解题研究，2022（12）：62-64.

［2］  方树丽.新高考背景下高中数学学习评价研究［J］.数理化解题研究，2022（3）：32-34.

［3］  黄光荣. 问题链方法与数学思维［J］.数学教育学报，2003（2）： 35-37.